Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 24 mai 2026
Yanis, élève de 1ère Bac Pro à Hénaff, a participé à une sortie sport scolaire à la base nautique de Vaires-sur-Marne. En kayak, il a voulu traverser la Marne perpendiculairement à la berge. Mais il a constaté qu'il a fini en aval de son point visé. Pour comprendre, il modélise le problème avec des vecteurs en cours de maths.
La vitesse du kayak par rapport au sol est la somme vectorielle :
\( \vec{v_\text{sol}} = \vec{v_\text{pagaie}} + \vec{v_\text{courant}} \)
C'est-à-dire que le mouvement réel du kayak (vu depuis la berge) combine son effort propre et la dérive du courant.
Représenter les deux vecteurs vitesse \(\vec{v_\text{pagaie}}\) et \(\vec{v_\text{courant}}\) dans le repère, avec une échelle 1 cm = 1 km/h.
Sur le repère :
Les deux vecteurs partent du même point (position de Yanis au départ).
Donner les coordonnées des deux vecteurs vitesse dans le repère (en km/h).
\(\vec{v_\text{pagaie}} = (0\,;\,5)\) (pas de composante selon le courant, 5 km/h perpendiculaire).
\(\vec{v_\text{courant}} = (2\,;\,0)\) (2 km/h dans le sens du courant, pas de composante perpendiculaire).
Calculer le vecteur vitesse réel du kayak par rapport au sol (somme).
\(\vec{v_\text{sol}} = \vec{v_\text{pagaie}} + \vec{v_\text{courant}} = (0 + 2\,;\,5 + 0) = \mathbf{(2\,;\,5)}\) km/h.
Le kayak se déplace à 2 km/h dans le sens du courant et 5 km/h perpendiculaire.
Calculer la norme de la vitesse réelle (vitesse effective du kayak vu depuis la berge).
\(\|\vec{v_\text{sol}}\| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx \mathbf{5{,}39}\) km/h.
Yanis va plus vite (5,39 km/h) que sa vitesse de pagayage (5 km/h) grâce à l'aide du courant. Mais dans une direction oblique.
Combien de temps Yanis met-il pour traverser les 50 m (perpendiculaire à la berge) ? (Convertir d'abord les unités.)
La traversée se fait à la vitesse perpendiculaire (composante \(\vec{j}\) de \(\vec{v_\text{sol}}\)) = 5 km/h.
5 km/h = 5 000 m / 3 600 s ≈ 1,39 m/s.
Temps de traversée : \(t = \dfrac{50}{1{,}39} \approx \mathbf{36}\) secondes.
Pendant ces 36 s, calculer la dérive de Yanis vers l'aval (déplacement selon \(\vec{i}\)).
Vitesse selon \(\vec{i}\) (courant) : 2 km/h = 2 000 / 3 600 ≈ 0,556 m/s.
Dérive : \(d = 0{,}556 \times 36 \approx \mathbf{20}\) m.
Yanis arrive donc 20 m en aval du point qu'il visait sur la berge opposée. Il devra remonter à pied.
Pour arriver pile en face de son point de départ, Yanis doit pagayer en biais vers l'amont, avec un angle θ tel que la composante selon \(\vec{i}\) de \(\vec{v_\text{pagaie}}\) compense le courant. Pour cela, on cherche \(\vec{v_\text{pagaie}} = (-2\,;\,v_j)\) avec \(\|\vec{v_\text{pagaie}}\| = 5\) km/h (son effort reste 5 km/h). Calculer \(v_j\).
Condition : \(\|\vec{v_\text{pagaie}}\| = \sqrt{(-2)^2 + v_j^2} = 5\).
\(\sqrt{4 + v_j^2} = 5\) → \(4 + v_j^2 = 25\) → \(v_j^2 = 21\) → \(v_j = \sqrt{21} \approx \mathbf{4{,}58}\) km/h.
Donc Yanis doit pagayer en visant un point situé un peu en amont, vitesse perpendiculaire effective ≈ 4,58 km/h (un peu plus lent que 5 km/h, à cause de l'effort latéral).
Nouveau temps de traversée : \(t = 50 / (4{,}58 / 3{,}6) = 50 / 1{,}27 \approx \mathbf{39}\) s (3 s de plus).
Rédiger l'explication de Yanis pour son groupe d'amis (6 lignes).
Pourquoi je dérive en kayak — Explication maths
• Le kayak a deux vitesses qui s'additionnent : ma pagaie (5 km/h perpendiculaire) + le courant (2 km/h vers l'aval).
• Total vectoriel : \(\vec{v_\text{sol}}(2\,;\,5)\), norme 5,39 km/h dans une direction oblique.
• Pour traverser les 50 m, je mets 36 s, mais je dérive de 20 m vers l'aval.
• Astuce : pour arriver pile en face, viser un point en amont (pagayer en biais).
• Calcul du biais : pagaie composante -2 km/h en \(\vec{i}\), donc composante perpendiculaire 4,58 km/h.
• Conclusion : la traversée prend 3 s de plus mais on arrive au bon endroit.
En crue, le courant de la Marne peut atteindre 6 km/h. Yanis, à 5 km/h de pagayage, pourrait-il encore traverser perpendiculairement (en visant en amont) ?
Il faudrait \(\vec{v_\text{pagaie}}(-6\,;\,v_j)\) avec \(\|\vec{v_\text{pagaie}}\| = 5\), soit \(\sqrt{36 + v_j^2} = 5\), soit \(v_j^2 = 25 - 36 = -11\). Impossible (carré négatif).
Conclusion : si le courant est plus fort que la vitesse de pagayage, on ne peut plus traverser perpendiculairement. On dérivera forcément vers l'aval. Cas typique du passage interdit en crue pour des raisons de sécurité.
En kayak compétition, le ratio vitesse-pagaie / vitesse-courant est crucial pour le slalom.
📚 Cette activité s'appuie sur §III (Somme de vecteurs) et §IV (Norme) de la leçon Ch08 + lien Sport.