⚗️ Activité 10 – Équilibre d'un pendule incliné par le vent SCIENCES

Chapitre 8 — Vecteurs du plan | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 24 mai 2026

Objectifs :

Représenter les forces s'exerçant sur un solide à l'équilibre
Utiliser la condition vectorielle d'équilibre \(\sum \vec{F} = \vec{0}\)
Décomposer un vecteur dans une base oblique
Calculer la norme d'une force inconnue
Faire le lien maths-physique (statique du point)

Situation — TP physique au laboratoire

Sofiane et son binôme étudient en TP de physique l'équilibre d'un pendule simple soumis au vent d'un ventilateur. Une bille de plomb (masse 100 g) est suspendue à un fil léger inextensible. Quand on souffle horizontalement, le fil s'incline d'un angle θ par rapport à la verticale. Trois forces s'exercent sur la bille : le poids \(\vec{P}\), la tension du fil \(\vec{T}\), et la force du vent \(\vec{F_v}\).

Document 1 – Conditions de l'expérience

Masse de la bille : \(m = 100\) g = 0,100 kg.
Accélération de la pesanteur : \(g = 10\) N/kg.
Le fil mesure 50 cm.
Avec le ventilateur en marche, on mesure : déviation horizontale de la bille = 15 cm par rapport à la verticale.
Le fil reste tendu (pendule en équilibre stable).

Document 2 – Trigonométrie élémentaire

L'angle θ d'inclinaison du fil par rapport à la verticale vérifie :

\(\sin \theta = \dfrac{\text{déviation horizontale}}{\text{longueur du fil}} = \dfrac{15}{50} = 0{,}30\) → \(\theta = 17{,}5°\).
\(\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - 0{,}09} = \sqrt{0{,}91} \approx 0{,}954\).
\(\tan \theta = \dfrac{\sin}{\cos} = \dfrac{0{,}30}{0{,}954} \approx 0{,}315\).

Document 3 – Forces sur la bille (repère orthonormé)

Repère : \(\vec{i}\) horizontal vers la droite (sens du vent), \(\vec{j}\) vertical vers le haut. Unités : 1 = 0,1 N.

Poids \(\vec{P}\) : vertical descendant, \(\|\vec{P}\| = m g = 0{,}1 \times 10 = 1{,}0\) N → coordonnées \(\vec{P}(0\,;\,-10)\) (avec 1 unité = 0,1 N).
Tension du fil \(\vec{T}\) : portée par le fil, dirigée du bas vers le haut (et de la bille vers le point d'attache).
Force du vent \(\vec{F_v}\) : horizontale, dans le sens \(\vec{i}\).

Problématique : Quelle est la force du vent exercée sur la bille, et quelle est la tension du fil dans cette configuration ?

Question 1 APP

Faire un schéma de l'équilibre du pendule incliné. Tracer les trois vecteurs forces \(\vec{P}\), \(\vec{T}\), \(\vec{F_v}\) en respectant leurs directions.

Schéma : point d'attache en haut, fil oblique vers la bille (en bas à droite). Bille = petit cercle.

\(\vec{P}\) : flèche verticale vers le bas depuis la bille, 10 cm (1 N à l'échelle).
\(\vec{T}\) : flèche le long du fil vers le point d'attache (vers le haut-gauche).
\(\vec{F_v}\) : flèche horizontale vers la droite (sens du vent).

Les trois forces forment un triangle fermé (équilibre : somme nulle).

Question 2 REA

Donner les coordonnées du vecteur poids \(\vec{P}\) (en \((\vec{i}, \vec{j})\), unité 0,1 N).

\(\vec{P}\) est vertical descendant, de norme 1,0 N = 10 unités.

\(\vec{P} = \mathbf{(0\,;\,-10)}\).

Question 3 REA

Le fil est incliné de θ = 17,5° par rapport à la verticale (incliné vers la droite). La tension \(\vec{T}\) est dirigée le long du fil, de la bille vers le point d'attache. Donner les coordonnées de \(\vec{T}\) en fonction de sa norme \(T\), de sin θ et de cos θ.

Le fil est incliné de 17,5° vers la droite (depuis la bille). Donc la tension, dirigée vers le haut-gauche (en direction du point d'attache), a :

composante horizontale (vers la gauche, donc négative) : \(-T \sin \theta\)
composante verticale (vers le haut, positive) : \(+T \cos \theta\)

Donc \(\vec{T} = (-T \sin \theta\,;\,T \cos \theta) = (-0{,}30 T\,;\,0{,}954 T)\) (en N).

En unités de 0,1 N : \(\vec{T} = (-3T\,;\,9{,}54 T)\).

Question 4 REA

La force du vent \(\vec{F_v}\) est horizontale dans le sens \(\vec{i}\), de norme \(F_v\) inconnue. Donner ses coordonnées.

\(\vec{F_v} = (F_v\,;\,0)\) (en N).

