♻️ Activité 9 – Éolienne face au vent : projection et orientation ENVIRONNEMENT — EDD

Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 24 mai 2026

Objectifs :

Représenter un vecteur vent dans un repère
Décomposer un vecteur en deux composantes (projection)
Calculer la norme d'une composante
Comprendre l'effet d'angle entre direction du vent et axe d'une éolienne
Évaluer une perte de rendement énergétique

Situation — installation d'une éolienne domestique

Adel, à Pantin, envisage d'installer une petite éolienne de toit pour compléter ses panneaux photovoltaïques. Le rotor de l'éolienne tourne autour d'un axe horizontal qui doit être orienté face au vent pour produire au maximum. Adel veut comprendre l'effet d'un désalignement entre l'axe de l'éolienne et la direction du vent.

Document 1 – L'éolienne et son axe

Éolienne à axe horizontal, rotor 3 pales, diamètre 2,50 m, puissance nominale 1 kW.
L'éolienne est orientable sur un mât, mais Adel l'a fixée définitivement vers le sud-ouest (direction supposée des vents dominants en Île-de-France).
Axe de l'éolienne (orientation captée par le rotor) : vecteur unitaire \(\vec{e} = (\cos 225°\,;\,\sin 225°) \approx (-0{,}71\,;\,-0{,}71)\) (sud-ouest dans un repère N-S/E-O).

Document 2 – Repère et vents observés

Repère orthonormé centré sur le mât :

\(\vec{i}\) horizontal vers l'est.
\(\vec{j}\) horizontal vers le nord.
Unité : 1 = 1 m/s de vitesse de vent.

Trois vents enregistrés (anémomètre) :

Vent	Coordonnées (m/s)	Direction (vient de…)
\(\vec{v_1}\)	(-7 ; -7)	nord-est
\(\vec{v_2}\)	(-10 ; 0)	est
\(\vec{v_3}\)	(0 ; -8)	nord

NB : un vent qui « vient du nord-est » se dirige vers le sud-ouest. Donc \(\vec{v_1}\) doit avoir des composantes négatives (vers SO).

Document 3 – Puissance utile

La puissance utile d'une éolienne dépend de la composante du vent parallèle à son axe.
Pour notre éolienne fixée vers le SO, on calcule la projection scalaire du vent sur \(\vec{e}\) : \(p = \vec{v} \cdot \vec{e}\) (produit scalaire), avec \(\vec{v} \cdot \vec{e} = v_x e_x + v_y e_y\).
Si \(p > 0\), le vent souffle dans le bon sens pour le rotor. Si \(p \leq 0\), il souffle à contre-sens ou de travers : production nulle.
Puissance proportionnelle à \(p^3\) (formule de Betz).

Problématique : Pour chaque vent observé, quelle composante effective frappe les pales de l'éolienne, et quelle production en résulte ?

Question 1 APP

Représenter dans le repère les trois vents \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\), \(\vec{v_3}\) ainsi que le vecteur \(\vec{e}\) (axe de l'éolienne).

Repère orthonormé. Échelle 1 cm = 1 m/s.

\(\vec{v_1}(-7\,;\,-7)\) : flèche vers le sud-ouest, longueur \(\sqrt{49+49} = 7\sqrt{2} \approx 9{,}9\) cm.
\(\vec{v_2}(-10\,;\,0)\) : flèche vers l'ouest, 10 cm.
\(\vec{v_3}(0\,;\,-8)\) : flèche vers le sud, 8 cm.
\(\vec{e}(-0{,}71\,;\,-0{,}71)\) : flèche unitaire vers SO, 1 cm (axe de l'éolienne).

Question 2 REA

Calculer la norme de chaque vent (vitesse en m/s, puis en km/h).

\(\|\vec{v_1}\| = \sqrt{49 + 49} = 7\sqrt{2} \approx 9{,}9\) m/s ≈ 35,7 km/h (vent fort).
\(\|\vec{v_2}\| = \sqrt{100 + 0} = 10\) m/s = 36 km/h.
\(\|\vec{v_3}\| = \sqrt{0 + 64} = 8\) m/s = 28,8 km/h.

Les trois vents ont des vitesses comparables (8 à 10 m/s, plage idéale pour l'éolienne).

Question 3 REA

Calculer le produit scalaire \(p_1 = \vec{v_1} \cdot \vec{e}\). Que représente cette valeur ?

\(p_1 = (-7) \times (-0{,}71) + (-7) \times (-0{,}71) = 4{,}97 + 4{,}97 = \mathbf{9{,}94}\) m/s.

Interprétation : la composante du vent \(\vec{v_1}\) dans la direction de l'axe \(\vec{e}\) vaut 9,94 m/s. C'est cette composante qui « pousse » sur les pales.

Comme \(\|\vec{v_1}\| = 9{,}9\) et \(p_1 \approx 9{,}94\), on a quasiment \(p_1 = \|\vec{v_1}\|\) : le vent est parfaitement aligné avec l'axe de l'éolienne (sud-ouest pour les deux).

Question 4 REA

Calculer \(p_2 = \vec{v_2} \cdot \vec{e}\) et \(p_3 = \vec{v_3} \cdot \vec{e}\).

\(p_2 = (-10) \times (-0{,}71) + 0 \times (-0{,}71) = 7{,}10 + 0 = \mathbf{7{,}10}\) m/s.

