Vecteurs du plan | Première Bac Pro | Mathématiques
(Groupements A et B uniquement)
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
C1 et C2 se travaillent sur quadrillage, à la règle ; C3 à C5 avec les coordonnées. Les coordonnées s'écrivent en ligne : \(\vec u=(x\,;\,y)\).
Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme (longueur). Pour en tracer un représentant : choisir l'origine, suivre la direction, aller dans le bon sens et reporter la norme en carreaux.
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont mêmes direction, sens et norme ; opposés s'ils ont même direction et même norme, mais des sens contraires ; colinéaires s'ils ont la même direction.
Deux flèches de même longueur ne sont pas forcément égales : il faut aussi la même direction et le même sens.
Sur le quadrillage, tracer :
a) depuis \(A\), un représentant de \(\vec u\) : direction horizontale, sens vers la droite, norme 5 unités ;
b) depuis \(B\), un représentant de \(\vec v\) : direction verticale, sens vers le bas, norme 3 unités ;
c) depuis \(C\), un représentant de \(\vec w\) : 2 carreaux vers la gauche et 3 vers le haut.
a) Flèche horizontale de 5 carreaux, pointe à droite. b) Flèche verticale de 3 carreaux, pointe en bas.
c) On compte 2 carreaux vers la gauche puis 3 vers le haut, et on trace la flèche de \(C\) au point atteint.
À chaque fois, on vérifie les trois caractéristiques : direction, sens, norme.
Cinq vecteurs sont tracés sur le quadrillage.
1. Citer un vecteur égal à \(\vec a\). Justifier.
2. Citer un vecteur opposé à \(\vec a\). Justifier.
3. Les vecteurs \(\vec d\) et \(\vec e\) sont-ils colinéaires à \(\vec a\) ?
1. \(\vec b=\vec a\) : même direction, même sens, même norme (3 carreaux à droite, 1 vers le haut).
2. \(\vec c=-\vec a\) : même direction, même norme, sens contraire.
3. \(\vec d\) va de 6 à droite et 2 vers le haut : c'est deux fois \(\vec a\), même direction, donc colinéaire. \(\vec e\) va de 1 à droite et 3 vers le haut : même longueur que \(\vec a\), mais direction différente, donc non colinéaire.
Le vecteur \(\vec w\) est tracé sur le quadrillage.
a) Depuis \(E\), tracer un vecteur égal à \(\vec w\).
b) Depuis \(F\), tracer le vecteur opposé \(-\vec w\).
\(\vec w\) : 2 carreaux vers la droite, 3 vers le haut. Depuis \(E\), on reproduit le même déplacement.
\(-\vec w\) : 2 carreaux vers la gauche, 3 vers le bas depuis \(F\). Même direction et même norme, sens contraire.
1. Tracer une flèche représentant \(\overrightarrow{PQ}\), puis une flèche représentant \(\overrightarrow{QP}\).
2. Comparer leurs directions, leurs sens et leurs normes.
3. Ces vecteurs sont-ils égaux ? opposés ? colinéaires ?
2. Même direction (la droite \((PQ)\)), même norme (la longueur \(PQ\)), sens contraires.
3. Ils ne sont pas égaux. Ils sont opposés : \(\overrightarrow{QP}=-\overrightarrow{PQ}\). Deux vecteurs opposés ont la même direction : ils sont aussi colinéaires.
Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse.
a) Deux vecteurs de même norme sont égaux.
b) Deux vecteurs opposés sont colinéaires.
c) Si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), alors les segments \([AB]\) et \([CD]\) ont la même longueur.
d) Le vecteur \(\overrightarrow{AA}\) a une direction.
a) Faux : il faut aussi la même direction et le même sens. Deux flèches de même longueur peuvent être dans des directions différentes.
b) Vrai : deux vecteurs opposés ont la même direction.
c) Vrai : deux vecteurs égaux ont la même norme, donc \(AB=CD\).
d) Faux : \(\overrightarrow{AA}\) est le vecteur nul ; sa norme est nulle et il n'a ni direction ni sens.
Somme bout à bout : tracer \(\vec u\), puis \(\vec v\) depuis l'extrémité de \(\vec u\) ; la somme va du départ à l'arrivée finale. Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Avec deux vecteurs de même origine, compléter un parallélogramme.
