Géométrie dans l'espace — Première Bac Pro
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 18:05
Durée : 15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Un caisson de rangement a pour dimensions : longueur \(L = 60\) cm, largeur \(\ell = 40\) cm, hauteur \(h = 50\) cm.
a) Calculer le volume : \(V = 60 \times 40 \times 50 = ...\) cm³
b) Convertir en litres (1 L = 1 000 cm³) : \(V = ... \div 1\,000 = ...\) L
a) \(V = 60 \times 40 \times 50 = \mathbf{120\,000}\) cm³
b) \(V = 120\,000 \div 1\,000 = \mathbf{120}\) L
Un installateur thermique pose un ballon d'eau chaude cylindrique de diamètre 40 cm et de hauteur 80 cm.
a) Quel est le rayon ? \(r = \dfrac{40}{2} = ...\) cm
b) Calculer le volume : \(V = \pi \times ...^2 \times ... = ...\) cm³
c) Convertir en litres : \(V = ...\) L (arrondir au dixième)
a) \(r = \mathbf{20}\) cm
b) \(V = \pi \times 20^2 \times 80 = \pi \times 400 \times 80 = 32\,000\pi \approx \mathbf{100\,531}\) cm³
c) \(V \approx 100\,531 \div 1\,000 \approx \mathbf{100{,}5}\) L
Un cube a une arête de 15 cm.
a) Calculer son volume : \(V = 15^3 = ...\) cm³
b) Calculer son aire totale : \(\mathcal{A} = 6 \times 15^2 = 6 \times ... = ...\) cm²
a) \(V = 15^3 = \mathbf{3\,375}\) cm³
b) \(\mathcal{A} = 6 \times 225 = \mathbf{1\,350}\) cm²
Un ébéniste fabrique un bac décoratif en forme de pyramide à base carrée. La base a un côté de 20 cm et la hauteur est de 15 cm.
a) Calculer l'aire de la base : \(\mathcal{A}_b = 20^2 = ...\) cm²
b) Calculer le volume : \(V = \dfrac{1}{3} \times ... \times 15 = ...\) cm³
c) Convertir en litres : \(V = ...\) L
a) \(\mathcal{A}_b = 20^2 = \mathbf{400}\) cm²
b) \(V = \dfrac{1}{3} \times 400 \times 15 = \dfrac{6\,000}{3} = \mathbf{2\,000}\) cm³
c) \(V = 2\,000 \div 1\,000 = \mathbf{2}\) L
Compléter les conversions suivantes :
a) 2,5 m³ = ... L
b) 750 cm³ = ... L
c) 4,2 L = ... cm³
d) 0,08 m³ = ... L
a) \(2{,}5 \times 1\,000 = \mathbf{2\,500}\) L
b) \(750 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}75}\) L
c) \(4{,}2 \times 1\,000 = \mathbf{4\,200}\) cm³
d) \(0{,}08 \times 1\,000 = \mathbf{80}\) L
Barème : 20 points
Un caisson de rangement a pour dimensions : longueur \(L = 80\) cm, largeur \(\ell = 35\) cm, hauteur \(h = 50\) cm.
a) Calculer le volume : \(V = 80 \times 35 \times 50 = ...\) cm³
b) Convertir en litres (1 L = 1 000 cm³) : \(V = ... \div 1\,000 = ...\) L
a) \(V = 80 \times 35 \times 50 = \mathbf{140\,000}\) cm³
b) \(V = 140\,000 \div 1\,000 = \mathbf{140}\) L
Un installateur thermique pose un ballon d'eau chaude cylindrique de diamètre 50 cm et de hauteur 60 cm.
a) Quel est le rayon ? \(r = \dfrac{50}{2} = ...\) cm
b) Calculer le volume : \(V = \pi \times ...^2 \times ... = ...\) cm³
c) Convertir en litres : \(V = ...\) L (arrondir au dixième)
a) \(r = \mathbf{25}\) cm
b) \(V = \pi \times 25^2 \times 60 = \pi \times 625 \times 60 = 37\,500\pi \approx \mathbf{117\,810}\) cm³
c) \(V \approx 117\,810 \div 1\,000 \approx \mathbf{117{,}8}\) L
Un cube a une arête de 12 cm.
