♨️ Activité 5 – Équilibre d'un chauffe-eau mural : forces et vecteurs FILIÈRE ICCER

Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 23 mai 2026

Objectifs :

Représenter une force par un vecteur (direction, sens, norme)
Calculer les coordonnées d'un vecteur
Faire la somme de deux vecteurs (équilibre)
Calculer la norme d'un vecteur
Vérifier une condition d'équilibre statique

Situation — pose d'un chauffe-eau mural dans une cuisine

Théo, installateur thermique chez ÉcoChauffage 93 à Bondy, doit fixer un chauffe-eau électrique mural de 200 L (rempli) à un mur en parpaing. Le chauffe-eau est suspendu par deux pattes de fixation horizontales. Théo doit vérifier que les vecteurs forces s'équilibrent et que les fixations supportent le poids.

Document 1 – Forces appliquées au chauffe-eau

Le chauffe-eau plein (200 L d'eau + 30 kg de cuve) pèse ≈ 230 kg. Trois vecteurs forces s'appliquent :

Le poids \(\vec{P}\) : vertical, dirigé vers le bas, norme \(\|\vec{P}\| = m \times g = 230 \times 10 = 2\,300\) N (avec g = 10 N/kg).
La réaction de la patte haute \(\vec{R_1}\) : horizontale, dirigée du mur vers le chauffe-eau (en bleu sur le schéma).
La réaction de la patte basse \(\vec{R_2}\) : horizontale, dirigée du chauffe-eau vers le mur (et vice versa par couple), opposée à \(\vec{R_1}\).

Document 2 – Repère et coordonnées

On choisit un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\) avec :

\(\vec{i}\) horizontal vers la droite (du chauffe-eau vers le mur)
\(\vec{j}\) vertical vers le haut
Unités : 1 = 100 N

Le poids a pour coordonnées \(\vec{P}(0\,;\,-23)\) (vertical descendant, 2 300 N).

Document 3 – Fiche technique des pattes

Chaque patte est conçue pour résister à 200 daN (= 2 000 N) en cisaillement.
Chaque patte est conçue pour résister à 50 daN (= 500 N) en arrachement.
Si \(\|\vec{R}\| > 200\) daN dans un sens horizontal, la patte cède.

Problématique : Quelles forces les pattes hautes et basses doivent-elles supporter pour maintenir le chauffe-eau en équilibre ?

Question 1 APP

Faire un schéma du chauffe-eau vu de profil. Représenter les trois vecteurs forces \(\vec{P}\), \(\vec{R_1}\) (patte haute), \(\vec{R_2}\) (patte basse). Choisir une échelle (par exemple 1 cm = 500 N).

Schéma attendu :

Un rectangle représentant le chauffe-eau (vu de profil), 1,20 m × 0,30 m d'épaisseur, accolé à un mur (trait vertical à droite).
Au centre de masse (milieu de la cuve, ≈ 60 cm de profondeur d'eau) : \(\vec{P}\) vers le bas, longueur 4,6 cm si échelle 1 cm = 500 N → 2 300/500 = 4,6 cm.
\(\vec{R_1}\) à la patte haute : horizontal, du mur vers le chauffe-eau (vers la gauche en vue de profil).
\(\vec{R_2}\) à la patte basse : horizontal, du chauffe-eau vers le mur (vers la droite).

Le couple \((\vec{R_1}, \vec{R_2})\) empêche le chauffe-eau de pivoter sous l'effet du poids déporté du mur.

Question 2 REA

Calculer la norme du vecteur poids \(\vec{P}\). Convertir en daN.

\(\|\vec{P}\| = m \times g = 230 \times 10 = \mathbf{2\,300}\) N.

Conversion : \(2\,300 / 10 = 230\) daN (déca-Newtons).

Question 3 REA

Le poids du chauffe-eau est repris à 50 % par la patte haute et 50 % par la patte basse pour la composante verticale (poids). Donner les coordonnées de la contribution verticale de chaque patte (composante \(j\)).

Chaque patte reprend \(2\,300 / 2 = 1\,150\) N vers le haut.

Composante verticale de \(\vec{R_1}\) : \(+11{,}5\) (dans l'échelle 1 = 100 N).

Composante verticale de \(\vec{R_2}\) : \(+11{,}5\) également.

Somme verticale : \(11{,}5 + 11{,}5 = 23\), qui compense exactement la composante verticale du poids (-23). ✓ Équilibre vertical.

Question 4 REA

Le chauffe-eau est déporté de 15 cm devant le mur (centre de masse). Il y a 60 cm de distance entre les deux pattes. Le couple mécanique impose que la patte haute tire vers le mur (force \(+F\) en \(\vec{i}\)) et la patte basse pousse vers l'extérieur (force \(-F\) en \(\vec{i}\)), avec \(F\) telle que le moment compense le poids déporté. Calcul : \(F \times 0{,}60 = 2\,300 \times 0{,}15\). En déduire \(F\).

