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Chapitre 7 – Exercices par capacités

Géométrie dans l'espace  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités et connaissances du programme :

Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre ; ce ne sont pas des codes officiels. Solides usuels : cube, pavé droit, pyramide, cylindre droit, cône, boule. Le programme demande de représenter un solide et de réaliser ses sections avec un logiciel : les exercices 6, 7 et 14 se font avec GeoGebra 3D, ou se préparent sur papier avant d'être vérifiés au logiciel. C3 regroupe les deux capacités du programme sur les sections : section par un plan, section passant par des points donnés.

C1 — Représenter un solide usuel

Rappel de cours

Les solides usuels sont le cube, le pavé droit, la pyramide, le cylindre droit, le cône et la boule.
En perspective cavalière, le parallélisme est conservé : deux arêtes parallèles restent parallèles sur le dessin. Les angles et les longueurs des fuyantes sont déformés : on ne mesure pas sur le dessin. Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
Dans GeoGebra 3D, un point se repère par trois coordonnées : abscisse \(x\), ordonnée \(y\), altitude \(z\). Pour un pavé : placer les quatre sommets de la base dans le plan d'altitude 0, saisir b=Polygone(A,B,C,D), puis pave=Prisme(b,hauteur).

Exercice 1

Un service de logistique utilise un conteneur cubique d'arête 40 cm pour expédier du matériel médical.
1. Représenter ce cube en perspective cavalière en nommant ses sommets \(ABCDEFGH\).
2. Combien ce solide possède-t-il de faces, d'arêtes et de sommets ?
3. Sur la figure, l'arête \([AE]\) paraît plus courte que l'arête \([AB]\). Quelle est sa longueur réelle ? Justifier.

A B C D E F G H
Cube \(ABCDEFGH\) en perspective cavalière
1. Voir la figure ci-dessus. Les trois arêtes cachées \([AE]\), \([EH]\) et \([EF]\), celles qui partent de \(E\), sont en pointillés.

2. Le cube possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets.

3. Toutes les arêtes d'un cube ont la même longueur : \(AE = 40\) cm. \([AE]\) est une fuyante : la perspective cavalière la raccourcit sur le dessin, mais pas dans la réalité.

Exercice 2

Un musée expose une maquette pyramidale à base carrée de côté 12 cm et de hauteur 20 cm.
1. Nommer ce solide et indiquer le nombre de faces, d'arêtes et de sommets.
2. Représenter cette pyramide en perspective cavalière.
3. Sur la figure, quelles arêtes sont tracées en pointillés ? Pourquoi ?

h A B C D S
Pyramide \(SABCD\) à base carrée
1. C'est une pyramide à base carrée. Elle possède 5 faces (1 carrée + 4 triangulaires), 8 arêtes et 5 sommets.

2. Voir la figure ci-dessus.

3. Les arêtes \([DA]\), \([DC]\) et \([SD]\) sont en pointillés : ce sont les trois arêtes qui partent du sommet \(D\), situé à l'arrière. Elles sont cachées par les faces avant. La hauteur, tracée en gris, n'est pas une arête.

Exercice 3

Un installateur conçoit un conduit cylindrique de rayon 8 cm et de longueur 50 cm.
1. Représenter ce cylindre droit en perspective.
2. Quelle est la forme de ses deux bases ? Comment les dessine-t-on en perspective ?
3. Quelle partie du bord de la base du bas trace-t-on en pointillés ? Pourquoi ?

1. Voir la figure : deux ellipses identiques, l'une au-dessus de l'autre, reliées par deux segments verticaux.
2. Les bases sont deux disques de rayon 8 cm. Vus de biais, on les dessine comme des ellipses ; dans la réalité, ce sont bien des disques.

3. La moitié arrière du bord de la base du bas : elle est cachée par le cylindre lui-même. Le bord de la base du haut est entièrement visible.