Produit par un réel : \(k\vec u\) garde la direction de \(\vec u\) ; même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\) ; la norme est multipliée par \(|k|\).
Différence : \(\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)\).
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont tracés en haut du quadrillage.
1. Depuis \(O\), construire \(\vec u\), puis \(\vec v\) bout à bout. Tracer \(\vec u+\vec v\).
2. Depuis \(P\), construire d'abord \(\vec v\), puis \(\vec u\). Tracer \(\vec v+\vec u\). Que constate-t-on ?
1. Depuis \(O\) : 3 à droite et 1 vers le haut, puis 1 à droite et 2 vers le haut. La somme arrive 4 carreaux à droite et 3 au-dessus de \(O\).
2. Depuis \(P\), on arrive aussi 4 carreaux à droite et 3 au-dessus : \(\vec v+\vec u=\vec u+\vec v\). L'ordre des termes d'une somme ne compte pas.
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) ont la même origine \(A\).
1. Compléter le parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\). Nommer \(B\) son quatrième sommet.
2. Tracer \(\vec u+\vec v\) depuis \(A\).
On reporte \(\vec v\) à l'extrémité de \(\vec u\) et \(\vec u\) à l'extrémité de \(\vec v\) : les deux reports se rejoignent en \(B\).
La diagonale \([AB]\), orientée de \(A\) vers \(B\), représente \(\vec u+\vec v\) : 5 carreaux à droite et 4 vers le haut.
Le vecteur \(\vec u\) est tracé sur le quadrillage.
1. Depuis \(A\), construire \(\tfrac12\vec u\). Depuis \(B\), construire \(-\tfrac12\vec u\). Depuis \(C\), construire \(1{,}5\,\vec u\).
2. Parmi ces trois vecteurs, lesquels ont le même sens que \(\vec u\) ?
1. \(\vec u\) : 4 carreaux à droite et 2 vers le haut. \(\tfrac12\vec u\) : 2 à droite et 1 vers le haut. \(-\tfrac12\vec u\) : 2 à gauche et 1 vers le bas. \(1{,}5\,\vec u\) : 6 à droite et 3 vers le haut.
2. \(\tfrac12\vec u\) et \(1{,}5\,\vec u\) : le coefficient est positif. \(-\tfrac12\vec u\) a le sens contraire. Les trois gardent la direction de \(\vec u\).
1. Depuis \(O\), construire \(\vec u-\vec v\) : tracer \(\vec u\), puis \(-\vec v\) bout à bout.
2. Depuis \(P\), construire \(\vec v-\vec u\).
3. Comparer les deux vecteurs obtenus.
1. \(\vec u-\vec v\) : 2 carreaux à droite et 1 vers le bas depuis \(O\).
2. \(\vec v-\vec u\) : 2 carreaux à gauche et 1 vers le haut depuis \(P\).
3. Ils sont opposés : \(\vec v-\vec u=-(\vec u-\vec v)\). Dans une différence, l'ordre compte.
Un robot d'entrepôt va de \(A\) à \(B\), puis de \(B\) à \(C\).
1. Tracer le vecteur \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\). Quel vecteur obtient-on ?
2. Le robot a-t-il parcouru la longueur \(AC\) ? Expliquer.
1. Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). La flèche va de \(A\) directement à \(C\).
2. Non. \(\overrightarrow{AC}\) décrit le déplacement global. Le robot a parcouru \(AB+BC\), qui est plus long que \(AC\) : dans le triangle \(ABC\), le chemin direct est le plus court.
Pour lire un vecteur : compter les carreaux horizontalement (vers la droite : positif), puis verticalement (vers le haut : positif).
Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) : \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\), arrivée moins départ.
Somme : \((x\,;\,y)+(x'\,;\,y')=(x+x'\,;\,y+y')\) ; produit : \(k(x\,;\,y)=(kx\,;\,ky)\).
1. Lire les coordonnées des vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec s\).
2. Représenter depuis \(E\) le vecteur \(\vec t=(3\,;\,-2)\).
1. \(\vec u=(3\,;\,2)\) ; \(\vec v=(1\,;\,-4)\) ; \(\vec s=(-2\,;\,4)\). On compte d'abord horizontalement, puis verticalement, depuis l'origine de la flèche.
