Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00
Sofiane et son groupe de TP physique sont allés à Paris pour une sortie pédagogique. Sur le Champ-de-Mars, le professeur leur propose de mesurer la hauteur de la Tour Eiffel sans aller dessus, simplement avec un théodolite (instrument de mesure d'angle) et un mètre ruban. Sofiane utilise sa connaissance des rapports trigonométriques apprise en cours.
Faire un schéma : pied de la Tour P, sommet T, position A (proche), position B (à 100 m derrière A). Tracer les deux triangles rectangles PAT et PBT.
Schéma : sol horizontal P-A-B (B le plus loin), Tour verticale PT.
Exprimer H en fonction de x à partir du triangle PAT.
Dans PAT : \(\tan 59° = \dfrac{H}{x}\) → \(\boxed{H = x \tan 59°}\).
Exprimer H en fonction de x à partir du triangle PBT.
Dans PBT : \(\tan 48° = \dfrac{H}{x + 100}\) → \(\boxed{H = (x + 100) \tan 48°}\).
Égaler les deux expressions de H et résoudre pour trouver x.
\(x \tan 59° = (x + 100) \tan 48°\)
\(x \tan 59° = x \tan 48° + 100 \tan 48°\)
\(x (\tan 59° - \tan 48°) = 100 \tan 48°\)
\(x = \dfrac{100 \tan 48°}{\tan 59° - \tan 48°}\).
Numériquement : \(\tan 59° \approx 1{,}664\), \(\tan 48° \approx 1{,}111\). Différence : \(1{,}664 - 1{,}111 = 0{,}553\).
\(x = \dfrac{100 \times 1{,}111}{0{,}553} = \dfrac{111{,}1}{0{,}553} \approx \mathbf{201}\) m.
En déduire la hauteur H de la Tour Eiffel (sans correction de l'œil).
\(H = x \tan 59° = 201 \times 1{,}664 = \mathbf{334{,}5}\) m.
Vérifions avec l'autre formule.
\(H = (x + 100) \tan 48° = 301 \times 1{,}111 = \mathbf{334{,}4}\) m. Cohérent.
Soit environ 334 m. La Tour Eiffel mesure 330 m avec ses antennes : l'écart est de 4 m, soit 1,2 % — tout à fait normal pour deux visées au théodolite arrondies au degré.
Avec correction de l'œil du théodolite (hauteur 1,60 m du sol), quelle est la hauteur du point visé au-dessus du sol ?
L'angle est mesuré depuis l'œil à 1,60 m du sol. La hauteur calculée \(H = 334\) m est donc comptée à partir de l'œil. Hauteur au-dessus du sol : \(334 + 1{,}60 \approx \mathbf{335{,}6}\) m.
La correction de l'œil éloigne légèrement de la valeur officielle (330 m) : elle est ici plus petite que l'imprécision des visées, donc négligeable à cette échelle. Elle compterait pour un objet de quelques mètres.
Le théodolite de Sofiane est mal réglé : chaque visée est surestimée de 1°, il lit donc 60° depuis A et 49° depuis B. Recalculer la hauteur et mesurer l'effet de cette erreur d'un seul degré.
\(\tan 60° \approx 1{,}732\), \(\tan 49° \approx 1{,}150\).
\(x = \dfrac{100 \times 1{,}150}{1{,}732 - 1{,}150} = \dfrac{115{,}0}{0{,}582} \approx 198\) m.
\(H = 198 \times 1{,}732 \approx \mathbf{343}\) m.
Un seul degré d'erreur sur chaque visée fait passer la hauteur de 334 m à 343 m, soit 9 m d'écart, 2,7 %. C'est la leçon du TP : à cette distance la tangente varie vite, et la précision du résultat tient entièrement à celle des angles.
Contrôle : pour une tour de 330 m visée depuis 200 m du pied, l'angle vaut \(\arctan(330/200) \approx 58{,}8°\) — les 59° de l'énoncé sont donc la valeur juste, et les 60° lus au théodolite bien l'erreur de réglage.
Rédiger le compte rendu de TP de Sofiane (6 lignes).
TP terrain — Triangulation Tour Eiffel
• Méthode : deux visées du sommet depuis A puis B (recul de 100 m), avec théodolite.
• Angles mesurés : 59° depuis A, 48° depuis B → distance au pied x ≈ 201 m.
• Hauteur calculée : \(H = x \tan 59° \approx \mathbf{334\,m}\), soit 1,2 % au-dessus des 330 m officiels.
• Sensibilité : 1° d'erreur sur chaque visée déplace le résultat de 9 m, soit 2,7 %.
• Erreurs : précision du théodolite ± 1°, parallaxe humaine, identification du « sommet » au sol.
• Conclusion : la triangulation marche très bien pour des hauteurs accessibles visuellement. Bonne illustration de la trigonométrie en sciences.
Quelle distance Sofiane aurait-il dû reculer (au lieu de 100 m) pour avoir une différence d'angle plus grande, plus précise ?
Une plus grande distance de recul donne une plus grande différence d'angle, donc une meilleure précision.
Idéalement, on recule de 200 ou 300 m. Mais sur le Champ-de-Mars, l'espace est limité.
Calcul : la Tour est à 200 m du point A, donc l'angle en A vaut \(\arctan(330/200) \approx 59°\). En reculant de 200 m au lieu de 100, le pied est à 400 m depuis B et l'angle tombe à \(\arctan(330/400) \approx 39{,}5°\). L'écart entre les deux visées passe de \(59 - 48 = 11°\) à \(59 - 39{,}5 = \mathbf{19{,}5°}\) : presque le double, donc une bien meilleure précision.
En pratique : reculer le plus possible tant qu'on a l'objet en visée nette.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Rapports trigonométriques) et §II (Système trigonométrique) de la leçon Ch09 + sciences appliquées.