Chapitre 7 – Exercices par capacités

Géométrie dans l'espace | Première Bac Pro | Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Représenter un solide usuel (cube, pavé droit, pyramide, cylindre, cône, boule)
C2 — Exploiter une représentation d'un solide usuel ou d'un assemblage de solides
C3 — Réaliser et exploiter la section d'un solide usuel par un plan

C1 — Représenter un solide usuel

Rappel de cours

Les solides usuels sont le cube, le pavé droit, la pyramide, le cylindre droit, le cône et la boule.
En perspective cavalière, les arêtes cachées sont représentées en pointillés. Les faces parallèles conservent le parallélisme et les rapports de longueur sur une même direction.

Exercice 1

Un menuisier réalise un caisson cubique d'arête 40 cm pour un meuble d'agencement.
1. Représenter ce cube en perspective cavalière en nommant ses sommets \(ABCDEFGH\).
2. Combien ce solide possède-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?
3. Calculer le volume du caisson.

Cube \(ABCDEFGH\) en perspective cavalière

Mes calculs :

1. Voir la figure ci-dessus. Les arêtes cachées \([AE]\), \([EH]\), \([EF]\) et \([DH]\) sont en pointillés.

2. Le cube possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.

3. \(V = a^3 = 40^3 = 64\,000\ \text{cm}^3 = 0{,}064\ \text{m}^3\)

Exercice 2

Un artisan fabrique une pyramide décorative en bois à base carrée de côté 12 cm et de hauteur 20 cm.
1. Nommer ce solide et indiquer le nombre de faces, d'arêtes et de sommets.
2. Représenter cette pyramide en perspective cavalière.
3. Calculer son volume.

Pyramide \(SABCD\) à base carrée

Mes calculs :

1. C'est une pyramide à base carrée. Elle possède 5 faces (1 carrée + 4 triangulaires), 8 arêtes et 5 sommets.

2. Voir la figure ci-dessus.

3. \(V = \dfrac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h = \dfrac{1}{3} \times 12^2 \times 20 = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 20 = 960\ \text{cm}^3\)

Exercice 3

Un installateur conçoit un conduit cylindrique de rayon 8 cm et de longueur 50 cm.
1. Représenter ce cylindre droit en perspective.
2. Combien de faces, d'arêtes et de sommets possède-t-il ?
3. Calculer son volume (arrondir au cm\(^3\) près).

Mes calculs :

1. Le cylindre droit se représente avec deux ellipses (bases circulaires) reliées par deux segments latéraux.

2. Le cylindre droit possède 3 faces (2 disques + 1 surface latérale), 2 arêtes (les deux cercles) et 0 sommet.

3. \(V = \pi r^2 h = \pi \times 8^2 \times 50 = 3\,200\pi \approx 10\,053\ \text{cm}^3\)

C2 — Exploiter une représentation d'un solide

Rappel de cours

Exploiter une représentation en perspective, c'est identifier des éléments géométriques (arêtes parallèles, perpendiculaires, diagonales de face, diagonales de l'espace), calculer des longueurs et reconnaître des propriétés de position (parallélisme, perpendicularité).

Exercice 4

On considère le pavé droit \(ABCDEFGH\) tel que \(AB = 6\) cm, \(BC = 4\) cm et \(AE = 3\) cm.
1. Citer toutes les arêtes parallèles à \([AB]\).
2. Citer toutes les arêtes perpendiculaires à \([AB]\).
3. Calculer la longueur de la diagonale de la face \(ABCD\) (arrondir au dixième).

Pavé droit \(ABCDEFGH\)

Mes calculs :

1. Les arêtes parallèles à \([AB]\) sont : \([DC]\), \([EF]\) et \([HG]\).

2. Les arêtes perpendiculaires à \([AB]\) sont : \([AD]\), \([BC]\), \([AE]\) et \([BF]\).

3. La diagonale \([AC]\) de la face \(ABCD\) :
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7{,}2\ \text{cm}\)

Exercice 5

Un agenceur doit poser un tube diagonal à l'intérieur d'un meuble parallélépipédique de dimensions \(L = 80\) cm, \(\ell = 60\) cm, \(h = 50\) cm.
Calculer la longueur de la diagonale de l'espace de ce pavé droit (arrondir au dixième).