a) Calculer son volume : \(V = 12^3 = ...\) cm³
b) Calculer son aire totale : \(\mathcal{A} = 6 \times 12^2 = 6 \times ... = ...\) cm²
a) \(V = 12^3 = \mathbf{1\,728}\) cm³
b) \(\mathcal{A} = 6 \times 144 = \mathbf{864}\) cm²
Un ébéniste fabrique un bac décoratif en forme de pyramide à base carrée. La base a un côté de 30 cm et la hauteur est de 10 cm.
a) Calculer l'aire de la base : \(\mathcal{A}_b = 30^2 = ...\) cm²
b) Calculer le volume : \(V = \dfrac{1}{3} \times ... \times 10 = ...\) cm³
c) Convertir en litres : \(V = ...\) L
a) \(\mathcal{A}_b = 30^2 = \mathbf{900}\) cm²
b) \(V = \dfrac{1}{3} \times 900 \times 10 = \dfrac{9\,000}{3} = \mathbf{3\,000}\) cm³
c) \(V = 3\,000 \div 1\,000 = \mathbf{3}\) L
Compléter les conversions suivantes :
a) 3,5 m³ = ... L
b) 500 cm³ = ... L
c) 6,8 L = ... cm³
d) 0,12 m³ = ... L
a) \(3{,}5 \times 1\,000 = \mathbf{3\,500}\) L
b) \(500 \div 1\,000 = \mathbf{0{,}5}\) L
c) \(6{,}8 \times 1\,000 = \mathbf{6\,800}\) cm³
d) \(0{,}12 \times 1\,000 = \mathbf{120}\) L
Durée : 25 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur fabrique un meuble en forme de pavé droit de dimensions 1,20 m × 0,50 m × 0,80 m.
a) Calculer le volume du meuble en m³ puis en litres.
b) Calculer l'aire totale des 6 faces (en m²).
a) \(V = 1{,}20 \times 0{,}50 \times 0{,}80 = \mathbf{0{,}48}\) m³ \(= 0{,}48 \times 1\,000 = \mathbf{480}\) L.
b) \(\mathcal{A} = 2(1{,}20 \times 0{,}50 + 1{,}20 \times 0{,}80 + 0{,}50 \times 0{,}80)\)
\(= 2(0{,}60 + 0{,}96 + 0{,}40) = 2 \times 1{,}96 = \mathbf{3{,}92}\) m².
Un technicien chauffagiste dimensionne une cuve cylindrique de rayon 0,60 m et de hauteur 1,50 m.
a) Calculer le volume de la cuve en m³ (arrondir au centième).
b) Calculer l'aire latérale de la cuve (surface à isoler).
a) \(V = \pi \times 0{,}60^2 \times 1{,}50 = \pi \times 0{,}36 \times 1{,}50 = 0{,}54\pi \approx \mathbf{1{,}70}\) m³ \(\approx 1\,700\) L.
b) \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi \times 0{,}60 \times 1{,}50 = 1{,}80\pi \approx \mathbf{5{,}65}\) m².
Un cône de révolution a un rayon de base \(r = 6\) cm et une hauteur \(h = 8\) cm.
a) Calculer la longueur de la génératrice \(g\).
b) Calculer le volume du cône (arrondir au cm³).
a) \(g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10}\) cm.
b) \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 36 \times 8 = \dfrac{288\pi}{3} = 96\pi \approx \mathbf{302}\) cm³.
Un silo à granulés est constitué d'un cylindre de rayon 1,50 m et de hauteur 2 m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 0,80 m.
a) Calculer le volume du cylindre.
b) Calculer le volume du cône.
c) En déduire le volume total du silo (arrondir au dixième de m³).
a) \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 1{,}50^2 \times 2 = \pi \times 2{,}25 \times 2 = 4{,}50\pi \approx \mathbf{14{,}1}\) m³.
b) \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 1{,}50^2 \times 0{,}80 = \dfrac{1}{3}\pi \times 1{,}80 = 0{,}60\pi \approx \mathbf{1{,}9}\) m³.
c) \(V_{\text{total}} = 4{,}50\pi + 0{,}60\pi = 5{,}10\pi \approx \mathbf{16{,}0}\) m³.
Un cône de hauteur \(H = 15\) cm et de rayon \(R = 6\) cm est coupé par un plan parallèle à la base, à \(h = 10\) cm du sommet. Calculer le rayon de la section.
\(r = R \times \dfrac{h}{H} = 6 \times \dfrac{10}{15} = 6 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{4}\) cm.
