QCM – Vecteurs du plan

Chapitre 8 | 1ère Bac Pro | Mathématiques

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Comprendre la notion de vecteur : direction, sens, norme
Représenter un vecteur et identifier des vecteurs égaux
Calculer les coordonnées d'un vecteur
Effectuer des opérations sur les vecteurs : somme, différence, produit par un scalaire
Calculer la norme d'un vecteur
Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment
Introduire la notion de colinéarité

⏱ Durée : 15–20 min

📄 15 questions

🧮 Calculatrice autorisée

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Socle

Question 1

Définition – Caractéristiques d'un vecteur

Un vecteur est caractérisé par :

une couleur, une taille et un poids une direction, un sens et une norme une abscisse et une ordonnée uniquement un angle et une coordonnée

Question 2

Définition – Vecteur nul

Le vecteur \(\vec{AA}\) s'appelle :

le vecteur nul, noté \(\vec{0}\) le vecteur unité un vecteur de norme 1 un vecteur indéfini

Question 3

Vecteur AB – Sens opposé

Lequel de ces énoncés est correct ?

\(\vec{AB} = \vec{BA}\) \(\vec{AB}\) et \(\vec{BA}\) ont le même sens \(\vec{BA} = -\vec{AB}\) \(\vec{AB}\) et \(\vec{BA}\) n'ont pas la même norme

Question 4

Coordonnées d'un vecteur – Calcul

Soient \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,7)\). Les coordonnées de \(\vec{AB}\) sont :

\(\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Question 5

Coordonnées d'un vecteur – Formule

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), les coordonnées de \(\vec{AB}\) sont :

\(\begin{pmatrix} x_A - x_B \\ y_A - y_B \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} x_A + x_B \\ y_A + y_B \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} x_A \times x_B \\ y_A \times y_B \end{pmatrix}\)

Question 6

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si :

ils ont les mêmes coordonnées ils partent du même point ils ont la même longueur seulement ils ont le même sens seulement

Question 7

Addition de vecteurs – Calcul

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Alors \(\vec{u} + \vec{v} =\) :

\(\begin{pmatrix} -2 \\ 12 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Question 8

Relation de Chasles

La relation de Chasles dit que pour tout points \(A\), \(B\), \(C\) :

\(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{BC}\) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{CA}\) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB}\)

Question 9

Produit par un scalaire

Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Alors \(2\vec{u} =\) :

\(\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\)

Question 10

Norme d'un vecteur – Formule

La norme du vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) est :

\(\sqrt{x^2 + y^2}\) \(x^2 + y^2\) \(x + y\) \(\sqrt{x + y}\)

Question 11

Norme – Calcul simple

La norme du vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) est :

7 1 5 25

Question 12

Milieu d'un segment

Le milieu \(M\) de \([AB]\) avec \(A(2\,;\,4)\) et \(B(6\,;\,8)\) est :

\(M(8\,;\,12)\) \(M(4\,;\,6)\) \(M(2\,;\,2)\) \(M(3\,;\,5)\)

Question 13

Milieu – Formule

Les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\) sont :

\(M(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\) \(M(x_A \times x_B\,;\,y_A \times y_B)\) \(M(x_A + x_B\,;\,y_A + y_B)\) \(M\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)

Question 14

Vecteurs colinéaires – Définition

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si :

il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) ils ont la même norme ils sont perpendiculaires ils partent du même point

Question 15

Sens opposé – Produit par −1

Le vecteur \(-\vec{u}\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}\) vaut :

\(\begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}\)

Standard

Question 1

Coordonnées d'un vecteur – Contexte professionnel

Un menuisier repère deux points sur un plan : \(A(3\,;\,1)\) et \(B(7\,;\,6)\). Les coordonnées de \(\vec{AB}\) sont :

\(\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 10 \\ 7 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\)

Question 2

Norme – Calcul avec racine

La norme du vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}\) est :

17 \(\sqrt{17}\) 60 13

Question 3

Distance entre deux points

La distance \(AB\) avec \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\) est :

5 7 \(\sqrt{7}\) 25

Question 4

Addition – Relation de Chasles

Avec \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{BC}\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}\), le vecteur \(\vec{AC}\) vaut :

\(\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}\)

Question 5

Produit par un scalaire – Norme

Si \(\|\vec{u}\| = 6\), alors \(\|3\vec{u}\| =\) :

6 18 9 2

Question 6

Parallélogramme

Le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si :

\(\vec{AB} = \vec{CD}\) \(\vec{AB} = -\vec{DC}\) \(\vec{AD} = \vec{CB}\) \(\vec{AB} = \vec{DC}\)

Question 7

Milieu – Trouver un point

\(M(4\,;\,5)\) est le milieu de \([AB]\) avec \(A(2\,;\,3)\). Les coordonnées de \(B\) sont :

\(B(6\,;\,7)\) \(B(3\,;\,4)\) \(B(2\,;\,2)\) \(B(8\,;\,10)\)

Question 8

Colinéarité – Critère

Le critère de colinéarité pour \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) est :

\(x = x'\) et \(y = y'\) \(x \cdot x' + y \cdot y' = 0\) \(xy' - x'y = 0\) \(x + x' = y + y'\)

Question 9

Colinéarité – Application

Les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ?