2. Depuis \(E\), 3 carreaux vers la droite, puis 2 vers le bas :
On donne \(A(2\,;\,1)\), \(B(5\,;\,4)\) et \(C(-1\,;\,3)\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2. Vérifier la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (en coordonnées).
3. Calculer \(\|\overrightarrow{AB}\|\) et \(\|\overrightarrow{AC}\|\) (arrondir au centième).
1. \(\overrightarrow{AB} = (3\,;\,3)\), \(\overrightarrow{AC} = (-3\,;\,2)\), \(\overrightarrow{BC} = (-6\,;\,-1)\).
2. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3+(-6)\,;\,3+(-1)) = (-3\,;\,2) = \overrightarrow{AC}\) ✔
3. \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} \approx 4{,}24\) ; \(\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{9+4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\).
Soient \(P(2\,;\,4)\) et \(Q(5\,;\,1)\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{PQ}\) et de \(\overrightarrow{QP}\).
2. Vérifier que \(\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}\).
1. \(\overrightarrow{PQ} = (5-2\,;\,1-4) = (3\,;\,-3)\) et \(\overrightarrow{QP} = (2-5\,;\,4-1) = (-3\,;\,3)\).
2. \(-\overrightarrow{PQ} = (-3\,;\,3) = \overrightarrow{QP}\) : les coordonnées de l'opposé sont les opposées des coordonnées.
On donne \(\vec u = (3\,;\,1)\) et \(\vec v = (-1\,;\,4)\).
1. Calculer \(\vec u + \vec v\).
2. Calculer \(\vec u - \vec v\).
3. Calculer \(2\vec u - \vec v\).
1. \(\vec u + \vec v = (3+(-1)\,;\,1+4) = (2\,;\,5)\).
2. \(\vec u - \vec v = (3-(-1)\,;\,1-4) = (4\,;\,-3)\). Attention : \(3-(-1)=4\).
3. \(2\vec u = (6\,;\,2)\), donc \(2\vec u - \vec v = (6-(-1)\,;\,2-4) = (7\,;\,-2)\).
On donne \(\vec u = (2\,;\,-3)\). Calculer :
a) \(3\vec u\) b) \(-2\vec u\) c) \(\dfrac{1}{2}\vec u\)
Pour chaque cas, préciser si le vecteur obtenu a le même sens que \(\vec u\) ou le sens contraire.
a) \(3\vec u = (6\,;\,-9)\) — même sens (\(k = 3 > 0\)).
b) \(-2\vec u = (-4\,;\,6)\) — sens contraire (\(k = -2 < 0\)).
c) \(\dfrac{1}{2}\vec u = (1\,;\,-1{,}5)\) — même sens (\(k = 0{,}5 > 0\)).
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées. Ils sont colinéaires si un même coefficient convient pour les deux coordonnées, ou si \(xy'-x'y=0\).
\(ABCD\) est un parallélogramme si \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
On donne les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,5)\), \(C(3\,;\,0)\) et \(D(6\,;\,3)\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\).
2. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont-ils égaux ? Justifier.
3. Les points \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés. Que peut-on dire du quadrilatère \(ABDC\) ?
1. \(\overrightarrow{AB} = (4-1\,;\,5-2) = (3\,;\,3)\) et \(\overrightarrow{CD} = (6-3\,;\,3-0) = (3\,;\,3)\).
2. Oui : mêmes coordonnées, donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
3. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) et le quadrilatère n'est pas aplati : \(ABDC\) est un parallélogramme. Attention à l'ordre des sommets : \(A\), \(B\), \(D\), \(C\).
On donne \(\vec u = (2\,;\,6)\), \(\vec v = (3\,;\,9)\) et \(\vec w = (4\,;\,10)\).
1. Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont-ils colinéaires ?
2. Le vecteur \(\vec w\) est-il colinéaire à \(\vec u\) ?
1. \(3 = 1{,}5 \times 2\) et \(9 = 1{,}5 \times 6\) : le même coefficient convient, \(\vec v = 1{,}5\,\vec u\). Les vecteurs sont colinéaires. Avec le critère : \(2 \times 9 - 6 \times 3 = 0\).
2. \(4 = 2 \times 2\), mais \(2 \times 6 = 12 \neq 10\) : aucun coefficient commun. Avec le critère : \(2 \times 10 - 6 \times 4 = -4 \neq 0\). \(\vec w\) n'est pas colinéaire à \(\vec u\).