Exercice 4

On observe le pavé droit \(ABCDEFGH\) ci-dessous.
1. Citer les trois arêtes parallèles à \([AE]\).
2. Nommer la face parallèle à la face \(ABFE\).
3. Citer les faces perpendiculaires à la face \(ABCD\).
4. Sur le dessin, l'angle \(\widehat{ABC}\) n'est pas droit. Est-il droit dans le pavé réel ? Pourquoi ne peut-on pas mesurer \(BC\) sur le dessin ?

1. \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\) : ce sont les arêtes verticales.

2. La face \(DCGH\), à l'arrière.

3. Les quatre faces latérales : \(ABFE\), \(BCGF\), \(DCGH\) et \(ADHE\).

4. Oui : \(ABCD\) est une face du pavé droit, donc un rectangle, et l'angle \(\widehat{ABC}\) est droit. La perspective cavalière conserve le parallélisme, pas les angles. \([BC]\) est une fuyante : sa longueur est réduite sur le dessin. On lit sa longueur sur une cote, jamais avec une règle posée sur la perspective.

Exercice 5

Sur une feuille quadrillée, un élève a commencé la perspective cavalière du pavé droit \(ABCDEFGH\) : il a tracé la face avant \(ABFE\) et l'arête \([BC]\).
1. Quelles arêtes lui reste-t-il à tracer ? Combien doivent avoir la même longueur que \([BC]\) sur le dessin ?
2. Lesquelles doit-il tracer en pointillés ?
3. Reproduire la figure et la compléter en nommant \(D\), \(G\) et \(H\).

1. Il reste 7 arêtes : \([AD]\), \([EH]\), \([FG]\), \([DC]\), \([HG]\), \([CG]\) et \([DH]\). Les fuyantes \([AD]\), \([EH]\) et \([FG]\) sont parallèles à \([BC]\) et de même longueur qu'elle sur le dessin.

2. Le sommet caché est \(D\), en bas à l'arrière : les trois arêtes qui en partent, \([AD]\), \([DC]\) et \([DH]\), sont en pointillés.

3. Figure complétée :

Exercice 6

Avec GeoGebra 3D, on veut construire un pavé droit de longueur 5 (axe \(x\)), de largeur 2 (axe \(y\)) et de hauteur 4 (axe \(z\)). \(A\) est l'origine. On saisit chaque ligne dans la zone de saisie, puis on valide.

A=(0,0,0)
B=(5,0,0)
C=…
D=…
b=Polygone(A,B,C,D)
pave=…

1. Compléter les saisies de \(C\) et de \(D\).
2. Écrire la commande qui construit le pavé.
3. Donner les coordonnées des sommets \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) du dessus.
4. On fait tourner la vue. Les dimensions du pavé changent-elles ? Nommer deux faces parallèles.

1. C=(5,2,0) et D=(0,2,0) : la base est dans le plan d'altitude 0.

2. pave=Prisme(b,4) : le prisme droit de base \(b\) et de hauteur 4.

3. Les sommets du dessus sont à l'altitude 4, au-dessus de ceux de la base : \(E(0\,;0\,;4)\), \(F(5\,;0\,;4)\), \(G(5\,;2\,;4)\), \(H(0\,;2\,;4)\).

4. Non : changer de point de vue ne modifie aucune dimension. Par exemple, le dessous \(ABCD\) et le dessus \(EFGH\) sont parallèles (ou \(ABFE\) et \(DCGH\)).

Exercice 7

Un élève veut construire dans GeoGebra 3D un pavé droit de longueur 6 (axe \(x\)), de largeur 4 (axe \(y\)) et de hauteur 3. Il saisit :

A=(0,0,0)
B=(6,0,0)
C=(4,6,0)
D=(0,4,0)
b=Polygone(A,B,C,D)
pave=Prisme(b,4)

1. Le logiciel n'affiche pas un pavé droit. Quelle saisie est fausse ? La corriger.
2. Le pavé obtenu après cette correction n'a pas la bonne hauteur. Corriger la dernière commande.

1. La saisie de \(C\) est fausse : l'abscisse et l'ordonnée sont inversées. \(C\) est au bout de la longueur (\(x = 6\)) et de la largeur (\(y = 4\)) : C=(6,4,0). Avec \(C(4\,;6\,;0)\), la base \(ABCD\) n'est pas un rectangle.

