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Chapitre 8 – Exercices par capacités

Vecteurs du plan  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques
(Groupements A et B uniquement)

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Construire un vecteur ; vecteurs égaux, opposés, colinéaires

Rappel de cours

Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur).
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont mêmes direction, sens et norme.
Le vecteur opposé de \(\overrightarrow{AB}\) est \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\).
Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre : \(\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{u}\).

x y O \u20d7u \u20d7u -\u20d7u
Vecteurs \(\overrightarrow{u}\) (ambré), vecteur égal (ambré, translaté) et vecteur opposé \(-\overrightarrow{u}\) (rouge)

Exercice 1

On donne les points \(A(1;2)\), \(B(4;5)\), \(C(3;0)\) et \(D(6;3)\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
2. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont-ils égaux ? Justifier.
3. Que peut-on dire du quadrilatère \(ABDC\) ?

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\)

2. Oui, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) car ils ont les mêmes coordonnées (même direction, même sens, même norme).

3. \(ABDC\) est un parallélogramme car \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).

Exercice 2

Soient \(P(2;4)\) et \(Q(5;1)\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{PQ}\) et de \(\overrightarrow{QP}\).
2. Vérifier que \(\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}\) (vecteurs opposés).
3. Les vecteurs \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{QP}\) sont-ils colinéaires ?

1. \(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{QP} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}\)

2. \(-\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \overrightarrow{QP}\) : ce sont bien des vecteurs opposés.

3. Oui, \(\overrightarrow{QP} = (-1) \times \overrightarrow{PQ}\), donc ils sont colinéaires (de sens contraire).

Exercice 3

Un menuisier agenceur trace un plan de pose. On donne \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix}\).
1. Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont-ils colinéaires ? (Utiliser le critère \(ad - bc = 0\).)
2. On donne un troisième vecteur \(\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \end{pmatrix}\). Est-il colinéaire à \(\overrightarrow{u}\) ?

1. Critère de colinéarité : \(ad - bc = 2 \times 9 - 6 \times 3 = 18 - 18 = 0\).
Donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires. (On vérifie : \(\overrightarrow{v} = 1{,}5 \times \overrightarrow{u}\).)

2. \(ad - bc = 2 \times 10 - 6 \times 4 = 20 - 24 = -4 \neq 0\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{w}\) ne sont pas colinéaires.

C2 — Somme de vecteurs et produit par un réel

Rappel de cours

Somme : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \end{pmatrix}\). Graphiquement, on utilise la règle du parallélogramme.
Produit par un réel : \(k\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}\). Si \(k > 0\) : même sens ; si \(k < 0\) : sens contraire.

\u20d7u \u20d7v \u20d7u + \u20d7v
Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\)

Exercice 4

On donne \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\).
1. Calculer \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\).
2. Calculer \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\).
3. Représenter graphiquement \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) en utilisant la règle du parallélogramme.

1. \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3+(-1) \\ 1+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}\)

3. On place \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) à partir du même point, on complète le parallélogramme. La diagonale donne \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\).

Exercice 5

On donne \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Calculer :
a) \(3\overrightarrow{u}\)   b) \(-2\overrightarrow{u}\)   c) \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}\)
Pour chaque cas, préciser si le vecteur obtenu a le même sens que \(\overrightarrow{u}\) ou le sens contraire.

a) \(3\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}\) — même sens (\(k = 3 > 0\)).

b) \(-2\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \end{pmatrix}\) — sens contraire (\(k = -2 < 0\)).

c) \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1{,}5 \end{pmatrix}\) — même sens (\(k = 0{,}5 > 0\)).

Exercice 6

Un agenceur doit calculer l'effet combiné de deux déplacements lors de la pose de panneaux.
Le premier déplacement est \(\overrightarrow{d_1} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) (en mètres) et le second \(\overrightarrow{d_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).
1. Calculer le déplacement total \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{d_1} + \overrightarrow{d_2}\).
2. Calculer \(2\overrightarrow{d_1} - \overrightarrow{d_2}\) (déplacement si l'on double le premier et inverse le second).
3. Calculer la norme de \(\overrightarrow{d}\) (arrondir au centième).

1. \(\overrightarrow{d} = \begin{pmatrix} 4+(-1) \\ 2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) m

2. \(2\overrightarrow{d_1} - \overrightarrow{d_2} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}\) m

3. \(\|\overrightarrow{d}\| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\ \text{m}\)

C3 — Coordonnées d'un vecteur, norme, opérations

Rappel de cours

Dans un repère orthonormé, si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) :
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\) et \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées.
Deux vecteurs \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}\) sont colinéaires si \(ad - bc = 0\).

O 12 34 5 12 34 A B 3 2
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) : lecture des coordonnées sur le repère

Exercice 7

On donne \(A(2;1)\), \(B(5;4)\) et \(C(-1;3)\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2. Vérifier la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (en coordonnées).
3. Calculer \(\|\overrightarrow{AB}\|\) et \(\|\overrightarrow{AC}\|\) (arrondir au centième).

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -6 \\ -1 \end{pmatrix}\)

2. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 3+(-6) \\ 3+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} = \overrightarrow{AC}\) ✔

3. \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\)
\(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\)

Exercice 8

On donne \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix}\).
1. Calculer \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) et \(2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\).
2. Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont-ils colinéaires ?
3. Calculer la norme de \(\overrightarrow{u}\) et celle de \(\overrightarrow{v}\).

1. \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

2. Déterminant : \(4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0\). Oui, \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
On vérifie : \(\overrightarrow{v} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}\).

3. \(\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)
\(\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6{,}71\)

Exercice 9

Un charpentier trace un plan de toiture sur un repère orthonormé. Les points de fixation sont \(A(1;0)\), \(B(7;0)\) et \(C(4;5)\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\) (arrondir au dixième).
3. Déterminer si le triangle \(ABC\) est isocèle.

1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \end{pmatrix}\)

2. \(AB = \sqrt{36+0} = 6\)
\(AC = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \approx 5{,}8\)
\(BC = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \approx 5{,}8\)

3. \(AC = BC = \sqrt{34}\), donc le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\).