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur fabrique une étagère en forme de pavé droit de dimensions 1,50 m × 0,40 m × 0,60 m.
a) Calculer le volume du meuble en m³ puis en litres.
b) Calculer l'aire totale des 6 faces (en m²).
a) \(V = 1{,}50 \times 0{,}40 \times 0{,}60 = \mathbf{0{,}36}\) m³ \(= 0{,}36 \times 1\,000 = \mathbf{360}\) L.
b) \(\mathcal{A} = 2(1{,}50 \times 0{,}40 + 1{,}50 \times 0{,}60 + 0{,}40 \times 0{,}60)\)
\(= 2(0{,}60 + 0{,}90 + 0{,}24) = 2 \times 1{,}74 = \mathbf{3{,}48}\) m².
Un technicien chauffagiste dimensionne une cuve cylindrique de rayon 0,50 m et de hauteur 2 m.
a) Calculer le volume de la cuve en m³ (arrondir au centième).
b) Calculer l'aire latérale de la cuve (surface à isoler).
a) \(V = \pi \times 0{,}50^2 \times 2 = \pi \times 0{,}25 \times 2 = 0{,}50\pi \approx \mathbf{1{,}57}\) m³ \(\approx 1\,570\) L.
b) \(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi \times 0{,}50 \times 2 = 2\pi \approx \mathbf{6{,}28}\) m².
Un cône de révolution a un rayon de base \(r = 5\) cm et une hauteur \(h = 12\) cm.
a) Calculer la longueur de la génératrice \(g\).
b) Calculer le volume du cône (arrondir au cm³).
a) \(g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}\) cm.
b) \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \times 25 \times 12 = \dfrac{300\pi}{3} = 100\pi \approx \mathbf{314}\) cm³.
Un silo à granulés est constitué d'un cylindre de rayon 1,20 m et de hauteur 2,50 m, surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 0,60 m.
a) Calculer le volume du cylindre.
b) Calculer le volume du cône.
c) En déduire le volume total du silo (arrondir au dixième de m³).
a) \(V_{\text{cyl}} = \pi \times 1{,}20^2 \times 2{,}50 = \pi \times 1{,}44 \times 2{,}50 = 3{,}60\pi \approx \mathbf{11{,}3}\) m³.
b) \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 1{,}44 \times 0{,}60 = \dfrac{0{,}864\pi}{3} = 0{,}288\pi \approx \mathbf{0{,}9}\) m³.
c) \(V_{\text{total}} = 3{,}60\pi + 0{,}288\pi = 3{,}888\pi \approx \mathbf{12{,}2}\) m³.
Un cône de hauteur \(H = 18\) cm et de rayon \(R = 9\) cm est coupé par un plan parallèle à la base, à \(h = 12\) cm du sommet. Calculer le rayon de la section.
\(r = R \times \dfrac{h}{H} = 9 \times \dfrac{12}{18} = 9 \times \dfrac{2}{3} = \mathbf{6}\) cm.
Durée : 30 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Un ballon de sport a un diamètre de 24 cm.
a) Calculer le volume de ce ballon (arrondir au cm³).
b) Calculer l'aire de la surface du ballon (arrondir au cm²).
\(R = \dfrac{24}{2} = 12\) cm.
a) \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 12^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1\,728 = \dfrac{6\,912\pi}{3} = 2\,304\pi \approx \mathbf{7\,238}\) cm³.
b) \(\mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \times 144 = 576\pi \approx \mathbf{1\,810}\) cm².
Un menuisier agenceur conçoit un meuble composé de deux parties :
a) Calculer le volume du caisson.
b) Calculer le volume du tiroir cylindrique.
c) En déduire le volume de matière du meuble (caisson plein moins le trou du tiroir).
a) \(V_{\text{caisson}} = 100 \times 50 \times 60 = \mathbf{300\,000}\) cm³.
b) \(V_{\text{tiroir}} = \pi \times 15^2 \times 40 = \pi \times 225 \times 40 = 9\,000\pi \approx \mathbf{28\,274}\) cm³.
c) \(V_{\text{matière}} = 300\,000 - 28\,274 \approx \mathbf{271\,726}\) cm³ \(\approx 271{,}7\) L.
Une boule de rayon \(R = 17\) cm est coupée par un plan situé à \(d = 8\) cm de son centre.
a) Calculer le rayon de la section circulaire obtenue.
b) Calculer l'aire de cette section.
a) \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = \mathbf{15}\) cm.
b) \(\mathcal{A} = \pi r^2 = \pi \times 225 = 225\pi \approx \mathbf{706{,}9}\) cm².
