Vecteurs du plan — Première Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Soient \(A(1\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) : \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 7 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
b) Calculer les coordonnées de \(\vec{BA}\) : \(\vec{BA}\begin{pmatrix} 1 - 5 \\ 3 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
c) Que remarquez-vous entre \(\vec{AB}\) et \(\vec{BA}\) ?
a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} \mathbf{4} \\ \mathbf{4} \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} \mathbf{-4} \\ \mathbf{-4} \end{pmatrix}\)
c) \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). Les deux vecteurs ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés.
Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).
a) Calculer la norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{... + ...} = \sqrt{...} = ...\)
b) Calculer les coordonnées de \(2\vec{u}\) : \(2\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \times 3 \\ 2 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
a) \(\|\vec{u}\| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}\)
b) \(2\vec{u} = \begin{pmatrix} \mathbf{6} \\ \mathbf{8} \end{pmatrix}\)
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + (-3) \\ -1 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
b) Calculer \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 - (-3) \\ -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
a) \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} \mathbf{-1} \\ \mathbf{4} \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} \mathbf{5} \\ \mathbf{-6} \end{pmatrix}\)
Soient \(A(2\,;\,6)\) et \(B(8\,;\,4)\).
a) Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\) : \(M\left(\dfrac{2 + 8}{2}\,;\,\dfrac{6 + 4}{2}\right) = M(...\,;\,...)\)
b) Calculer la distance \(AB = \|\vec{AB}\| = ...\)
a) \(M\left(\dfrac{10}{2}\,;\,\dfrac{10}{2}\right) = M(\mathbf{5}\,;\,\mathbf{5})\)
b) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix}\), donc \(AB = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx \mathbf{6{,}32}\).
Soient \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{BC}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{AC}\) en utilisant la relation de Chasles : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
b) Calculer la norme de \(\vec{AC}\).
a) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 + (-2) \\ 1 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{1} \\ \mathbf{5} \end{pmatrix}\)
b) \(\|\vec{AC}\| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \approx \mathbf{5{,}10}\).
Barème : 20 points
Soient \(A(3\,;\,1)\) et \(B(7\,;\,9)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) : \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 7 - 3 \\ 9 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
b) Calculer les coordonnées de \(\vec{BA}\) : \(\vec{BA}\begin{pmatrix} 3 - 7 \\ 1 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
c) Que remarquez-vous entre \(\vec{AB}\) et \(\vec{BA}\) ?
a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} \mathbf{4} \\ \mathbf{8} \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} \mathbf{-4} \\ \mathbf{-8} \end{pmatrix}\)
c) \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). Les deux vecteurs ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés.
Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ 12 \end{pmatrix}\).
a) Calculer la norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{... + ...} = \sqrt{...} = ...\)
b) Calculer les coordonnées de \(3\vec{u}\) : \(3\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \times 5 \\ 3 \times 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
a) \(\|\vec{u}\| = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}\)
b) \(3\vec{u} = \begin{pmatrix} \mathbf{15} \\ \mathbf{36} \end{pmatrix}\)
Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 + (-1) \\ -3 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
b) Calculer \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 - (-1) \\ -3 - 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
a) \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} \mathbf{3} \\ \mathbf{4} \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} \mathbf{5} \\ \mathbf{-10} \end{pmatrix}\)
Soient \(A(3\,;\,5)\) et \(B(9\,;\,1)\).
a) Calculer les coordonnées du milieu \(M\) de \([AB]\) : \(M\left(\dfrac{3 + 9}{2}\,;\,\dfrac{5 + 1}{2}\right) = M(...\,;\,...)\)
b) Calculer la distance \(AB = \|\vec{AB}\| = ...\)
a) \(M\left(\dfrac{12}{2}\,;\,\dfrac{6}{2}\right) = M(\mathbf{6}\,;\,\mathbf{3})\)
b) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\), donc \(AB = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx \mathbf{7{,}21}\).