2. La hauteur vaut 3 : pave=Prisme(b,3).

C2 — Exploiter une représentation d'un solide

Rappel de cours

Formules disponibles (elles sont fournies en évaluation) : pavé \(V = L\ell h\) et aire totale \(2(L\ell + Lh + \ell h)\) ; cylindre \(V = \pi r^2 h\) ; cône \(V = \pi r^2 h \div 3\) ; pyramide \(V = \mathcal{A}_b \times h \div 3\) ; boule \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).
Diagonale d'un pavé : Pythagore dans une face, \(AC^2 = L^2 + \ell^2\), puis dans le triangle \(ACG\) rectangle en \(C\), \(AG^2 = AC^2 + h^2\).
Assemblage : décomposer en solides simples, additionner les volumes (soustraire pour un trou). Le rayon est la moitié du diamètre. Garder \(\pi\) jusqu'à l'arrondi final.

Exercice 8

On considère le pavé droit \(ABCDEFGH\) tel que \(AB = 6\) cm, \(BC = 4\) cm et \(AE = 3\) cm.
1. Calculer son volume.
2. Calculer l'aire de ses six faces.
3. Calculer la longueur de la diagonale \([AC]\) de la face \(ABCD\) (arrondir au dixième).

A B F E D C G H 6 cm 4 cm 3 cm
Pavé droit \(ABCDEFGH\)
1. \(V = 6 \times 4 \times 3 = 72\ \text{cm}^3\).

2. \(\mathcal{A} = 2(6 \times 4 + 6 \times 3 + 4 \times 3) = 2(24 + 18 + 12) = 2 \times 54 = 108\ \text{cm}^2\).

3. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) :
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\), donc \(AC = \sqrt{52} \approx 7{,}2\ \text{cm}\). C'est une longueur, pas un volume.

Exercice 9

Un technicien doit placer une sonde rigide dans une cuve en forme de pavé droit \(ABCDEFGH\), de dimensions intérieures \(AB = 80\) cm, \(BC = 60\) cm et \(AE = 50\) cm. La plus longue sonde possible suit la diagonale \([AG]\).
1. Calculer la diagonale \(AC\) du fond.
2. Le triangle \(ACG\) est rectangle en \(C\). Calculer \(AG\) (arrondir au dixième).
3. Une sonde de 1,20 m peut-elle entrer dans la cuve fermée ?

1. Dans le fond, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\) : \(AC^2 = 80^2 + 60^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\), donc \(AC = 100\) cm.

2. \(CG = AE = 50\) cm. \(AG^2 = AC^2 + CG^2 = 10\,000 + 2\,500 = 12\,500\), donc \(AG = \sqrt{12\,500} \approx 111{,}8\) cm.

3. Non : \(1{,}20\) m \(= 120\) cm et \(120 > 111{,}8\). Même en diagonale, la sonde n'entre pas.

Exercice 10

Une borne en béton est formée d'un cylindre surmonté d'un cône de même base. Ses dimensions sont données sur le schéma.
1. Donner le rayon de la base.
2. Calculer le volume du cylindre et celui du cône, en fonction de \(\pi\).
3. En déduire le volume de la borne en cm³, arrondi à l'unité, puis en litres (\(1\) L \(= 1\,000\) cm³).
4. Une maquette a toutes ses longueurs deux fois plus petites. Par combien son volume est-il divisé ?

1. Le rayon est la moitié du diamètre : \(r = 20 \div 2 = 10\) cm.

2. \(V_{\text{cylindre}} = \pi \times 10^2 \times 60 = 6\,000\pi\ \text{cm}^3\) ; \(V_{\text{cône}} = \pi \times 10^2 \times 15 \div 3 = 500\pi\ \text{cm}^3\).

3. \(V = 6\,000\pi + 500\pi = 6\,500\pi \approx 20\,420\ \text{cm}^3\), soit environ \(20{,}4\) L.