Un technicien chauffagiste doit isoler un conduit de cheminée cylindrique de diamètre extérieur 25 cm et de longueur 8 m. L'isolant est vendu en rouleaux de 2,5 m² au prix de 20 €.
a) Calculer l'aire latérale du conduit (en m²).
b) Combien de rouleaux doit-il acheter ? Quel est le coût ?
a) \(r = \dfrac{25}{2} = 12{,}5\) cm \(= 0{,}125\) m.
\(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi \times 0{,}125 \times 8 = 2\pi \approx \mathbf{6{,}28}\) m².
b) \(6{,}28 \div 2{,}5 = 2{,}51\) : deux rouleaux ne couvrent que 5 m², il en faut donc 3. Coût : \(3 \times 20 = \) 60 €.
On souhaite doubler le volume d'un cube. Par quel facteur faut-il multiplier la longueur de l'arête ? Justifier par un calcul.
Volume initial : \(V = a^3\). On cherche \(k\) tel que \((ka)^3 = 2a^3\).
\(k^3 a^3 = 2a^3 \Rightarrow k^3 = 2 \Rightarrow k = \sqrt[3]{2} \approx \mathbf{1{,}26}\).
Il faut multiplier l'arête par \(\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\), soit une augmentation d'environ 26 %.
Barème : 20 points
Un ballon de sport a un diamètre de 22 cm.
a) Calculer le volume de ce ballon (arrondir au cm³).
b) Calculer l'aire de la surface du ballon (arrondir au cm²).
\(R = \dfrac{22}{2} = 11\) cm.
a) \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 1\,331 = \dfrac{5\,324\pi}{3} \approx \mathbf{5\,575}\) cm³.
b) \(\mathcal{A} = 4\pi R^2 = 4\pi \times 121 = 484\pi \approx \mathbf{1\,521}\) cm².
Un menuisier agenceur conçoit un meuble composé de deux parties :
a) Calculer le volume du caisson.
b) Calculer le volume du tiroir cylindrique.
c) En déduire le volume de matière du meuble (caisson plein moins le trou du tiroir).
a) \(V_{\text{caisson}} = 80 \times 40 \times 50 = \mathbf{160\,000}\) cm³.
b) \(V_{\text{tiroir}} = \pi \times 12^2 \times 35 = \pi \times 144 \times 35 = 5\,040\pi \approx \mathbf{15\,834}\) cm³.
c) \(V_{\text{matière}} = 160\,000 - 15\,834 \approx \mathbf{144\,166}\) cm³ \(\approx 144{,}2\) L.
Une boule de rayon \(R = 13\) cm est coupée par un plan situé à \(d = 5\) cm de son centre.
a) Calculer le rayon de la section circulaire obtenue.
b) Calculer l'aire de cette section.
a) \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = \mathbf{12}\) cm.
b) \(\mathcal{A} = \pi r^2 = \pi \times 144 = 144\pi \approx \mathbf{452{,}4}\) cm².
Un technicien chauffagiste doit isoler un conduit de cheminée cylindrique de diamètre extérieur 30 cm et de longueur 12 m. L'isolant est vendu en rouleaux de 8 m² au prix de 38 €.
a) Calculer l'aire latérale du conduit (en m²).
b) Combien de rouleaux doit-il acheter ? Quel est le coût ?
a) \(r = \dfrac{30}{2} = 15\) cm \(= 0{,}15\) m.
\(\mathcal{A}_{\text{lat}} = 2\pi \times 0{,}15 \times 12 = 3{,}6\pi \approx \mathbf{11{,}31}\) m².
b) \(11{,}31 \div 8 = 1{,}41\) : un rouleau ne couvre que 8 m², il en faut donc 2. Coût : \(2 \times 38 = \) 76 €.
On souhaite tripler le volume d'un cube. Par quel facteur faut-il multiplier la longueur de l'arête ? Justifier par un calcul.
Volume initial : \(V = a^3\). On cherche \(k\) tel que \((ka)^3 = 3a^3\).
\(k^3 a^3 = 3a^3 \Rightarrow k^3 = 3 \Rightarrow k = \sqrt[3]{3} \approx \mathbf{1{,}44}\).
Il faut multiplier l'arête par \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44\), soit une augmentation d'environ 44 %.