Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro
On donne les vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \).
Rappel : Pour additionner deux vecteurs, on additionne les coordonnées ligne par ligne :
\( \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \end{pmatrix} \)
1. REA Calculer \( \vec{u} + \vec{v} \). Compléter :
\( \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 + \ldots \\ 3 + (\ldots) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)
2. REA Calculer \( \vec{u} - \vec{v} \). Compléter :
Rappel : soustraire, c'est retrancher chaque coordonnée.
\( \vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 - 4 \\ 3 - (\ldots) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)
3. REA Calculer \( 3\vec{u} \). Compléter :
Rappel : multiplier un vecteur par un nombre, c'est multiplier chaque coordonnée par ce nombre.
\( 3\vec{u} = 3 \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)
4. ANA Calculer la norme de \( \vec{u} \). Compléter les étapes :
Rappel : \( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Étape 1 : \( x^2 = 2^2 = \ldots \) et \( y^2 = 3^2 = \ldots \)
Étape 2 : \( x^2 + y^2 = \ldots + \ldots = \ldots \)
Étape 3 : \( \|\vec{u}\| = \sqrt{\ldots} \approx \ldots \) (arrondi au dixième)
1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \). Compléter :
Rappel : \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \)
\( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - \ldots \\ 2 - \ldots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)
2. ANA Calculer la longueur \( AB \) (norme du vecteur).
Aide : \( AB = \sqrt{(\ldots)^2 + (\ldots)^2} = \ldots \)
On donne maintenant le point \( C(5\,;\,6) \).
3. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{BC} \).
4. APP On cherche le point \( D \) tel que \( ABCD \) soit un rectangle (parallélogramme). On sait que dans un parallélogramme \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \). Compléter :
\( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \)
Donc : \( x_D - x_A = 0 \), soit \( x_D = \ldots \) et \( y_D - y_A = 4 \), soit \( y_D = \ldots \)
5. VAL Calculer le milieu \( I \) du segment \( [AC] \).
Rappel : \( I\left(\dfrac{x_A + x_C}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_C}{2}\right) \)
On donne les vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \).
1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \vec{u} + \vec{v} \).
2. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \vec{u} - \vec{v} \).
3. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( 2\vec{u} + 3\vec{v} \).
4. ANA Calculer la norme de \( \vec{u} \), notée \( \|\vec{u}\| \). Donner la valeur exacte puis l'arrondi au dixième.
1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \).
2. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AC} \).
3. ANA Calculer la norme (longueur) de \( \overrightarrow{AB} \). Arrondir au dixième.
4. ANA On cherche le point \( D \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme. Rappeler la condition sur les vecteurs pour que \( ABCD \) soit un parallélogramme.
5. REA En déduire les coordonnées du point \( D \).
6. VAL Calculer les coordonnées du milieu \( I \) du segment \( [AC] \) et du milieu \( J \) du segment \( [BD] \). Que constate-t-on ? Est-ce cohérent ?
On donne les vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \), \( \vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \) et \( \vec{w}\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \).
1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( 2\vec{u} - \vec{v} + 3\vec{w} \).
2. ANA Calculer les normes \( \|\vec{u}\| \), \( \|\vec{v}\| \) et \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \). Donner les valeurs exactes.
3. VAL Vérifier que \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \neq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| \). Expliquer pourquoi cette inégalité est vraie en général.
4. ANA Déterminer si les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{w} \) sont colinéaires. Justifier par le calcul.
1. REA Calculer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \).
2. ANA Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont-ils colinéaires ? Les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont-ils alignés ? Justifier.
3. REA On cherche le point \( D \) tel que \( ABDC \) soit un parallélogramme (avec \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \)). Déterminer les coordonnées de \( D \).
4. REA Calculer les longueurs \( AB \), \( AC \) et \( BC \). Arrondir au centième.
5. ANA On place un point \( M \) sur le segment \( [AB] \) tel que \( \overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \). Déterminer les coordonnées de \( M \).
6. COM Le client souhaite placer un meuble linéaire de 7 mètres de long le long du segment \( [AB] \). Est-ce possible ? Si non, quelle longueur maximale peut-il installer ? Rédiger la réponse.