📐 Activité 7 – Translation et changement d'échelle sur un plan d'architecte FILIÈRE EMNB

Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 24 mai 2026

Objectifs :

Translater un ensemble de points par un vecteur
Calculer les coordonnées d'un vecteur translation
Multiplier un vecteur par un scalaire (changement d'échelle)
Calculer la norme d'un déplacement
Comprendre l'utilité des vecteurs dans la CAO et les plans d'architecte

Situation — déplacement d'une pièce sur un plan

Mohammed, dessinateur en bureau d'études bâtiment chez BâtiPlan 93 à Pantin, travaille sur un projet d'extension d'une maison individuelle. Le client a finalement choisi de décaler le garage prévu : il faut déplacer toute la pièce de 2 m vers la droite et 3 m vers le bas sur le plan. Mohammed va utiliser une translation vectorielle dans son logiciel de CAO (AutoCAD).

Document 1 – Plan initial du garage (vu en plan, repère en m)

Le garage est un rectangle dont les 4 sommets ont pour coordonnées :

A(2 ; 5) coin haut gauche
B(8 ; 5) coin haut droit
C(8 ; 1) coin bas droit
D(2 ; 1) coin bas gauche

Une porte de garage est centrée sur la face avant (côté CD), centrée au milieu du segment.

Document 2 – Demande du client

Déplacer le garage de 2 m vers la droite et 3 m vers le bas.
Ne pas modifier la forme (translation rigide, pas de rotation ni de mise à l'échelle).
Recalculer les coordonnées des 4 sommets après déplacement.
Vérifier que le garage reste à l'intérieur du terrain (limite à \(x \leq 12\), \(y \geq -3\)).

Document 3 – Outils mathématiques

Translation par un vecteur \(\vec{u}(a\,;\,b)\) : tout point \(P(x\,;\,y)\) devient \(P'(x + a\,;\,y + b)\).
Coordonnées d'un vecteur : \(\vec{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).
Norme : \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Produit par un scalaire : \(k \times \vec{u}(a\,;\,b) = \vec{v}(k a\,;\,k b)\).

Problématique : Comment Mohammed peut-il déplacer le garage proprement sur son plan en utilisant la notion de vecteur translation ?

Question 1 APP

Représenter le plan initial du garage dans un repère orthonormé (échelle 1 cm = 1 m). Tracer les 4 sommets A, B, C, D et le rectangle.

Rectangle de 6 m × 4 m, placé entre x = 2 et x = 8, y = 1 et y = 5. Centre du rectangle : (5 ; 3).

Indiquer la porte du garage centrée sur le segment DC, donc en (5 ; 1).

Question 2 REA

Donner les coordonnées du vecteur translation \(\vec{u}\) qui correspond à la demande du client (« 2 m vers la droite et 3 m vers le bas »).

Vers la droite : \(+2\) en \(x\). Vers le bas : \(-3\) en \(y\).

\(\vec{u} = \mathbf{(2\,;\,-3)}\).

Question 3 REA

Calculer la norme \(\|\vec{u}\|\). Interprétation : quelle distance réelle parcourt chaque point lors du déplacement ?

\(\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \approx \mathbf{3{,}61}\) m.

Interprétation : chaque sommet du garage se déplace de 3,61 m en ligne droite, dans une direction oblique (à droite et vers le bas).

Question 4 REA

Calculer les coordonnées des 4 sommets A', B', C', D' du garage après translation.

A'(2 + 2 ; 5 - 3) = \(\mathbf{A'(4\,;\,2)}\)
B'(8 + 2 ; 5 - 3) = \(\mathbf{B'(10\,;\,2)}\)
C'(8 + 2 ; 1 - 3) = \(\mathbf{C'(10\,;\,-2)}\)
D'(2 + 2 ; 1 - 3) = \(\mathbf{D'(4\,;\,-2)}\)

Question 5 ANA

Vérifier que la translation a bien conservé les dimensions du garage. Calculer \(\|\vec{A'B'}\|\) et \(\|\vec{B'C'}\|\) et comparer aux dimensions initiales \(\|\vec{AB}\|\) et \(\|\vec{BC}\|\).

Initialement : \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{(8-2)^2 + 0} = 6\) m. \(\|\vec{BC}\| = \sqrt{0 + (1-5)^2} = 4\) m.

