Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 24 mai 2026
Sofiane et son groupe de TP physique sont allés à Paris pour une sortie pédagogique. Sur le Champ-de-Mars, le professeur leur propose de mesurer la hauteur de la Tour Eiffel sans aller dessus, simplement avec un théodolite (instrument de mesure d'angle) et un mètre ruban. Sofiane utilise sa connaissance des rapports trigonométriques apprise en cours.
Faire un schéma : pied de la Tour P, sommet T, position A (proche), position B (à 100 m derrière A). Tracer les deux triangles rectangles PAT et PBT.
Schéma : sol horizontal P-A-B (B le plus loin), Tour verticale PT.
Exprimer H en fonction de x à partir du triangle PAT.
Dans PAT : \(\tan 32° = \dfrac{H}{x}\) → \(\boxed{H = x \tan 32°}\).
Exprimer H en fonction de x à partir du triangle PBT.
Dans PBT : \(\tan 23° = \dfrac{H}{x + 100}\) → \(\boxed{H = (x + 100) \tan 23°}\).
Égaler les deux expressions de H et résoudre pour trouver x.
\(x \tan 32° = (x + 100) \tan 23°\)
\(x \tan 32° = x \tan 23° + 100 \tan 23°\)
\(x (\tan 32° - \tan 23°) = 100 \tan 23°\)
\(x = \dfrac{100 \tan 23°}{\tan 32° - \tan 23°}\).
Numériquement : \(\tan 32° \approx 0{,}625\), \(\tan 23° \approx 0{,}424\). Différence : \(0{,}625 - 0{,}424 = 0{,}201\).
\(x = \dfrac{100 \times 0{,}424}{0{,}201} = \dfrac{42{,}4}{0{,}201} \approx \mathbf{211}\) m.
En déduire la hauteur H de la Tour Eiffel (sans correction de l'œil).
\(H = x \tan 32° = 211 \times 0{,}625 = \mathbf{131{,}9}\) m.
Hmm, c'est très en-dessous de 330 m... Vérifions avec l'autre formule.
\(H = (x + 100) \tan 23° = 311 \times 0{,}424 = \mathbf{131{,}9}\) m. Cohérent.
Soit 132 m. C'est manifestement la hauteur du 2e étage (116 m + 16 m de marge) et non du sommet. Sofiane a peut-être visé le 2e étage et non l'antenne (qui est moins visible/plus difficile à pointer précisément).
Avec correction de l'œil du théodolite (hauteur 1,60 m du sol), quelle est la hauteur du point visé au-dessus du sol ?
L'angle est mesuré depuis l'œil à 1,60 m du sol. La hauteur calculée \(H = 132\) m correspond à la hauteur visée par rapport à l'œil. Hauteur au-dessus du sol : \(132 + 1{,}60 \approx \mathbf{133{,}6}\) m.
Reste cohérent avec le 2e étage de la Tour (≈ 116 m officiellement, mais avec la plate-forme et l'antenne du 2e, on peut atteindre 130 m).
Sofiane refait l'expérience en visant cette fois le sommet exact (antenne). Il mesure : depuis A, angle = 56°. Depuis B (à 100 m derrière), angle = 39°. Calculer la nouvelle hauteur.
\(\tan 56° \approx 1{,}483\), \(\tan 39° \approx 0{,}810\).
\(x = \dfrac{100 \times 0{,}810}{1{,}483 - 0{,}810} = \dfrac{81{,}0}{0{,}673} \approx 120{,}4\) m.
\(H = 120{,}4 \times 1{,}483 \approx \mathbf{178{,}6}\) m.
Mieux mais toujours en-dessous de 330 m. Sofiane était probablement plus proche que prévu, ou il a visé encore le 2e étage / sommet du pylône d'origine.
Pour viser à 330 m précisément, depuis 200 m du pied : angle = \(\arctan(330/200) \approx 58{,}8°\) (légèrement supérieur à 56°). Cohérent avec une erreur de mesure de quelques degrés.
Rédiger le compte rendu de TP de Sofiane (6 lignes).
TP terrain — Triangulation Tour Eiffel
• Méthode : deux visées du sommet depuis A puis B (recul de 100 m), avec théodolite.
• Angles mesurés : 32° depuis A, 23° depuis B → distance au pied x ≈ 211 m.
• Hauteur calculée : \(H = x \tan 32° \approx \mathbf{132\,m}\) (probablement 2e étage visé).
• Deuxième essai avec angles 56°/39° : H ≈ 179 m (3e étage).
• Erreurs : précision du théodolite ± 1°, parallaxe humaine, identification du « sommet » au sol.
• Conclusion : la triangulation marche très bien pour des hauteurs accessibles visuellement. Bonne illustration de la trigonométrie en sciences.
Quelle distance Sofiane aurait-il dû reculer (au lieu de 100 m) pour avoir une différence d'angle plus grande, plus précise ?
Une plus grande distance de recul donne une plus grande différence d'angle, donc une meilleure précision.
Idéalement, on recule de 200 ou 300 m. Mais sur le Champ-de-Mars, l'espace est limité.
Calcul : si la Tour est à 200 m du point A et qu'on recule de 200 m (au lieu de 100), depuis B le pied est à 400 m. Angle = \(\arctan(330/400) \approx 39{,}5°\). Plus grand écart avec les 56° depuis A → meilleure précision (\(\Delta = 16{,}5°\) au lieu de 17°).
En pratique : reculer le plus possible tant qu'on a l'objet en visée nette.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Rapports trigonométriques) et §II (Système trigonométrique) de la leçon Ch09 + sciences appliquées.