Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 24 mai 2026
Léa, technicienne de maintenance énergétique chez ServiThermique 93 à Bagnolet, installe une caméra de surveillance IP au plafond d'une chaufferie collective. Cette caméra doit pouvoir filmer en continu une vanne d'arrêt principale qui doit rester accessible et visible. Léa doit calculer l'angle de visée et vérifier que la vanne entre dans le champ de la caméra.
Faire un croquis en coupe verticale de la chaufferie : caméra C (3 m de hauteur), vanne V (1,20 m de hauteur, 4,50 m horizontal). Tracer le rayon de visée CV.
Croquis : la caméra au plafond (en haut à gauche, hauteur 3 m). Le sol horizontal. La vanne au pied du mur opposé, à 4,50 m de la caméra horizontalement. La vanne fait 1,20 m de haut. Tracer le rayon de visée CV (oblique vers le bas-droite).
Triangle rectangle : projeter C verticalement sur le sol = C' (4,50 m de l'autre côté ? non, C' est juste sous C). Mieux : on calcule le triangle entre C, V et un point H = projection horizontale de V à la même hauteur que C.
En fait, le triangle rectangle utile a :
Calculer la différence de hauteur \(\Delta h\) entre la caméra et la vanne.
\(\Delta h = 3{,}00 - 1{,}20 = \mathbf{1{,}80}\) m. La caméra est à 1,80 m au-dessus du robinet de la vanne.
Calculer l'angle α d'inclinaison de la caméra par rapport à l'horizontale, en utilisant \(\tan \alpha = \dfrac{\Delta h}{d_\text{horiz}}\). Donner α en degrés.
\(\tan \alpha = \dfrac{1{,}80}{4{,}50} = 0{,}40\).
\(\alpha = \arctan(0{,}40) \approx \mathbf{21{,}8°}\).
La caméra doit être inclinée de ≈ 22° vers le bas par rapport à l'horizontale.
Calculer la distance CV (longueur de la ligne de visée). Utiliser \(\sin \alpha\) ou Pythagore.
Pythagore : \(CV = \sqrt{4{,}50^2 + 1{,}80^2} = \sqrt{20{,}25 + 3{,}24} = \sqrt{23{,}49} \approx \mathbf{4{,}85}\) m.
Vérification par sin : \(\sin \alpha = \dfrac{\Delta h}{CV}\) → \(CV = \dfrac{1{,}80}{\sin 21{,}8°} = \dfrac{1{,}80}{0{,}3714} \approx 4{,}85\) m ✓.
La caméra a un champ vertical de 47° (Doc 2). La vanne (largeur visuelle ≈ 30 cm, hauteur ≈ 50 cm) entre-t-elle dans le champ ?
À une distance de 4,85 m, le champ vertical de 47° couvre une zone verticale :
\(L = 2 \times CV \times \tan(47°/2) = 2 \times 4{,}85 \times \tan 23{,}5°\).
\(\tan 23{,}5° \approx 0{,}435\). Donc \(L \approx 2 \times 4{,}85 \times 0{,}435 \approx \mathbf{4{,}22}\) m de hauteur visible.
La vanne (50 cm) entre largement dans cette zone. ✓ Bonne visibilité.
Léa veut savoir : si elle déplaçait la vanne de 1 m vers la gauche (4,50 → 3,50 m), quel nouvel angle d'inclinaison serait nécessaire ?
Nouveau \(\tan \alpha = \dfrac{1{,}80}{3{,}50} \approx 0{,}514\).
\(\alpha = \arctan(0{,}514) \approx \mathbf{27{,}2°}\).
Augmentation de 5° (de 22 à 27°). Caméra plus penchée. Toujours dans les capacités d'inclinaison de l'appareil (0° à 90°).
Si la chaufferie est large de 8 m, calculer si une caméra à 87° de champ horizontal couvre toute la largeur depuis la position de C (au plafond, à 4 m du fond).
Si la caméra est à 4 m du fond (centre de la chaufferie en largeur), elle voit à droite et à gauche dans un angle de ±43,5° (= 87°/2).
Largeur couverte au sol à 4 m de la caméra : \(2 \times 4 \times \tan 43{,}5° \approx 2 \times 4 \times 0{,}949 \approx \mathbf{7{,}6}\) m.
Largeur totale de la chaufferie : 8 m. Pas tout à fait toute la largeur — il manque 40 cm aux extrémités. Suffisant en pratique. À 5 m de distance : \(2 \times 5 \times 0{,}949 \approx 9{,}5\) m → toute la largeur. ✓
Rédiger la fiche d'installation de Léa (6 lignes).
Installation caméra surveillance — Chaufferie collective Bagnolet
• Caméra Hikvision DS-2CD2143G0-I, fixée au plafond à 3 m.
• Vanne d'arrêt à surveiller : 4,50 m de distance horizontale, 1,20 m de hauteur.
• Angle d'inclinaison à régler : α ≈ 22° vers le bas (calcul \(\arctan(1{,}80/4{,}50)\)).
• Distance de visée : 4,85 m. Champ vertical 47° → 4,2 m de zone visible : OK.
• Champ horizontal 87° → couvre la chaufferie de 7,6 m de large à cette distance.
• Vérification visuelle effectuée. Enregistrement 24/7 vers NVR avec backup cloud.
La caméra capte une image de 1920×1080 pixels. La vanne (50 cm) à 4,85 m de distance occupe combien de pixels en hauteur ? Permet-on de lire l'indicateur de position (rouge/vert) de la vanne ?
Hauteur visible à 4,85 m : 4,22 m (cf. Q5). Soit 1080 pixels.
Vanne 50 cm → fraction : \(0{,}50 / 4{,}22 \approx 0{,}118\) ≈ 11,8 %.
Pixels en hauteur : \(1080 \times 0{,}118 \approx \mathbf{128}\) pixels.
L'indicateur (≈ 5 cm sur la vanne) occupe \(128 \times 0{,}1 \approx 13\) pixels — juste suffisant pour distinguer rouge/vert. À voir avec un zoom numérique.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Rapports trigonométriques) de la leçon Ch09 + filière MEE (supervision).