🔧 Activité 6 – Tournée d'un technicien : déplacements vectoriels FILIÈRE MEE

Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 23 mai 2026

Objectifs :

Calculer les coordonnées d'un vecteur déplacement
Sommer plusieurs vecteurs déplacements consécutifs
Comparer un trajet par étapes au déplacement direct (vecteur somme)
Calculer la norme d'un vecteur déplacement (distance à vol d'oiseau)
Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

Situation — planification d'une tournée de maintenance

Léa, technicienne de maintenance énergétique chez ServiThermique 93 à Bagnolet, doit visiter 4 sites dans la journée pour entretenir des chaudières collectives. Elle programme son GPS et veut optimiser son itinéraire. Elle modélise sa tournée par des vecteurs déplacements dans un repère cartésien centré sur le dépôt.

Document 1 – Coordonnées des sites (en km, origine = dépôt Bagnolet)

Point	x (km)	y (km)	Type d'intervention
D (Dépôt Bagnolet)	0	0	départ et arrivée
A (Romainville)	2	1	contrôle chaudière annuel
B (Noisy-le-Sec)	4	3	panne — circulateur
C (Pantin)	-1	2	réglage thermostat
E (Les Lilas)	1	-1	entretien VMC

Document 2 – Ordre de la tournée et règles

Tournée prévue : D → A → B → C → E → D (départ dépôt, retour dépôt).
Vitesse moyenne en zone urbaine : 25 km/h.
Temps d'intervention par site : 45 min en moyenne.
Camionnette : 7 L/100 km, gazole 1,85 €/L.

Document 3 – Formules utiles

Coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) : \(\vec{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).
Norme : \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
Somme : \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD}\) (relation de Chasles).
Milieu \(M\) de \([AB]\) : \(M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\).

Problématique : Quelle est la distance totale de la tournée, et comment Léa peut-elle optimiser son trajet ?

Question 1 APP

Représenter les 5 points D, A, B, C, E dans un repère orthonormé (échelle : 1 cm = 1 km). Relier dans l'ordre de la tournée.

Repère orthonormé centré sur D(0;0).

A(2;1) à 2 km à droite, 1 km en haut.
B(4;3) à 4 km à droite, 3 km en haut.
C(-1;2) à 1 km à gauche, 2 km en haut.
E(1;-1) à 1 km à droite, 1 km en bas.

Tracer les flèches : D→A→B→C→E→D.

Question 2 REA

Calculer les coordonnées de chacun des 5 vecteurs déplacements : \(\vec{DA}\), \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\), \(\vec{CE}\), \(\vec{ED}\).

\(\vec{DA} = (2 - 0\,;\,1 - 0) = \mathbf{(2\,;\,1)}\)
\(\vec{AB} = (4 - 2\,;\,3 - 1) = \mathbf{(2\,;\,2)}\)
\(\vec{BC} = (-1 - 4\,;\,2 - 3) = \mathbf{(-5\,;\,-1)}\)
\(\vec{CE} = (1 - (-1)\,;\,-1 - 2) = \mathbf{(2\,;\,-3)}\)
\(\vec{ED} = (0 - 1\,;\,0 - (-1)) = \mathbf{(-1\,;\,1)}\)

Question 3 REA

Vérifier la relation de Chasles : la somme des 5 vecteurs déplacements doit être \(\vec{0}\) (puisque Léa revient au dépôt).

Somme des coordonnées \(x\) : \(2 + 2 + (-5) + 2 + (-1) = \mathbf{0}\) ✓.

Somme des coordonnées \(y\) : \(1 + 2 + (-1) + (-3) + 1 = \mathbf{0}\) ✓.

Donc \(\vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CE} + \vec{ED} = \vec{0}\). Léa revient bien à son point de départ.

Question 4 REA

Calculer la norme de chaque vecteur déplacement (distance à vol d'oiseau de chaque tronçon). Présenter dans un tableau.

\(\|\vec{DA}\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx \mathbf{2{,}24}\) km
\(\|\vec{AB}\| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx \mathbf{2{,}83}\) km
\(\|\vec{BC}\| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} \approx \mathbf{5{,}10}\) km
\(\|\vec{CE}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} \approx \mathbf{3{,}61}\) km
\(\|\vec{ED}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx \mathbf{1{,}41}\) km

Tronçon	DA	AB	BC	CE	ED	Total
Distance (km)	2,24	2,83	5,10	3,61	1,41	≈ 15,2

Question 5 ANA

Distance totale à vol d'oiseau : ≈ 15,2 km. En tenant compte d'un coefficient de routage de 1,3 (rues, sens uniques) : quelle distance réelle ? Combien de temps de conduite ? Et le coût carburant ?

Distance réelle : \(15{,}2 \times 1{,}3 \approx \mathbf{19{,}8}\) km.