On donne \(\vec u = (4\,;\,-2)\) et \(\vec v = (-6\,;\,3)\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer \(\vec u + \vec v\) et \(2\vec u + \vec v\).
2. Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont-ils colinéaires ?
3. Calculer la norme de \(\vec u\) et celle de \(\vec v\).
1. \(\vec u + \vec v = (-2\,;\,1)\) ; \(2\vec u + \vec v = (8\,;\,-4) + (-6\,;\,3) = (2\,;\,-1)\).
2. \(4 \times 3 - (-2) \times (-6) = 12 - 12 = 0\) : oui, colinéaires. On vérifie : \(\vec v = -1{,}5\,\vec u\).
3. \(\|\vec u\| = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\) ; \(\|\vec v\| = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} \approx 6{,}71\).
On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(10\,;\,5)\), \(D(2\,;\,-1)\) et \(E(8\,;\,1)\).
1. Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?
2. Les droites \((AB)\) et \((DE)\) sont-elles parallèles ?
3. Le quadrilatère \(ABED\) est-il un parallélogramme ?
1. \(\overrightarrow{AB} = (3\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{AC} = (9\,;\,3) = 3\,\overrightarrow{AB}\). Les vecteurs sont colinéaires : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
2. \(\overrightarrow{DE} = (6\,;\,2) = 2\,\overrightarrow{AB}\) : vecteurs colinéaires, donc \((AB)\) et \((DE)\) sont parallèles.
3. Il faudrait \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DE}\). Or \((3\,;\,1) \neq (6\,;\,2)\) : \(ABED\) n'est pas un parallélogramme. Ses côtés \([AB]\) et \([DE]\) sont parallèles, mais pas de même longueur.
Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité) : \(\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}\).
La norme d'une somme n'est pas la somme des normes : la distance directe est plus courte qu'un trajet en deux étapes.
Un robot mobile enchaîne deux déplacements dans un entrepôt (repère orthonormé, unité : 1 m).
Le premier déplacement est \(\vec d_1 = (4\,;\,2)\) et le second \(\vec d_2 = (-1\,;\,3)\).
1. Calculer le déplacement total \(\vec d = \vec d_1 + \vec d_2\).
2. Calculer \(2\vec d_1 - \vec d_2\).
3. Calculer la norme de \(\vec d\) (arrondir au centième).
1. \(\vec d = (4+(-1)\,;\,2+3) = (3\,;\,5)\).
2. \(2\vec d_1 - \vec d_2 = (8\,;\,4) - (-1\,;\,3) = (9\,;\,1)\).
3. \(\|\vec d\| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83\) m. C'est la distance entre le départ et l'arrivée, pas la longueur du trajet.
Un géomètre repère trois balises sur une carte, dans un repère orthonormé : \(A(1\,;\,0)\), \(B(7\,;\,0)\) et \(C(4\,;\,5)\).
1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
2. Calculer les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\) (arrondir au dixième).
3. Le triangle \(ABC\) est-il isocèle ?
1. \(\overrightarrow{AB} = (6\,;\,0)\), \(\overrightarrow{AC} = (3\,;\,5)\), \(\overrightarrow{BC} = (-3\,;\,5)\).
2. \(AB = \sqrt{36} = 6\) ; \(AC = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \approx 5{,}8\) ; \(BC = \sqrt{9+25} = \sqrt{34} \approx 5{,}8\).
3. \(AC = BC\) : le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\).
Sur un plan, l'axe horizontal est gradué en centimètres, mais l'axe vertical utilise 2 cm par unité. Un élève calcule la longueur réelle de la flèche du vecteur \(\vec u = (3\,;\,4)\) :
« \(\|\vec u\| = \sqrt{3^2+4^2} = 5\), donc la flèche mesure 5 cm. »
1. Pourquoi ce calcul est-il faux ?
2. Calculer la longueur réelle de la flèche (arrondir au centième).
1. La formule \(\sqrt{x^2+y^2}\) ne donne la longueur que dans un repère orthonormé : même unité sur les deux axes. Ici, les unités diffèrent.
2. Sur le plan, la flèche avance de 3 cm horizontalement et de \(4 \times 2 = 8\) cm verticalement. Par Pythagore : \(\sqrt{3^2+8^2} = \sqrt{73} \approx 8{,}54\) cm.