Activité 3 – Charpente : longueur d'un chevron SITUATION PRO

Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00

Objectifs :

Utiliser le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle
Calculer un angle ou un côté avec sinus, cosinus, tangente
Appliquer la trigonométrie en charpente

Pour aller plus loin
Cette activité réinvestit la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège (cosinus, sinus, tangente, angles en degrés). Elle ne relève pas du programme de Première, dont le module Trigonométrie porte sur le cercle trigonométrique, les radians et la courbe du sinus, et elle n'est pas évaluée dans les interrogations du chapitre.

Situation – charpente d'un toit en V

Une charpente forme un triangle (fermette) : largeur de la base 6 m, hauteur au faîtage 2,5 m. Le faîtage est au milieu de la base. Chaque chevron va d'un coin de la base jusqu'au faîtage.

Problématique : Quelle est la longueur exacte du chevron et l'angle de toit ?

Question 1 REA

Le faîtage est au milieu : base demi-largeur = 3 m, hauteur = 2,5 m. Calculer la longueur du chevron par Pythagore.

L = √(3² + 2,5²) = √(9 + 6,25) = √15,25 ≈ 3,91 m.

Question 2 REA

Calculer l'angle au sol α (entre le chevron et la base).

tan α = 2,5 / 3 → α = arctan(0,833) ≈ 39,8°.

Question 3 REA

Calculer l'angle au faîtage (entre les 2 chevrons opposés).

Triangle isocèle : angle au sommet = 180° − 2 × 39,8° = 100,4°. Toit relativement plat.

Question 4 ANA

Si la base est de 6 m et l'angle au sol est de 45°, calculer la hauteur au faîtage.

tan 45° = 1 = h/3 → h = 3 m.

Question 5 ANA

Vérifier la longueur du chevron par la trigonométrie. On connaît l'angle au sol α ≈ 39,8° et la demi-base (côté adjacent) = 3 m. Le chevron est l'hypoténuse. Utiliser le cosinus pour retrouver sa longueur, puis comparer avec le résultat de la Question 1.

cos α = adjacent / hypoténuse = 3 / L, donc L = 3 / cos 39,8° = 3 / 0,768 ≈ 3,91 m.

On retrouve bien la longueur calculée par Pythagore en Q1 : les deux méthodes sont cohérentes. ✔

Question 6 REA

Pour un toit à 30° de pente, base 6 m, calculer hauteur et longueur des 2 chevrons.

tan 30° = h/3 → h = 3 × 0,577 ≈ 1,73 m.

L_chevron = 3 / cos 30° = 3 / 0,866 ≈ 3,46 m par chevron.

Question 7 VAL

Comparer le besoin en bois entre toit 30° (Q6) et toit 45° pour la même base 6 m.

Toit 30° : 2 × 3,46 = 6,93 m de bois (chevrons).

Toit 45° : L_chev = 3 / cos 45° = 4,24 m. 2 chevrons : 8,49 m.

Toit 30° : 18 % de bois en moins. Mais isolation moins épaisse possible (combles peu rentables).

Question 8 COM

Rédiger la fiche de découpe des chevrons.

Découpe chevrons — toit 6 m base, 2,5 m haut
• Angle au sol α ≈ 40°. Angle au faîtage 100°.
• Longueur chevron : 3,91 m. 2 unités par fermette.
• Découpe extrémité haute : 50° (= 90 − 40) par rapport à la verticale.
• Découpe extrémité basse : 40° par rapport à la sablière.

Pour aller plus loin (bonus)

Quel angle de pente est optimal pour des panneaux solaires en France métropolitaine ?

≈ 30° à 35° (correspond à la latitude moyenne 45-50°N moins 15° pour optimiser la capture solaire annuelle).

Si 30° de pente, le toit sert efficacement aussi à l'autoconsommation solaire.

À retenir

Pythagore (triangle rectangle) : c² = a² + b².
SOH-CAH-TOA : sin = opp/hyp, cos = adj/hyp, tan = opp/adj.
Une même longueur peut se calculer par Pythagore ou par la trigonométrie : les deux méthodes doivent donner le même résultat.

📚 Cette activité s'appuie sur §1 et §2 (Calculs trigonométriques dans le triangle rectangle) de la leçon Ch09.