4. Chaque longueur est divisée par 2, donc le volume est divisé par \(2 \times 2 \times 2 = 8\) : \(6\,500\pi \div 8 = 812{,}5\pi \approx 2\,553\ \text{cm}^3\).

Exercice 11

Un élève calcule le volume d'un seau cylindrique de diamètre 30 cm et de hauteur 40 cm. Il écrit : \(V = \pi \times 30^2 \times 40 = 36\,000\pi \approx 113\,097\ \text{cm}^3\).
1. Quelle erreur a-t-il faite ? Calculer le volume correct, en litres, arrondi au dixième.
2. Il affirme : « Si je double le rayon, le volume double. » A-t-il raison ?

1. Il a pris le diamètre à la place du rayon. \(r = 30 \div 2 = 15\) cm, donc \(V = \pi \times 15^2 \times 40 = 9\,000\pi \approx 28\,274\ \text{cm}^3\), soit environ \(28{,}3\) L. Son résultat était 4 fois trop grand.

2. Non. À hauteur fixée, \(r\) apparaît au carré : doubler le rayon multiplie le volume par \(2^2 = 4\).

C3 — Réaliser la section d’un solide usuel par un plan, avec un outil numérique

Rappel de cours

La section est l'intersection du solide plein avec le plan. Pour un cylindre coupé parallèlement aux bases, c'est un disque ; le cercle n'en est que le bord. Une sphère (une surface, comme un ballon) coupée par un plan donne un cercle.
Plan parallèle à une face d'un pavé : un rectangle identique à cette face (un carré pour un cube). Cylindre coupé parallèlement à son axe : un rectangle. Cône ou pyramide coupés parallèlement à la base : une réduction de la base.
Dans GeoGebra 3D : p: z=1 puis section=Intersection(p,pave). Trois points non alignés définissent un plan : q=Plan(I,J,K). Les points donnés ne sont pas forcément tous les sommets de la section : contrôler toutes les faces traversées.

Exercice 12

Donner la nature de la section dans chaque cas. Les solides sont pleins, sauf au d.
a. Un cylindre coupé par un plan parallèle à ses bases (figure a).
b. Un cylindre coupé par un plan parallèle à son axe (figure b).
c. Une boule de rayon 5 cm coupée par un plan situé à 3 cm de son centre.
d. Un ballon (une sphère) coupé par le même plan.
e. Un cône coupé par un plan parallèle à sa base.

a. Un disque, de même rayon que la base. Sur le dessin, il apparaît comme une ellipse.
b. Un rectangle : deux côtés sur la paroi, deux côtés dans les bases.
c. Un disque, car \(3 < 5\) : le plan coupe la boule. Son rayon vaut \(\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4\) cm (Pythagore).
d. Un cercle : la sphère n'est qu'une surface, la coupe est une ligne.
e. Un disque plus petit que la base.

Exercice 13

Un cube \(ABCDEFGH\) a une arête de 6 cm. Un plan parallèle à la face \(ABFE\) coupe les arêtes \([AD]\), \([BC]\), \([FG]\) et \([EH]\) à 2 cm de \(A\), \(B\), \(F\) et \(E\) respectivement.
1. Quelle est la nature de la section ?
2. Calculer l'aire de cette section.

1. Le plan de section est parallèle à la face \(ABFE\). La section d'un cube par un plan parallèle à une face est un carré de même dimension que la face.

2. Le carré a pour côté 6 cm (la longueur de l'arête).
\(\mathcal{A} = 6^2 = 36\ \text{cm}^2\)

Exercice 14

On reprend le pavé de longueur 5, de largeur 2 et de hauteur 4 de l'exercice 6, construit dans GeoGebra 3D. On saisit p: z=1 puis section=Intersection(p,pave).
1. Quelle section le logiciel affiche-t-il ? Donner sa forme et ses dimensions.
2. On remplace successivement 1 par 3, puis par 5. Qu'observe-t-on ?
3. On saisit maintenant p: x=2. Quelle est la section ?

1. Le plan d'altitude 1 est parallèle à la base et \(0 < 1 < 4\) : la section est un rectangle de 5 sur 2, identique à la base.