En unités de 0,1 N : \(\vec{F_v} = (10 F_v\,;\,0)\).

Question 5 ANA

Écrire la condition d'équilibre \(\vec{P} + \vec{T} + \vec{F_v} = \vec{0}\) en projetant sur les deux axes. En déduire deux équations à deux inconnues \(T\) et \(F_v\).

Projection sur \(\vec{i}\) (horizontal) : \(0 - T \sin \theta + F_v = 0\), d'où \(F_v = T \sin \theta\).

Projection sur \(\vec{j}\) (vertical) : \(-mg + T \cos \theta + 0 = 0\), d'où \(T \cos \theta = mg\) → \(\boxed{T = \dfrac{m g}{\cos \theta}}\).

Système :

\(T \cos \theta = m g\)
\(F_v = T \sin \theta\)

Question 6 REA

Calculer la valeur numérique de \(T\) (tension du fil) puis de \(F_v\) (force du vent).

\(T = \dfrac{m g}{\cos \theta} = \dfrac{0{,}1 \times 10}{0{,}954} = \dfrac{1}{0{,}954} \approx \mathbf{1{,}048}\) N.

\(F_v = T \sin \theta = 1{,}048 \times 0{,}30 \approx \mathbf{0{,}314}\) N.

Vérification (en divisant les deux équations) : \(\tan \theta = F_v / (mg) = 0{,}314 / 1 = 0{,}314\) ≈ 0,315 ✓.

Question 7 VAL

Sofiane veut calculer la vitesse du vent. La force exercée par un vent de vitesse \(v\) sur une bille de section \(S\) est ≈ \(\dfrac{1}{2} \rho_\text{air} S C_x v^2\) avec \(\rho_\text{air} = 1{,}2\) kg/m³, \(S = 10\) cm² = 0,001 m² (bille diamètre 35 mm), \(C_x = 0{,}5\). Calculer \(v\).

De \(F = \dfrac{1}{2} \rho S C_x v^2\), on tire \(v = \sqrt{\dfrac{2 F}{\rho S C_x}}\).

\(v^2 = \dfrac{2 \times 0{,}314}{1{,}2 \times 0{,}001 \times 0{,}5} = \dfrac{0{,}628}{0{,}0006} \approx 1\,047\).

\(v \approx \sqrt{1\,047} \approx \mathbf{32{,}4}\) m/s ≈ 117 km/h. Cela paraît énorme pour un ventilateur — sans doute notre estimation de section S ou Cx n'est pas exacte. En pratique, un ventilateur de TP est plutôt à 3-5 m/s ; la mesure peut servir d'étalonnage relatif.

Question 8 COM

Rédiger le compte rendu de TP de Sofiane (6 lignes).

TP physique — Pendule en équilibre sous le vent
• Bille 100 g, fil 50 cm, déviation horizontale 15 cm → \(\theta = 17{,}5°\).
• Trois forces : poids (1 N vertical), tension du fil (le long du fil), force du vent (horizontale).
• Condition d'équilibre vectoriel : \(\vec{P} + \vec{T} + \vec{F_v} = \vec{0}\) (somme nulle).
• Projection sur les axes → système 2×2 → \(T = mg/\cos\theta = 1{,}05\) N, \(F_v = T \sin\theta = \mathbf{0{,}31\,N}\).
• Lien maths-physique : les vecteurs permettent de résoudre la statique d'un point.
• Application : étalonnage indirect d'un vent (par déviation d'un pendule).

Pour aller plus loin (bonus)

Si on doublait la masse de la bille (200 g, sans changer le ventilateur), quel serait le nouvel angle d'inclinaison ?

De \(F_v = m g \tan \theta\), on tire \(\tan \theta = \dfrac{F_v}{m g}\).

Avec \(m' = 0{,}2\) kg et \(F_v = 0{,}314\) N constant : \(\tan \theta' = \dfrac{0{,}314}{0{,}2 \times 10} = \dfrac{0{,}314}{2} = 0{,}157\).

\(\theta' = \arctan(0{,}157) \approx \mathbf{8{,}9°}\) (au lieu de 17,5°). Angle quasi divisé par 2.

Conclusion : plus la bille est lourde, moins elle s'incline sous l'effet d'un vent donné. Logique : l'inertie résiste mieux à la déviation.

À retenir

Un solide à l'équilibre vérifie : \(\sum \vec{F_i} = \vec{0}\) (somme vectorielle nulle des forces).
Cette condition se traduit par deux équations scalaires (projection sur deux axes perpendiculaires).
On obtient ainsi un système d'équations à autant d'inconnues que de forces inconnues.
Pour un pendule incliné : \(\tan \theta = F_\text{horizontale} / (m g)\), et \(T = m g / \cos \theta\).
La méthode est universelle : choix d'un repère, écriture des coordonnées, projection, résolution.

📚 Cette activité s'appuie sur §I-§IV de la leçon Ch08 + lien Physique-chimie (statique du point).