Mes calculs :

La diagonale de l'espace du pavé droit vaut :
\(d = \sqrt{L^2 + \ell^2 + h^2} = \sqrt{80^2 + 60^2 + 50^2}\)
\(d = \sqrt{6\,400 + 3\,600 + 2\,500} = \sqrt{12\,500} \approx 111{,}8\ \text{cm}\)

Exercice 6

On considère un cube \(ABCDEFGH\) d'arête 5 cm. Le point \(I\) est le milieu de \([EF]\).
1. Calculer la longueur \(AI\).
2. Le segment \([AG]\) est une diagonale de l'espace. Calculer \(AG\).

Mes calculs :

1. On place le cube dans un repère : \(A(0;0;0)\), \(E(0;0;5)\), \(F(5;0;5)\), donc \(I(2{,}5;0;5)\).
\(AI = \sqrt{2{,}5^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{6{,}25 + 25} = \sqrt{31{,}25} \approx 5{,}59\ \text{cm}\)

2. \(G(5;5;5)\), donc \(AG = \sqrt{5^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66\ \text{cm}\)

C3 — Section d'un solide par un plan

Rappel de cours

La section d'un solide par un plan est la figure obtenue par l'intersection du plan avec le solide.
Exemples : la section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré ; la section d'un cube par un plan passant par une diagonale peut donner un rectangle ou un hexagone.
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone semblable à la base (réduction).

Section d'un cube par un plan parallèle à une face : un carré

Exercice 7

Un cube \(ABCDEFGH\) a une arête de 6 cm. Un plan parallèle à la face \(ABFE\) coupe les arêtes \([AD]\), \([BC]\), \([FG]\) et \([EH]\) à 2 cm de \(A\), \(B\), \(F\) et \(E\) respectivement.
1. Quelle est la nature de la section ?
2. Calculer l'aire de cette section.

Mes calculs :

1. Le plan de section est parallèle à la face \(ABFE\). La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré de même dimension que la face.

2. Le carré a pour côté 6 cm (la longueur de l'arête).
\(\mathcal{A} = 6^2 = 36\ \text{cm}^2\)

Exercice 8

Une pyramide régulière \(SABCD\) à base carrée a pour base un carré \(ABCD\) de côté 10 cm et pour hauteur \(SH = 15\) cm (\(H\) centre de la base).
Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à 5 cm du sommet \(S\).
1. Quelle est la nature de la section ?
2. Quel est le rapport de réduction ?
3. Calculer le côté et l'aire de la section.

Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Mes calculs :

1. La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone semblable à la base. Ici, c'est un carré.

2. Le plan coupe à 5 cm du sommet, sur une hauteur totale de 15 cm.
Rapport de réduction : \(k = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)

3. Côté de la section : \(c = k \times 10 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\ \text{cm}\)
Aire : \(\mathcal{A} = c^2 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9} \approx 11{,}1\ \text{cm}^2\)

Exercice 9

Sur un chantier, un menuisier doit couper un bloc parallélépipédique (pavé droit) de dimensions 30 cm × 20 cm × 15 cm par un plan passant par les milieux de trois arêtes verticales consécutives.
Le plan de coupe passe par les points \(I\) (milieu de \([AE]\)), \(J\) (milieu de \([BF]\)) et \(K\) (milieu de \([CG]\)).
1. Quelle est la nature de la section \(IJK...\) ?
2. Quelles sont les dimensions de cette section ?

Mes calculs :

1. Les points \(I\), \(J\), \(K\) sont situés à mi-hauteur sur trois arêtes verticales consécutives. Le plan passant par ces trois points est parallèle aux faces horizontales (bases du pavé). Le quatrième point de la section, \(L\) (milieu de \([DH]\)), complète la figure.
La section \(IJKL\) est un rectangle.

2. Ce rectangle a les mêmes dimensions que la base du pavé :
\(IJ = AB = 30\ \text{cm}\) et \(JK = BC = 20\ \text{cm}\).
Aire : \(\mathcal{A} = 30 \times 20 = 600\ \text{cm}^2\)