Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Théo, menuisier, doit fixer 3 charnières sur une grande porte. Il a tracé 3 points : A(2 ; 5), B(8 ; 12), C(15 ; 22). Sont-ils alignés ?
Énoncer le critère pour que 3 points soient alignés.
3 points A, B, C sont alignés ⇔ les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
2 vecteurs (a;b) et (c;d) colinéaires ⇔ ad − bc = 0 (déterminant nul).
Calculer AB et AC.
AB = (8 − 2 ; 12 − 5) = (6 ; 7).
AC = (15 − 2 ; 22 − 5) = (13 ; 17).
Calculer le déterminant 6 × 17 − 7 × 13. Conclure.
det = 102 − 91 = 11 ≠ 0.
AB et AC ne sont pas colinéaires → A, B, C ne sont pas alignés.
Théo veut corriger la position de C. Si A et B sont fixés, où placer C pour qu'il soit aligné avec A et B ?
Indication : C aligné ⇔ AC = k × AB pour un certain k.
AC = (13 ; 17). Pour que ce soit k × (6 ; 7), il faut 13/6 = 17/7 ? 13/6 ≈ 2,17 et 17/7 ≈ 2,43. Pas égaux → confirmation pas aligné.
Pour aligner C avec un facteur k = 2 (par exemple) : C = A + 2 × AB = (2 + 12 ; 5 + 14) = (14 ; 19). Ou k = 13/6 ≈ 2,17 : C = (2 + 13 ; 5 + 15,17) = (15 ; 20,17).
Avec k = 17/7 : C = (2 + 102/7 ; 5 + 17) = (16,57 ; 22). Plusieurs solutions possibles selon où on veut placer la 3e charnière.
2 droites (AB) et (CD) sont parallèles si AB et CD sont colinéaires. Vérifier que (AB) // (CD) avec D(20 ; 30).
AB = (6 ; 7). CD = (20 − 15 ; 30 − 22) = (5 ; 8).
det = 6 × 8 − 7 × 5 = 48 − 35 = 13 ≠ 0 → non colinéaires, droites non parallèles.
Pour qu'une droite soit parallèle à (AB), un vecteur directeur doit être colinéaire à (6 ; 7). Donner 3 exemples.
(12 ; 14), (3 ; 3,5), (60 ; 70). Tous multiples de (6 ; 7).
Pour que ABCD soit un parallélogramme, on doit avoir AB = DC. Avec A(2;5), B(8;12), C(15;22), trouver D.
DC = AB → C − D = AB → D = C − AB = (15 − 6 ; 22 − 7) = (9 ; 15).
Rédiger la procédure de vérification d'alignement pour Théo. 4 lignes max.
Vérification alignement charnières
• Calculer AB = (xB−xA ; yB−yA) et AC = (xC−xA ; yC−yA).
• Vérifier si det = AB_x × AC_y − AB_y × AC_x = 0.
• Si det = 0 : alignés. Sinon, repositionner C en suivant la même direction que AB.
• Pour 3 points : utiliser un cordeau ou un laser pour validation finale.
Vérifier que ABCD avec D(9 ; 15) (calculé Q7) est bien un parallélogramme.
AB = (6 ; 7). DC = (15 − 9 ; 22 − 15) = (6 ; 7) ✓. AB = DC → parallélogramme confirmé.
📚 Cette activité s'appuie sur §4 (Colinéarité) et §5 (Application au parallélogramme) de la leçon Ch08.