📷 Activité 6 – Angle de visée d'une caméra de surveillance FILIÈRE MEE

Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 24 mai 2026

Objectifs :

Calculer un angle de visée par trigonométrie
Calculer la longueur d'un côté (zone couverte au sol)
Comparer l'ouverture angulaire d'une caméra et la zone à surveiller
Optimiser l'emplacement d'un capteur
Utiliser cos, sin, tan dans plusieurs configurations

Situation — supervision d'une chaufferie collective

Léa, technicienne de maintenance énergétique chez ServiThermique 93 à Bagnolet, installe une caméra de surveillance IP au plafond d'une chaufferie collective. Cette caméra doit pouvoir filmer en continu une vanne d'arrêt principale qui doit rester accessible et visible. Léa doit calculer l'angle de visée et vérifier que la vanne entre dans le champ de la caméra.

Document 1 – Géométrie de la chaufferie

Caméra fixée au plafond, à 3,00 m de hauteur (point C).
Vanne au sol, à 4,50 m de distance horizontale (point V, au pied du mur opposé).
Vanne au sol, hauteur effective du robinet : 1,20 m.
La caméra pointe vers le bas en biais vers la vanne.

Document 2 – Caractéristiques techniques de la caméra

Modèle : Hikvision DS-2CD2143G0-I, objectif fixe.
Champ horizontal : 87°.
Champ vertical : 47°.
Distance focale 2,8 mm — angle d'inclinaison ajustable de 0° à 90°.

Document 3 – Formules trigonométriques

Dans un triangle rectangle : \(\tan \alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).
Inverse : \(\alpha = \arctan(\dots)\).
\(\sin\) et \(\cos\) selon le côté cherché.
Hypoténuse par Pythagore : \(h = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Problématique : Quel angle d'inclinaison Léa doit-elle donner à la caméra pour viser pile la vanne, et la vanne tient-elle dans le champ vertical (47°) ?

Question 1 APP

Faire un croquis en coupe verticale de la chaufferie : caméra C (3 m de hauteur), vanne V (1,20 m de hauteur, 4,50 m horizontal). Tracer le rayon de visée CV.

Croquis : la caméra au plafond (en haut à gauche, hauteur 3 m). Le sol horizontal. La vanne au pied du mur opposé, à 4,50 m de la caméra horizontalement. La vanne fait 1,20 m de haut. Tracer le rayon de visée CV (oblique vers le bas-droite).

Triangle rectangle : projeter C verticalement sur le sol = C' (4,50 m de l'autre côté ? non, C' est juste sous C). Mieux : on calcule le triangle entre C, V et un point H = projection horizontale de V à la même hauteur que C.

En fait, le triangle rectangle utile a :

côté horizontal (HV adj) = 4,50 m (distance horizontale)
côté vertical (CH op) = 3,00 - 1,20 = 1,80 m (dénivelé caméra-vanne)
hypoténuse (CV) = ligne de visée
α = angle de la visée par rapport à l'horizontale

Question 2 REA

Calculer la différence de hauteur \(\Delta h\) entre la caméra et la vanne.

\(\Delta h = 3{,}00 - 1{,}20 = \mathbf{1{,}80}\) m. La caméra est à 1,80 m au-dessus du robinet de la vanne.

Question 3 REA

Calculer l'angle α d'inclinaison de la caméra par rapport à l'horizontale, en utilisant \(\tan \alpha = \dfrac{\Delta h}{d_\text{horiz}}\). Donner α en degrés.

\(\tan \alpha = \dfrac{1{,}80}{4{,}50} = 0{,}40\).

\(\alpha = \arctan(0{,}40) \approx \mathbf{21{,}8°}\).

La caméra doit être inclinée de ≈ 22° vers le bas par rapport à l'horizontale.

Question 4 REA

Calculer la distance CV (longueur de la ligne de visée). Utiliser \(\sin \alpha\) ou Pythagore.

Pythagore : \(CV = \sqrt{4{,}50^2 + 1{,}80^2} = \sqrt{20{,}25 + 3{,}24} = \sqrt{23{,}49} \approx \mathbf{4{,}85}\) m.

Vérification par sin : \(\sin \alpha = \dfrac{\Delta h}{CV}\) → \(CV = \dfrac{1{,}80}{\sin 21{,}8°} = \dfrac{1{,}80}{0{,}3714} \approx 4{,}85\) m ✓.

