Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00
Adel, à Pantin, envisage d'installer une petite éolienne de toit pour compléter ses panneaux photovoltaïques. Le rotor de l'éolienne tourne autour d'un axe horizontal qui doit être orienté face au vent pour produire au maximum. Adel veut comprendre l'effet d'un désalignement entre l'axe de l'éolienne et la direction du vent.
Repère orthonormé centré sur le mât :
Trois vents enregistrés (anémomètre) :
| Vent | Coordonnées (m/s) | Direction (vient de…) |
|---|---|---|
| \(\vec{v_1}\) | (-7 ; -7) | nord-est |
| \(\vec{v_2}\) | (-10 ; 0) | est |
| \(\vec{v_3}\) | (0 ; -8) | nord |
NB : un vent qui « vient du nord-est » se dirige vers le sud-ouest. Donc \(\vec{v_1}\) doit avoir des composantes négatives (vers SO).
Représenter dans le repère les trois vents \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\), \(\vec{v_3}\) ainsi que le vecteur \(\vec{e}\) (axe de l'éolienne).
Repère orthonormé. Échelle 1 cm = 1 m/s.
Calculer la norme de chaque vent (vitesse en m/s, puis en km/h).
Les trois vents ont des vitesses comparables (8 à 10 m/s, plage idéale pour l'éolienne).
Calculer le produit scalaire \(p_1 = \vec{v_1} \cdot \vec{e}\). Que représente cette valeur ?
\(p_1 = (-7) \times (-0{,}71) + (-7) \times (-0{,}71) = 4{,}97 + 4{,}97 = \mathbf{9{,}94}\) m/s.
Interprétation : la composante du vent \(\vec{v_1}\) dans la direction de l'axe \(\vec{e}\) vaut 9,94 m/s. C'est cette composante qui « pousse » sur les pales.
Comme \(\|\vec{v_1}\| = 9{,}9\) et \(p_1 \approx 9{,}94\), on a quasiment \(p_1 = \|\vec{v_1}\|\) : le vent est parfaitement aligné avec l'axe de l'éolienne — tous deux dirigés vers le sud-ouest, puisque ce vent vient du nord-est.
Calculer \(p_2 = \vec{v_2} \cdot \vec{e}\) et \(p_3 = \vec{v_3} \cdot \vec{e}\).
\(p_2 = (-10) \times (-0{,}71) + 0 \times (-0{,}71) = 7{,}10 + 0 = \mathbf{7{,}10}\) m/s.
\(p_3 = 0 \times (-0{,}71) + (-8) \times (-0{,}71) = 0 + 5{,}68 = \mathbf{5{,}68}\) m/s.
Les deux vents \(\vec{v_2}\) (est) et \(\vec{v_3}\) (nord) ont des composantes alignées plus faibles que leur norme, à cause de l'angle.
Calculer le rendement effectif (\(p / \|\vec{v}\|\)) pour chaque vent. Conclure : quel vent est le plus favorable ?
| Vent | \(\|\vec{v}\|\) (m/s) | \(p\) (m/s) | Rendement \(p / \|\vec{v}\|\) |
|---|---|---|---|
| \(\vec{v_1}\) (NE) | 9,90 | 9,94 | 100 % |
| \(\vec{v_2}\) (E) | 10,00 | 7,10 | 71 % |
| \(\vec{v_3}\) (N) | 8,00 | 5,68 | 71 % |
Le vent NE est parfaitement aligné (rendement 100 %), les deux autres sont à 71 % à cause de l'angle de 45° avec l'axe SO.
71 % = \(\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ✓ (cohérent avec la géométrie).
D'après la loi de Betz, la puissance produite est proportionnelle à \(p^3\). Calculer le rapport de puissance entre vent NE (\(p_1 \approx 9{,}94\)) et vent N (\(p_3 \approx 5{,}68\)).
Rapport : \(\dfrac{p_1^3}{p_3^3} = \left(\dfrac{9{,}94}{5{,}68}\right)^3 = (1{,}75)^3 \approx \mathbf{5{,}4}\).
Le vent NE produit 5,4 fois plus de puissance que le vent N, alors que sa vitesse n'est que 1,24 fois supérieure ! C'est l'effet cubique.
Morale : l'orientation de l'éolienne est cruciale. Un désalignement de 45° fait perdre une fraction énorme de puissance (rendement 71 % en vitesse, mais 36 % en puissance car \(0{,}71^3 \approx 0{,}36\)).
Adel constate que les vents dominants à Pantin viennent en réalité de l'ouest, et non du nord-est. Un tel vent se déplace vers l'est : son vecteur est \(\vec{v_4}(+10\,;\,0)\). Calculer \(p_4\) et conclure.
\(p_4 = (+10) \times (-0{,}71) + 0 \times (-0{,}71) = \mathbf{-7{,}10}\) m/s.
Le produit scalaire est négatif : le vent arrive par l'arrière du rotor. Il ne pousse pas sur les pales, il les freine.
Production : nulle. Sur les vents dominants réels de son terrain, l'éolienne d'Adel ne produit rien du tout — et non « un peu moins ».
Recommandation : une éolienne fixe ne capte qu'une moitié de la rose des vents. Installer une girouette mobile (≈ 800 €), ou à défaut retourner le mât face à l'ouest — ce qui, à l'inverse, annulerait la production sur les vents de nord-est.
Rédiger le rapport de diagnostic d'Adel (6 lignes).
Diagnostic éolienne — Pantin
• Axe éolienne fixé SO : \(\vec{e}(-0{,}71\,;\,-0{,}71)\).
• Pour chaque vent observé : on projette le vecteur sur l'axe → composante utile.
• Vent NE : aligné parfaitement, rendement 100 % (1 kW restitué).
• Vent E ou N : alignement à 45°, rendement 71 % en vitesse, 36 % en puissance.
• Vent d'ouest \(\vec{v_4}(+10\,;\,0)\) : produit scalaire négatif (−7,10), le vent arrive par l'arrière du rotor → production nulle.
• Conclusion : installer une girouette mobile (800 €, ROI ≈ 3 ans) au lieu d'un mât fixe.
Calculer la composante du vent \(\vec{v_3}\) (nord) perpendiculaire à l'axe \(\vec{e}\) (composante qui « passe à côté » sans servir).
Le vecteur perpendiculaire à \(\vec{e}(-0{,}71\,;\,-0{,}71)\) (rotation de 90°) est \(\vec{e_\perp}(-0{,}71\,;\,0{,}71)\) (ou \((0{,}71\,;\,-0{,}71)\), à un signe près).
Composante perpendiculaire : \(\vec{v_3} \cdot \vec{e_\perp} = 0 \times (-0{,}71) + (-8) \times 0{,}71 = -5{,}68\) m/s.
Norme : 5,68 m/s. C'est l'énergie gaspillée à pousser sur le mât latéralement (effort sans utilité énergétique).
Vérification : \(p_3^2 + p_\perp^2 = 5{,}68^2 + 5{,}68^2 = 32{,}3 + 32{,}3 = 64{,}6 \approx 64 = \|\vec{v_3}\|^2\) ✓ (Pythagore vectoriel).
📚 Cette activité s'appuie sur §III (Opérations vectorielles) et §IV (Norme) de la leçon Ch08 + introduction au produit scalaire (notion vue plus tard) + lien EDD.