Soient \(\vec{AB}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix}\) et \(\vec{BC}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\).
a) Calculer \(\vec{AC}\) en utilisant la relation de Chasles : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}\)
b) Calculer la norme de \(\vec{AC}\).
a) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 + 4 \\ 5 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{3} \\ \mathbf{3} \end{pmatrix}\)
b) \(\|\vec{AC}\| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx \mathbf{4{,}24}\).
Barème : 20 points
Soient \(A(2\,;\,-1)\), \(B(6\,;\,3)\) et \(C(0\,;\,5)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
b) Calculer \(2\vec{AB} - \vec{AC}\).
a) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}\).
b) \(2\vec{AB} - \vec{AC} = \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{10} \\ \mathbf{2} \end{pmatrix}\).
Un charpentier repère sur un plan (unité : 1 m) deux points d'ancrage \(P(1\,;\,2)\) et \(Q(7\,;\,10)\).
a) Calculer la distance \(PQ\) (longueur de la poutre reliant les deux points).
b) Déterminer les coordonnées du milieu \(M\) de \([PQ]\).
a) \(PQ = \sqrt{(7-1)^2 + (10-2)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) m.
b) \(M\left(\dfrac{1+7}{2}\,;\,\dfrac{2+10}{2}\right) = M(\mathbf{4}\,;\,\mathbf{6})\).
Soient \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,6)\), \(C(7\,;\,4)\) et \(D(4\,;\,0)\).
a) Calculer \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\).
b) Le quadrilatère \(ABCD\) est-il un parallélogramme ? Justifier.
a) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{DC}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).
b) \(\vec{AB} = \vec{DC}\), donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
Déterminer si les vecteurs suivants sont colinéaires. Justifier par le calcul du déterminant.
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}\)
a) Déterminant : \(4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires.
b) Déterminant : \(3 \times 1 - (-2) \times 5 = 3 + 10 = 13 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Le milieu \(M\) du segment \([AB]\) est \(M(3\,;\,5)\). On connaît \(A(-1\,;\,2)\). Déterminer les coordonnées de \(B\).
\(\dfrac{-1 + x_B}{2} = 3 \Rightarrow x_B = 7\) et \(\dfrac{2 + y_B}{2} = 5 \Rightarrow y_B = 8\).
Donc \(B(\mathbf{7}\,;\,\mathbf{8})\).
Barème : 20 points
Soient \(A(-3\,;\,2)\), \(B(1\,;\,6)\) et \(C(5\,;\,-2)\).
a) Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\).
b) Calculer \(3\vec{AB} - 2\vec{AC}\).
a) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix}\).
b) \(3\vec{AB} - 2\vec{AC} = \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 16 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{-4} \\ \mathbf{20} \end{pmatrix}\).
Un installateur thermique repère sur un plan (unité : 1 m) deux points de raccordement \(P(2\,;\,3)\) et \(Q(8\,;\,11)\).
a) Calculer la distance \(PQ\) (longueur de tuyauterie nécessaire).
b) Déterminer les coordonnées du milieu \(M\) de \([PQ]\).
a) \(PQ = \sqrt{(8-2)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) m.
b) \(M\left(\dfrac{2+8}{2}\,;\,\dfrac{3+11}{2}\right) = M(\mathbf{5}\,;\,\mathbf{7})\).
Soient \(A(0\,;\,3)\), \(B(5\,;\,7)\), \(C(8\,;\,1)\) et \(D(3\,;\,-3)\).
a) Calculer \(\vec{AB}\) et \(\vec{DC}\).
b) Le quadrilatère \(ABCD\) est-il un parallélogramme ? Justifier.
a) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{DC}\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\).
b) \(\vec{AB} = \vec{DC}\), donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
Déterminer si les vecteurs suivants sont colinéaires. Justifier par le calcul du déterminant.
a) \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -5 \\ 10 \end{pmatrix}\)
b) \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}\)
a) Déterminant : \(3 \times 10 - (-6) \times (-5) = 30 - 30 = 0\). Les vecteurs sont colinéaires.
b) Déterminant : \(2 \times 3 - 7 \times (-4) = 6 + 28 = 34 \neq 0\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Le milieu \(M\) du segment \([AB]\) est \(M(5\,;\,1)\). On connaît \(A(2\,;\,-3)\). Déterminer les coordonnées de \(B\).