Temps de conduite (25 km/h) : \(19{,}8 / 25 = 0{,}79\) h ≈ 48 minutes.

Carburant consommé : \(19{,}8 \times 7 / 100 = 1{,}39\) L. Coût : \(1{,}39 \times 1{,}85 \approx \mathbf{2{,}57\,€}\).

Avec les interventions (4 × 45 min = 3 h), la tournée totale prend ≈ 3 h 48.

Question 6 ANA

Léa veut savoir si elle peut placer le dépôt « idéal » au milieu du segment [BC] (entre Noisy-le-Sec et Pantin, ses deux sites les plus éloignés). Calculer les coordonnées de ce milieu.

Milieu \(M\) de \([BC]\) : \(M\left(\dfrac{4 + (-1)}{2}\,;\,\dfrac{3 + 2}{2}\right) = \mathbf{M(1{,}5\,;\,2{,}5)}\).

Géographiquement, ce point est à 1,5 km à l'est et 2,5 km au nord de Bagnolet → quartier limite Romainville / Noisy-le-Sec.

Si Léa pouvait y installer un dépôt, elle minimiserait ses trajets vers B et C (les deux plus éloignés). Mais ce n'est pas le centre de gravité de tous les sites — il faudrait moyenner sur les 5 points.

Question 7 VAL

Léa optimise sa tournée : D → E → A → B → C → D (au lieu de D → A → B → C → E → D). Recalculer la distance totale à vol d'oiseau. Économie ?

\(\vec{DE} = (1\,;\,-1)\) → \(\|\vec{DE}\| = \sqrt{2} \approx 1{,}41\)
\(\vec{EA} = (2-1\,;\,1-(-1)) = (1\,;\,2)\) → \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\)
\(\vec{AB} = (2\,;\,2)\) → \(\sqrt{8} \approx 2{,}83\)
\(\vec{BC} = (-5\,;\,-1)\) → \(\sqrt{26} \approx 5{,}10\)
\(\vec{CD} = (1\,;\,-2)\) → \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\)

Total : \(1{,}41 + 2{,}24 + 2{,}83 + 5{,}10 + 2{,}24 \approx \mathbf{13{,}82}\) km.

Économie vs tournée initiale : \(15{,}2 - 13{,}8 = \mathbf{1{,}4}\) km à vol d'oiseau, ≈ 1,8 km en réel, soit ~0,24 € de carburant et 4 min de conduite. Sur l'année (200 jours travaillés) : 48 € + 13 h économisés.

Question 8 COM

Rédiger la note d'optimisation de tournée de Léa à son responsable (6 lignes).

Optimisation tournée maintenance — ServiThermique 93
• 4 sites quotidiens : Romainville, Noisy-le-Sec, Pantin, Les Lilas + retour dépôt.
• Tournée actuelle (DA-AB-BC-CE-ED) : 15,2 km à vol d'oiseau, ≈ 20 km réels.
• Tournée optimisée (DE-EA-AB-BC-CD) : 13,8 km à vol d'oiseau, ≈ 18 km réels.
• Économie quotidienne : 1,4 km, 4 min, 0,24 € de gazole.
• Cumulée sur l'année (200 jours) : ≈ 48 € + 13 h de conduite économisées.
• Recommandation : intégrer la nouvelle tournée dans le GPS de la camionnette dès demain.

Pour aller plus loin (bonus)

Calculer les coordonnées du centre de gravité des 4 sites de tournée (A, B, C, E) — c'est-à-dire la position théoriquement optimale du dépôt.

Centre de gravité (isobarycentre) : \(G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C + x_E}{4}\,;\,\dfrac{y_A + y_B + y_C + y_E}{4}\right)\).

\(G\left(\dfrac{2 + 4 + (-1) + 1}{4}\,;\,\dfrac{1 + 3 + 2 + (-1)}{4}\right) = G\left(\dfrac{6}{4}\,;\,\dfrac{5}{4}\right) = \mathbf{G(1{,}5\,;\,1{,}25)}\).

Le dépôt idéal serait à 1,5 km à l'est et 1,25 km au nord de Bagnolet. Géographiquement : quartier Romainville / Bagnolet limite. Le dépôt actuel (Bagnolet centre, D(0;0)) est à environ 2 km de ce point optimal.

À retenir

Coordonnées d'un vecteur : \(\vec{AB}(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A)\).
Norme : \(\|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) = distance à vol d'oiseau.
Relation de Chasles : \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Si on revient au point de départ, la somme totale est \(\vec{0}\).
Milieu de \([AB]\) : \(M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\).
Isobarycentre de n points : moyenne des coordonnées.
Distance à vol d'oiseau × coefficient de routage (≈ 1,3 en ville) ≈ distance réelle.

📚 Cette activité s'appuie sur §I à §V de la leçon Ch08 (coordonnées, somme, norme, milieu) + filière MEE.