Question 5 ANA

La caméra a un champ vertical de 47° (Doc 2). La vanne (largeur visuelle ≈ 30 cm, hauteur ≈ 50 cm) entre-t-elle dans le champ ?

À une distance de 4,85 m, le champ vertical de 47° couvre une zone verticale :

\(L = 2 \times CV \times \tan(47°/2) = 2 \times 4{,}85 \times \tan 23{,}5°\).

\(\tan 23{,}5° \approx 0{,}435\). Donc \(L \approx 2 \times 4{,}85 \times 0{,}435 \approx \mathbf{4{,}22}\) m de hauteur visible.

La vanne (50 cm) entre largement dans cette zone. ✓ Bonne visibilité.

Question 6 ANA

Léa veut savoir : si elle déplaçait la vanne de 1 m vers la gauche (4,50 → 3,50 m), quel nouvel angle d'inclinaison serait nécessaire ?

Nouveau \(\tan \alpha = \dfrac{1{,}80}{3{,}50} \approx 0{,}514\).

\(\alpha = \arctan(0{,}514) \approx \mathbf{27{,}2°}\).

Augmentation de 5° (de 22 à 27°). Caméra plus penchée. Toujours dans les capacités d'inclinaison de l'appareil (0° à 90°).

Question 7 VAL

Si la chaufferie est large de 8 m, calculer si une caméra à 87° de champ horizontal couvre toute la largeur depuis la position de C (au plafond, à 4 m du fond).

Si la caméra est à 4 m du fond (centre de la chaufferie en largeur), elle voit à droite et à gauche dans un angle de ±43,5° (= 87°/2).

Largeur couverte au sol à 4 m de la caméra : \(2 \times 4 \times \tan 43{,}5° \approx 2 \times 4 \times 0{,}949 \approx \mathbf{7{,}6}\) m.

Largeur totale de la chaufferie : 8 m. Pas tout à fait toute la largeur — il manque 40 cm aux extrémités. Suffisant en pratique. À 5 m de distance : \(2 \times 5 \times 0{,}949 \approx 9{,}5\) m → toute la largeur. ✓

Question 8 COM

Rédiger la fiche d'installation de Léa (6 lignes).

Installation caméra surveillance — Chaufferie collective Bagnolet
• Caméra Hikvision DS-2CD2143G0-I, fixée au plafond à 3 m.
• Vanne d'arrêt à surveiller : 4,50 m de distance horizontale, 1,20 m de hauteur.
• Angle d'inclinaison à régler : α ≈ 22° vers le bas (calcul \(\arctan(1{,}80/4{,}50)\)).
• Distance de visée : 4,85 m. Champ vertical 47° → 4,2 m de zone visible : OK.
• Champ horizontal 87° → couvre la chaufferie de 7,6 m de large à cette distance.
• Vérification visuelle effectuée. Enregistrement 24/7 vers NVR avec backup cloud.

Pour aller plus loin (bonus)

La caméra capte une image de 1920×1080 pixels. La vanne (50 cm) à 4,85 m de distance occupe combien de pixels en hauteur ? Permet-on de lire l'indicateur de position (rouge/vert) de la vanne ?

Hauteur visible à 4,85 m : 4,22 m (cf. Q5). Soit 1080 pixels.

Vanne 50 cm → fraction : \(0{,}50 / 4{,}22 \approx 0{,}118\) ≈ 11,8 %.

Pixels en hauteur : \(1080 \times 0{,}118 \approx \mathbf{128}\) pixels.

L'indicateur (≈ 5 cm sur la vanne) occupe \(128 \times 0{,}1 \approx 13\) pixels — juste suffisant pour distinguer rouge/vert. À voir avec un zoom numérique.

À retenir

Angle d'inclinaison d'une visée : \(\alpha = \arctan\left(\dfrac{\text{dénivelé}}{\text{distance horizontale}}\right)\).
Distance réelle de visée : Pythagore \(d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}\).
Zone visible à distance \(d\) avec un champ angulaire \(\theta\) : \(L = 2 d \tan(\theta / 2)\).
Pour la résolution d'une caméra : pixels visibles ∝ taille de l'objet / hauteur visible × résolution.
Avant toute pose, faire le calcul trigonométrique sur plan, vérifier sur place avec un mètre laser.

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Rapports trigonométriques) de la leçon Ch09 + filière MEE (supervision).