\(\dfrac{2 + x_B}{2} = 5 \Rightarrow x_B = 8\) et \(\dfrac{-3 + y_B}{2} = 1 \Rightarrow y_B = 5\).
Donc \(B(\mathbf{8}\,;\,\mathbf{5})\).
Barème : 20 points
Soient \(A(1\,;\,3)\), \(B(5\,;\,1)\) et \(C(3\,;\,7)\).
a) Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ? Justifier par un calcul de colinéarité.
b) Calculer l'aire du triangle \(ABC\) en utilisant le déterminant (aire = \(\dfrac{1}{2}|xy' - x'y|\) où \(\vec{AB}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\)).
a) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\).
Déterminant : \(4 \times 4 - (-2) \times 2 = 16 + 4 = 20 \neq 0\). Les points ne sont pas alignés.
b) Aire = \(\dfrac{1}{2}|20| = \mathbf{10}\) unités d'aire.
Un technicien de maintenance vérifie l'équilibre d'un panneau suspendu par trois câbles. Les forces exercées sont :
a) Calculer la résultante \(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{P}\).
b) Le système est-il en équilibre ? Justifier.
c) Si non, quelle force \(\vec{F_3}\) faudrait-il ajouter pour obtenir l'équilibre ?
a) \(\vec{R} = \begin{pmatrix} -4+5+0 \\ 6+3-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{1} \\ \mathbf{-1} \end{pmatrix}\) kN.
b) \(\vec{R} \neq \vec{0}\), le système n'est pas en équilibre.
c) Pour l'équilibre, il faut \(\vec{F_3} = -\vec{R} = \begin{pmatrix} \mathbf{-1} \\ \mathbf{1} \end{pmatrix}\) kN.
Soient \(A(2\,;\,1)\) et \(B(8\,;\,9)\).
a) Déterminer le point \(C\) tel que \(\vec{AC} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\).
b) Déterminer le point \(D\) tel que \(\vec{AD} = \dfrac{2}{3}\vec{AB}\).
c) Les points \(C\) et \(D\) partagent-ils le segment \([AB]\) en trois parties égales ? Justifier.
\(\vec{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}\).
a) \(\vec{AC} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{8}{3} \end{pmatrix}\). Donc \(C\left(2+2\,;\,1+\frac{8}{3}\right) = C\left(\mathbf{4}\,;\,\mathbf{\frac{11}{3}}\right)\).
b) \(\vec{AD} = \dfrac{2}{3}\begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ \frac{16}{3} \end{pmatrix}\). Donc \(D\left(2+4\,;\,1+\frac{16}{3}\right) = D\left(\mathbf{6}\,;\,\mathbf{\frac{19}{3}}\right)\).
c) \(\vec{AC} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\), \(\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\) et \(\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\).
Les trois vecteurs sont égaux, donc \(C\) et \(D\) partagent bien \([AB]\) en trois parties égales.
Déterminer la valeur du réel \(k\) pour que les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} k \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 6 \\ k+1 \end{pmatrix}\) soient colinéaires.
Condition de colinéarité : \(k(k+1) - 3 \times 6 = 0\).
\(k^2 + k - 18 = 0\).
Discriminant : \(\Delta = 1 + 72 = 73\).
\(k = \dfrac{-1 + \sqrt{73}}{2} \approx \mathbf{3{,}77}\) ou \(k = \dfrac{-1 - \sqrt{73}}{2} \approx \mathbf{-4{,}77}\).