Équation des moments : \(F \times 0{,}60 = 2\,300 \times 0{,}15 = 345\).

\(F = \dfrac{345}{0{,}60} = \mathbf{575}\) N ≈ 58 daN.

La patte haute subit donc 575 N d'arrachement (tirée vers le mur), la patte basse 575 N de poussée sur le mur (compression).

Question 5 REA

Donner les coordonnées des vecteurs \(\vec{R_1}\) et \(\vec{R_2}\) dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) avec 1 unité = 100 N.

\(\vec{R_1}\) (patte haute) : \((+5{,}75\,;\,+11{,}5)\) — \(+5{,}75\) horizontal vers le mur (force d'arrachement), \(+11{,}5\) vertical vers le haut (support du poids).

\(\vec{R_2}\) (patte basse) : \((-5{,}75\,;\,+11{,}5)\) — \(-5{,}75\) horizontal opposé (compression), \(+11{,}5\) vertical vers le haut.

Question 6 ANA

Vérifier l'équilibre : la somme \(\vec{P} + \vec{R_1} + \vec{R_2}\) est-elle bien le vecteur nul ?

Coordonnée \(\vec{i}\) (horizontal) : \(0 + 5{,}75 + (-5{,}75) = \mathbf{0}\) ✓

Coordonnée \(\vec{j}\) (vertical) : \(-23 + 11{,}5 + 11{,}5 = \mathbf{0}\) ✓

Donc \(\vec{P} + \vec{R_1} + \vec{R_2} = \vec{0}\). L'équilibre statique est respecté. Le chauffe-eau ne bouge pas.

Question 7 VAL

Calculer la norme de \(\vec{R_1}\). Cette force est-elle compatible avec les caractéristiques des pattes (Doc 3) ?

\(\|\vec{R_1}\| = \sqrt{5{,}75^2 + 11{,}5^2}\) (en unités de 100 N).

\(5{,}75^2 = 33{,}06\), \(11{,}5^2 = 132{,}25\). Somme : \(165{,}31\). Racine : \(\sqrt{165{,}31} \approx \mathbf{12{,}86}\).

En Newton : \(12{,}86 \times 100 = 1\,286\) N ≈ 129 daN.

Caractéristiques pattes : 200 daN en cisaillement, 50 daN en arrachement. Le cisaillement (129 daN) est OK (< 200), mais l'arrachement (58 daN) dépasse les 50 daN admissibles. ⚠️ Risque de rupture.

Solution : ajouter une troisième patte ou utiliser des chevilles à expansion adaptées au parpaing (15 cm de profondeur).

Question 8 COM

Rédiger la fiche de validation de pose de Théo (6 lignes).

Validation de pose — Chauffe-eau mural 200 L, Bondy
• Poids du chauffe-eau plein : 2 300 N (230 kg).
• Forces sur la patte haute \(\vec{R_1} = (5{,}75\,;\,11{,}5)\) → norme 129 daN.
• Cisaillement OK (129 daN < 200 daN admissibles), mais arrachement 58 daN > 50 daN admissibles ⚠️.
• Équilibre vectoriel : \(\vec{P} + \vec{R_1} + \vec{R_2} = \vec{0}\) ✓ (théorique).
• Recommandation : ajouter une 3^e patte intermédiaire, OU utiliser des chevilles à expansion 12 mm × 80 mm dans le parpaing.
• Validation après modification : refaire le calcul vectoriel avec 3 pattes (réduction de l'arrachement à 38 daN par patte).

Pour aller plus loin (bonus)

Si on installait un chauffe-eau de 300 L (donc 30 % plus lourd, m ≈ 330 kg), refaire le calcul de \(F\) (effort d'arrachement à la patte haute). Conclure.

Nouveau poids : \(P = 330 \times 10 = 3\,300\) N. Moment : \(F \times 0{,}60 = 3\,300 \times 0{,}15 = 495\). Donc \(F = 825\) N ≈ 83 daN.

Largement au-dessus des 50 daN admissibles. Pose dangereuse sans renforcement.

Conseil : pour 300 L, prévoir 3 pattes au minimum, ou un montage au sol (sur trépied) pour éviter le déport.

À retenir

Un vecteur force est caractérisé par sa direction, son sens, son point d'application et sa norme.
L'équilibre statique d'un solide impose : \(\sum \vec{F_i} = \vec{0}\) (somme vectorielle nulle).
Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormé : \(\vec{V}(x\,;\,y)\). Norme : \(\|\vec{V}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Lors d'une fixation murale d'un solide déporté, il y a un couple de forces horizontales (arrachement / compression) en plus du soutien vertical.
La condition de pose sûre = \(\|\vec{R}\|\) supportée par chaque fixation en cisaillement et en arrachement.

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Vecteurs), §II (Coordonnées) et §IV (Norme) de la leçon Ch08 + filière ICCER.