\(p_3 = 0 \times (-0{,}71) + (-8) \times (-0{,}71) = 0 + 5{,}68 = \mathbf{5{,}68}\) m/s.

Les deux vents \(\vec{v_2}\) (est) et \(\vec{v_3}\) (nord) ont des composantes alignées plus faibles que leur norme, à cause de l'angle.

Question 5 ANA

Calculer le rendement effectif (\(p / \|\vec{v}\|\)) pour chaque vent. Conclure : quel vent est le plus favorable ?

Vent	\(\\|\vec{v}\\|\) (m/s)	\(p\) (m/s)	Rendement \(p / \\|\vec{v}\\|\)
\(\vec{v_1}\) (NE)	9,90	9,94	100 %
\(\vec{v_2}\) (E)	10,00	7,10	71 %
\(\vec{v_3}\) (N)	8,00	5,68	71 %

Le vent NE est parfaitement aligné (rendement 100 %), les deux autres sont à 71 % à cause de l'angle de 45° avec l'axe SO.

71 % = \(\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ✓ (cohérent avec la géométrie).

Question 6 ANA

D'après la loi de Betz, la puissance produite est proportionnelle à \(p^3\). Calculer le rapport de puissance entre vent NE (\(p_1 \approx 9{,}94\)) et vent N (\(p_3 \approx 5{,}68\)).

Rapport : \(\dfrac{p_1^3}{p_3^3} = \left(\dfrac{9{,}94}{5{,}68}\right)^3 = (1{,}75)^3 \approx \mathbf{5{,}4}\).

Le vent NE produit 5,4 fois plus de puissance que le vent N, alors que sa vitesse n'est que 1,24 fois supérieure ! C'est l'effet cubique.

Morale : l'orientation de l'éolienne est cruciale. Un désalignement de 45° fait perdre une fraction énorme de puissance (rendement 71 % en vitesse, mais 36 % en puissance car \(0{,}71^3 \approx 0{,}36\)).

Question 7 VAL

Adel constate que les vents dominants à Pantin viennent en réalité de l'ouest (et pas SO comme il l'a supposé). Calculer le rendement de son éolienne pour un vent \(\vec{v_4}(-10\,;\,0)\) (ouest). Conclusion ?

\(p_4 = (-10) \times (-0{,}71) + 0 = 7{,}10\) m/s. Rendement : \(7{,}10 / 10 = 71 \%\).

Identique à \(\vec{v_2}\) (logique, c'est le même vent).

En puissance : \(0{,}71^3 \approx 36\%\) du maximum. Forte perte.

Recommandation : installer un mât avec girouette mobile, ou réorienter le mât plein ouest. Investissement ≈ 800 € mais gain de 3× la production sur les vents d'ouest.

Question 8 COM

Rédiger le rapport de diagnostic d'Adel (6 lignes).

Diagnostic éolienne — Pantin
• Axe éolienne fixé SO : \(\vec{e}(-0{,}71\,;\,-0{,}71)\).
• Pour chaque vent observé : on projette le vecteur sur l'axe → composante utile.
• Vent NE : aligné parfaitement, rendement 100 % (1 kW restitué).
• Vent E ou N : alignement à 45°, rendement 71 % en vitesse, 36 % en puissance.
• Si les vents dominants sont d'ouest (à vérifier sur 1 an) : perte de 64 % de production.
• Conclusion : installer une girouette mobile (800 €, ROI ≈ 3 ans) au lieu d'un mât fixe.

Pour aller plus loin (bonus)

Calculer la composante du vent \(\vec{v_3}\) (nord) perpendiculaire à l'axe \(\vec{e}\) (composante qui « passe à côté » sans servir).

Le vecteur perpendiculaire à \(\vec{e}(-0{,}71\,;\,-0{,}71)\) (rotation de 90°) est \(\vec{e_\perp}(-0{,}71\,;\,0{,}71)\) (ou \((0{,}71\,;\,-0{,}71)\), à un signe près).

Composante perpendiculaire : \(\vec{v_3} \cdot \vec{e_\perp} = 0 \times (-0{,}71) + (-8) \times 0{,}71 = -5{,}68\) m/s.

Norme : 5,68 m/s. C'est l'énergie gaspillée à pousser sur le mât latéralement (effort sans utilité énergétique).

Vérification : \(p_3^2 + p_\perp^2 = 5{,}68^2 + 5{,}68^2 = 32{,}3 + 32{,}3 = 64{,}6 \approx 64 = \|\vec{v_3}\|^2\) ✓ (Pythagore vectoriel).

À retenir

Le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y\) donne la composante de \(\vec{u}\) dans la direction de \(\vec{v}\) (si \(\vec{v}\) unitaire).
Pour décomposer un vecteur dans une direction donnée, on calcule sa projection scalaire.
Une éolienne ne capte que la composante du vent parallèle à son axe. Le reste est perdu.
La puissance d'une éolienne est proportionnelle à \(v^3\) (loi de Betz) → un désalignement de 45° fait chuter la puissance à 36 % du maximum.
D'où l'importance d'une girouette mobile pour suivre la direction du vent.

📚 Cette activité s'appuie sur §III (Opérations vectorielles) et §IV (Norme) de la leçon Ch08 + introduction au produit scalaire (notion vue plus tard) + lien EDD.