Après : \(\|\vec{A'B'}\| = \sqrt{(10-4)^2 + 0} = 6\) m. \(\|\vec{B'C'}\| = \sqrt{0 + (-2-2)^2} = 4\) m.

✓ Dimensions préservées (6 m × 4 m). C'est la propriété fondamentale d'une translation : elle conserve les longueurs (isométrie).

Question 6 ANA

Vérifier que le garage déplacé reste dans le terrain (\(x \leq 12\) et \(y \geq -3\)).

Plus grand \(x\) : 10 (B' et C') → 10 ≤ 12 ✓.

Plus petit \(y\) : -2 (C' et D') → -2 ≥ -3 ✓.

Le garage déplacé tient dans le terrain, avec 2 m de marge à droite et 1 m de marge en bas. Mohammed peut valider la modification.

Question 7 VAL

Pour communiquer le plan en différentes échelles (1/50 et 1/100), Mohammed doit multiplier les coordonnées par un facteur scalaire. Quelle opération vectorielle correspond à l'échelle 1/50 (par rapport à un plan en m) ?

Échelle 1/50 signifie : 1 cm sur le plan = 50 cm en réel = 0,5 m. Donc 1 m réel = 2 cm sur le plan.

On passe des coordonnées en m aux coordonnées en cm sur le plan en multipliant par \(k = 2\).

Si \(M(x\,;\,y)\) en m → \(M'(2x\,;\,2y)\) en cm sur le plan 1/50.

Exemple : A(2 ; 5) en m → A(4 ; 10) en cm sur le plan 1/50.

C'est l'opération « produit d'un vecteur par un scalaire » appliquée à un point/vecteur position.

Question 8 COM

Rédiger la note technique de Mohammed à l'architecte (6 lignes).

Modification plan extension — Déplacement garage
• Demande client : déplacement de 2 m vers la droite + 3 m vers le bas.
• Vecteur translation : \(\vec{u}(2\,;\,-3)\), norme 3,61 m.
• Nouveaux sommets : A'(4 ; 2), B'(10 ; 2), C'(10 ; -2), D'(4 ; -2).
• Dimensions conservées : 6 m × 4 m (isométrie). ✓
• Garage reste dans le terrain (2 m de marge à droite, 1 m en bas). ✓
• Plans 1/50 et 1/100 régénérés automatiquement par AutoCAD (changement d'échelle scalaire ×2 ou ×1).

Pour aller plus loin (bonus)

Si le client demande aussi une extension du garage de 50 % (garage 50 % plus grand sans déplacement), quel facteur multiplicatif appliquer aux coordonnées des sommets par rapport au centre du garage initial ?

Centre du garage initial : milieu de [AC] = \((5\,;\,3)\).

Homothétie de centre \(G(5\,;\,3)\) et de rapport \(k = 1{,}5\) : chaque sommet \(P\) devient \(P'\) tel que \(\vec{GP'} = 1{,}5 \times \vec{GP}\).

Exemple pour A(2 ; 5) : \(\vec{GA} = (2-5\,;\,5-3) = (-3\,;\,2)\). \(\vec{GA'} = 1{,}5 \times (-3\,;\,2) = (-4{,}5\,;\,3)\). Donc A' = G + \(\vec{GA'}\) = (5 - 4,5 ; 3 + 3) = \(\mathbf{(0{,}5\,;\,6)}\).

Dimensions multipliées par 1,5 : nouveau garage 9 m × 6 m. Surface ×2,25 (54 m² au lieu de 24 m²).

À retenir

Une translation par un vecteur \(\vec{u}(a\,;\,b)\) déplace tout point \(P(x\,;\,y)\) en \(P'(x + a\,;\,y + b)\).
Une translation conserve les distances (isométrie) : forme et dimensions inchangées.
La norme du vecteur translation = distance parcourue par chaque point.
Le produit d'un vecteur par un scalaire \(k \vec{u}\) change la norme par \(|k|\) et garde la direction.
Un changement d'échelle de plan (1/50, 1/100…) est un produit scalaire sur les coordonnées.
Une homothétie (extension/réduction depuis un centre) combine ces opérations.

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Vecteurs), §III (Opérations) et §V (Translations) de la leçon Ch08 + filière EMNB (CAO).