Non, car leurs coordonnées sont différentes Oui, car \(4 \times 3 - 6 \times 2 = 0\) Non, car \(4 \times 3 - 6 \times 2 = 24\) Oui, car ils ont la même direction uniquement

Question 10

Alignement de trois points

Trois points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si :

\(\|\vec{AB}\| = \|\vec{AC}\|\) \(\vec{AB} = \vec{AC}\) \(A\), \(B\) et \(C\) sont équidistants les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires

Question 11

Application – Déplacement professionnel

Un charpentier effectue un déplacement \(\vec{d_1}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) puis \(\vec{d_2}\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix}\). Le déplacement total est :

\(\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 3 \\ -10 \end{pmatrix}\)

Question 12

Norme – Distance réelle

Sur un plan à l'échelle (1 unité = 1 m), un installateur repère \(P(2\,;\,1)\) et \(Q(8\,;\,9)\). La longueur \(PQ\) est :

14 m \(\sqrt{136}\) m 10 m 100 m

Question 13

Produit scalaire – Sens du vecteur

Si \(k < 0\), le vecteur \(k\vec{u}\) est de :

même sens que \(\vec{u}\) et de même norme sens opposé à \(\vec{u}\) et de norme \(|k| \times \|\vec{u}\|\) même sens que \(\vec{u}\) et de norme \(|k| \times \|\vec{u}\|\) direction différente de \(\vec{u}\)

Question 14

Équilibre de forces

Deux forces s'appliquent à un panneau : \(\vec{F_1}\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\) et \(\vec{F_2}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\). La résultante \(\vec{F_1} + \vec{F_2}\) est :

\(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -6 \\ 10 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 0 \\ 10 \end{pmatrix}\)

Question 15

Colinéarité – Points non alignés

Soient \(A(0\,;\,0)\), \(B(2\,;\,3)\) et \(C(4\,;\,5)\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?

Non, car le déterminant de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) vaut \(2 \times 5 - 3 \times 4 = -2 \neq 0\) Oui, car \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) ont des coordonnées du même signe Non, car \(A\) est à l'origine Oui, car le déterminant de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) vaut 0

Approfondissement

Question 1

Colinéarité – Calcul du déterminant

Les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 10 \end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ?

Non, car \(3 \times 10 + 5 \times 6 = 60 \neq 0\) Non, car leurs normes sont différentes Oui, car \(3 \times 10 - 5 \times 6 = 0\) Oui, car \(3 + 5 = 6 + 10 - 8\)

Question 2

Alignement – Vérification

Soient \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,6)\) et \(C(5\,;\,10)\). Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?

Non, car \(\|\vec{AB}\| \neq \|\vec{BC}\|\) Oui, car \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}\) sont colinéaires (déterminant = 0) Non, car les trois points ont des coordonnées différentes Oui, car les abscisses forment une suite arithmétique

Question 3

Combinaison linéaire

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Alors \(2\vec{u} - \vec{v} =\) :

\(\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Question 4

Parallélogramme – Trouver un sommet

\(ABCD\) est un parallélogramme avec \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\) et \(C(6\,;\,5)\). Les coordonnées de \(D\) sont :

\(D(3\,;\,4)\) \(D(5\,;\,6)\) \(D(9\,;\,6)\) \(D(2\,;\,3)\)

Question 5

Norme – Calcul avancé

Un technicien d'agencement relève \(A(-2\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,-5)\). La distance \(AB\) est :

\(\sqrt{28}\) 14 \(10\) \(\sqrt{136}\)

Question 6

Colinéarité – Valeur de paramètre

Les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ k \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\) sont colinéaires. La valeur de \(k\) est :

\(k = 18\) \(k = 3\) \(k = 6\) \(k = 27\)

Question 7

Décomposition de vecteur – Relation de Chasles étendue

Parmi les égalités suivantes, laquelle est correcte (relation de Chasles) ?

\(\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{AB}\) \(\vec{AC} = \vec{BC} + \vec{AB}\) \(\vec{AB} + \vec{CA} = \vec{0}\) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\)

Question 8

Milieu et vecteur – Relation

\(M\) est le milieu de \([AB]\). Lequel de ces vecteurs est-il correct ?

\(\vec{AM} = \dfrac{1}{2}\vec{AB}\) \(\vec{AM} = 2\vec{AB}\) \(\vec{AM} = \vec{MB}\) \(\vec{AM} = -\vec{MB}\)

Question 9

Colinéarité – Non-alignement

Soient \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,2)\) et \(C(6\,;\,5)\). Le déterminant de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) est :

0 (points alignés) 12 3 (points non alignés) \(-3\)

Question 10

Problème ouvert – Équilibre de forces

Trois forces s'appliquent : \(\vec{F_1}\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{F_2}\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{P}\begin{pmatrix} 0 \\ -10 \end{pmatrix}\). La résultante est :

\(\begin{pmatrix} 0 \\ -10 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) → équilibre \(\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -3 \\ -10 \end{pmatrix}\)

Question 11

Norme – Produit par scalaire négatif

Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). La norme de \(-4\vec{u}\) est :

\(-4\sqrt{13}\) \(\sqrt{13}\) \(-\sqrt{13}\) \(4\sqrt{13}\)

Question 12

Colinéarité – Interprétation géométrique

Si \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires, alors les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont :

parallèles ou confondues perpendiculaires sécantes en un point unique sans relation particulière

Question 13

Combinaison linéaire – Contexte BTS

On cherche le vecteur \(\vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}\) avec \(\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). On obtient :

\(\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 9 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\)

Question 14

Problème – Coordonnées d'un point

On sait que \(\vec{AB} = 2\vec{CD}\) avec \(A(1\,;\,2)\), \(B(5\,;\,4)\), \(C(0\,;\,1)\). Les coordonnées de \(D\) sont :

\(D(8\,;\,5)\) \(D(2\,;\,2)\) \(D(4\,;\,4)\) \(D(0\,;\,2)\)

Question 15

Raisonnement – Valeur de paramètre (alignement)

Pour que \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,k)\) et \(C(5\,;\,8)\) soient alignés, la valeur de \(k\) est :

\(k = 3\) \(k = 6\) \(k = 4\) \(k = 5\)