Devoir Surveillé – Chapitre 8

Vecteurs du plan | 1^ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 21 août 2026, 18:05

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🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Comprendre la notion de vecteur : direction, sens, norme
Représenter un vecteur et identifier des vecteurs égaux
Calculer les coordonnées d'un vecteur
Effectuer des opérations sur les vecteurs : somme, différence, produit par un scalaire
Calculer la norme d'un vecteur
Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment
Introduire la notion de colinéarité

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Calculs guidés sur les vecteurs 10 points

Les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) dans un repère (1 carreau = 1 unité)

On donne les vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \).

Rappel : Pour additionner deux vecteurs, on additionne les coordonnées ligne par ligne :

\( \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_u + x_v \\ y_u + y_v \end{pmatrix} \)

1. REA Calculer \( \vec{u} + \vec{v} \). Compléter : (2 pts)

\( \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 + \ldots \\ 3 + (\ldots) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)

2. REA Calculer \( \vec{u} - \vec{v} \). Compléter : (2 pts)

Rappel : soustraire, c'est retrancher chaque coordonnée.

\( \vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ 3 - (\ldots) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)

3. REA Calculer \( 3\vec{u} \). Compléter : (2 pts)

Rappel : multiplier un vecteur par un nombre, c'est multiplier chaque coordonnée par ce nombre.

\( 3\vec{u} = 3 \times \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 1 \\ 3 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)

4. ANA Calculer la norme de \( \vec{u} \). Compléter les étapes : (4 pts)

Rappel : \( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \)

Étape 1 : \( x^2 = 1^2 = \ldots \) et \( y^2 = 3^2 = \ldots \)

Étape 2 : \( x^2 + y^2 = \ldots + \ldots = \ldots \)

Étape 3 : \( \|\vec{u}\| = \sqrt{\ldots} \approx \ldots \) (arrondi au dixième)

Exercice 2 – Vecteurs et points dans un plan 10 points

Contexte professionnel : Un menuisier dessine le plan d'une étagère rectangulaire sur un quadrillage. Il place les coins de l'étagère sur un repère. Les points \( A(1\,;\,2) \), \( B(5\,;\,2) \) et \( C(5\,;\,6) \) représentent trois coins de l'étagère.

Plan de l'étagère : les coins A, B et C dans le repère

1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \). Compléter : (2 pts)

Rappel : \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \)

\( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - \ldots \\ 2 - \ldots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)

2. ANA Calculer la longueur \( AB \) (norme du vecteur). (2 pts)

Aide : \( AB = \sqrt{(\ldots)^2 + (\ldots)^2} = \ldots \)

3. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{BC} \). (2 pts)

4. APP On cherche le quatrième coin \( D \) de l'étagère. Comme \( ABCD \) est rectangulaire, c'est en particulier un parallélogramme, et dans un parallélogramme on a \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \). Compléter : (2 pts)

Reporter ici le résultat trouvé à la question 3 : \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} \ldots \\ \ldots \end{pmatrix} \)

Donc : \( x_D - x_A = \ldots \), soit \( x_D = \ldots \) et \( y_D - y_A = \ldots \), soit \( y_D = \ldots \)

5. VAL Calculer le milieu \( I \) du segment \( [AC] \). (2 pts)

Rappel : \( I\left(\dfrac{x_A + x_C}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_C}{2}\right) \)

Standard

Exercice 1 – Calculs sur les vecteurs 8 points

Les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) tracés à partir de l'origine O

On donne les vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \end{pmatrix} \).

1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \vec{u} + \vec{v} \). (2 pts)

2. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \vec{u} - \vec{v} \). (2 pts)

3. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( 2\vec{u} + 3\vec{v} \). (2 pts)

4. ANA Calculer la norme de \( \vec{u} \), notée \( \|\vec{u}\| \). Donner la valeur exacte puis l'arrondi au dixième. (2 pts)

Exercice 2 – Vecteurs et parallélogramme 12 points

Contexte professionnel : Un menuisier agenceur dessine le plan d'un aménagement de bureau. Il place les coins d'un meuble sur un repère orthonormé. Les points \( A(2\,;\,2) \), \( B(7\,;\,6) \) et \( C(8\,;\,2) \) représentent trois sommets du meuble.

1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \). (2 pts)

2. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AC} \). (2 pts)

3. ANA Calculer la norme (longueur) de \( \overrightarrow{AB} \). Arrondir au dixième. (2 pts)

4. ANA On cherche le point \( D \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme. Rappeler la condition sur les vecteurs pour que \( ABCD \) soit un parallélogramme. (1 pt)

5. REA En déduire les coordonnées du point \( D \). (3 pts)

6. VAL Calculer les coordonnées du milieu \( I \) du segment \( [AC] \) et du milieu \( J \) du segment \( [BD] \). Que constate-t-on ? Est-ce cohérent ? (2 pts)

Approfondissement

Exercice 1 – Opérations sur les vecteurs et colinéarité 8 points

On donne les vecteurs \( \vec{u}\begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} \), \( \vec{v}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \) et \( \vec{w}\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \).

1. REA Calculer les coordonnées du vecteur \( 2\vec{u} - \vec{v} + 3\vec{w} \). (2 pts)

2. ANA Calculer les normes \( \|\vec{u}\| \), \( \|\vec{v}\| \) et \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \). Donner les valeurs exactes. (3 pts)

3. VAL Donner les valeurs arrondies au centième de \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \) et de \( \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| \), puis comparer ces deux nombres. (1 pt)

Remarque Ce que vous venez de constater n'est pas un hasard : pour tous vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \), on a \( \|\vec{u} + \vec{v}\| \leqslant \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\| \). C'est l'inégalité triangulaire.

4. ANA Déterminer si les vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{w} \) sont colinéaires. Justifier par le calcul. (2 pts)

Exercice 2 – Plan d'agencement et alignement 12 points

Contexte professionnel : Un installateur d'agencement dessine le plan d'un aménagement de bureau sur un repère orthonormé (unité : 1 mètre). Les points \( A(-1\,;\,2) \), \( B(3\,;\,6) \) et \( C(5\,;\,0) \) représentent les coins principaux de l'aménagement.

1. REA Calculer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \). (2 pts)

2. ANA Les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{AC} \) sont-ils colinéaires ? Les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont-ils alignés ? Justifier. (2 pts)

3. REA On cherche le point \( D \) tel que \( ABDC \) soit un parallélogramme (avec \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \)). Déterminer les coordonnées de \( D \). (2 pts)

4. REA Calculer les longueurs \( AB \), \( AC \) et \( BC \). Arrondir au centième. (2 pts)

5. ANA On place un point \( M \) sur le segment \( [AB] \) tel que \( \overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} \). Déterminer les coordonnées de \( M \). (2 pts)

6. COM Le client souhaite placer un meuble linéaire de 7 mètres de long le long du segment \( [AB] \). Est-ce possible ? Si non, quelle longueur maximale peut-il installer ? Rédiger la réponse. (2 pts)