Un artisan menuisier déplace un panneau de bois sur un plan (unité : 1 m). Il effectue successivement trois déplacements : \(\vec{d_1}\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{d_2}\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{d_3}\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\).
a) Calculer le déplacement total \(\vec{d}\).
b) Quelle est la distance entre la position initiale et la position finale ?
a) \(\vec{d} = \begin{pmatrix} 4-1-3 \\ 0+3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} \\ \mathbf{2} \end{pmatrix}\).
b) \(\|\vec{d}\| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = \mathbf{2}\) m.
Barème : 20 points
Soient \(A(2\,;\,-1)\), \(B(6\,;\,5)\) et \(C(0\,;\,3)\).
a) Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ? Justifier par un calcul de colinéarité.
b) Calculer l'aire du triangle \(ABC\) en utilisant le déterminant (aire = \(\dfrac{1}{2}|xy' - x'y|\) où \(\vec{AB}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\)).
a) \(\vec{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\).
Déterminant : \(4 \times 4 - 6 \times (-2) = 16 + 12 = 28 \neq 0\). Les points ne sont pas alignés.
b) Aire = \(\dfrac{1}{2}|28| = \mathbf{14}\) unités d'aire.
Un technicien chauffagiste vérifie l'équilibre d'un ballon d'eau chaude suspendu par trois fixations. Les forces exercées sont :
a) Calculer la résultante \(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{P}\).
b) Le système est-il en équilibre ? Justifier.
c) Si non, quelle force \(\vec{F_3}\) faudrait-il ajouter pour obtenir l'équilibre ?
a) \(\vec{R} = \begin{pmatrix} 3+(-2)+0 \\ 5+7-14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{1} \\ \mathbf{-2} \end{pmatrix}\) kN.
b) \(\vec{R} \neq \vec{0}\), le système n'est pas en équilibre.
c) Pour l'équilibre, il faut \(\vec{F_3} = -\vec{R} = \begin{pmatrix} \mathbf{-1} \\ \mathbf{2} \end{pmatrix}\) kN.
Soient \(A(1\,;\,2)\) et \(B(7\,;\,14)\).
a) Déterminer le point \(C\) tel que \(\vec{AC} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\).
b) Déterminer le point \(D\) tel que \(\vec{AD} = \dfrac{2}{3}\vec{AB}\).
c) Les points \(C\) et \(D\) partagent-ils le segment \([AB]\) en trois parties égales ? Justifier.
\(\vec{AB}\begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix}\).
a) \(\vec{AC} = \dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}\). Donc \(C\left(1+2\,;\,2+4\right) = C(\mathbf{3}\,;\,\mathbf{6})\).
b) \(\vec{AD} = \dfrac{2}{3}\begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). Donc \(D\left(1+4\,;\,2+8\right) = D(\mathbf{5}\,;\,\mathbf{10})\).
c) \(\vec{AC} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\), \(\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\) et \(\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD} = \dfrac{1}{3}\vec{AB}\).
Les trois vecteurs sont égaux, donc \(C\) et \(D\) partagent bien \([AB]\) en trois parties égales.
Déterminer la valeur du réel \(k\) pour que les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ k \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} k-1 \\ 4 \end{pmatrix}\) soient colinéaires.
Condition de colinéarité : \(2 \times 4 - k \times (k-1) = 0\).
\(8 - k^2 + k = 0\), soit \(k^2 - k - 8 = 0\).
Discriminant : \(\Delta = 1 + 32 = 33\).
\(k = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \approx \mathbf{3{,}37}\) ou \(k = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{2} \approx \mathbf{-2{,}37}\).
Un menuisier agenceur déplace un panneau d'agencement sur un plan (unité : 1 m). Il effectue successivement trois déplacements : \(\vec{d_1}\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{d_2}\begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{d_3}\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \end{pmatrix}\).
a) Calculer le déplacement total \(\vec{d}\).
b) Quelle est la distance entre la position initiale et la position finale ?
a) \(\vec{d} = \begin{pmatrix} -2+6-4 \\ 5-1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{0} \\ \mathbf{3} \end{pmatrix}\).
b) \(\|\vec{d}\| = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = \mathbf{3}\) m.