2. À l'altitude 3, même rectangle de 5 sur 2, plus haut : la section ne change pas quand on déplace le plan parallèlement à la base. À l'altitude 5, rien : le pavé s'arrête à l'altitude 4, le plan ne le rencontre plus.

3. Le plan \(x = 2\) est parallèle à la face \(ADHE\) et \(0 < 2 < 5\) : la section est un rectangle de 2 sur 4, identique à cette face.

Exercice 15

Une pyramide régulière \(SABCD\) à base carrée a pour base un carré \(ABCD\) de côté 10 cm et pour hauteur \(SH = 15\) cm (\(H\) centre de la base).
Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à 5 cm du sommet \(S\).
1. Quelle est la nature de la section ?
2. Quel est le rapport de réduction ?
3. Calculer le côté et l'aire de la section.

S section
Section d'une pyramide par un plan parallèle à la base
1. La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Ici, c'est un carré.

2. Le plan coupe à 5 cm du sommet, sur une hauteur totale de 15 cm.
Rapport de réduction : \(k = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\)

3. Côté de la section : \(c = k \times 10 = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\ \text{cm}\)
Aire : \(\mathcal{A} = c^2 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9} \approx 11{,}1\ \text{cm}^2\)

C4 — Construire la section plane d’un solide passant par des points donnés, avec un outil numérique

Rappel de cours

Trois points non alignés définissent un plan. Dans GeoGebra 3D : q=Plan(I,J,K), puis Intersection(q,pave).
Les points donnés ne sont pas forcément tous des sommets de la section : contrôler toutes les faces traversées. Sur papier, si le plan coupe deux faces parallèles, les deux côtés obtenus sont parallèles ; les côtés situés dans une face cachée se tracent en pointillés.

Exercice 16

Un menuisier dédouble un bloc de bois massif en forme de pavé droit, de dimensions 30 cm × 20 cm × 15 cm : il le refend dans son épaisseur, dans le sens du fil, par le plan qui passe par les milieux de trois arêtes verticales consécutives.
Le plan de coupe passe par les points \(I\) (milieu de \([AE]\)), \(J\) (milieu de \([BF]\)) et \(K\) (milieu de \([CG]\)).
1. Quelle est la nature de la section ? Où est son quatrième sommet ?
2. Quelles sont les dimensions de cette section ?

1. Les points \(I\), \(J\), \(K\) sont situés à mi-hauteur sur trois arêtes verticales consécutives. Le plan passant par ces trois points est parallèle aux faces horizontales (bases du pavé). Le quatrième sommet de la section, \(L\) (milieu de \([DH]\)), complète la figure.
La section \(IJKL\) est un rectangle.
2. Ce rectangle a les mêmes dimensions que la base du pavé :
\(IJ = AB = 30\ \text{cm}\) et \(JK = BC = 20\ \text{cm}\).
Aire : \(\mathcal{A} = 30 \times 20 = 600\ \text{cm}^2\)

Exercice 17

Le pavé droit \(ABCDEFGH\) a pour dimensions \(AB = 10\) cm, \(AD = 6\) cm et \(AE = 5\) cm. On le coupe par le plan qui passe par \(I\) sur \([AB]\), \(J\) sur \([DC]\) et \(K\) sur \([HG]\), avec \(AI = DJ = HK = 4\) cm.
1. La section a un quatrième sommet \(L\). Sur quelle arête est-il ? Préciser sa position.
2. Quels côtés de la section sont cachés ?
3. Donner la nature et les dimensions de la section.

1. \(I\), \(J\) et \(K\) sont tous à 4 cm de la face de gauche \(ADHE\) : le plan est parallèle à cette face. Il coupe aussi l'arête \([EF]\) en \(L\), avec \(EL = 4\) cm.

2. \([IJ]\) est dans la face du dessous et \([JK]\) dans la face arrière : ils sont cachés, donc en pointillés. \([KL]\) (face du dessus) et \([LI]\) (face avant) sont visibles.
3. Un rectangle de 6 cm sur 5 cm, identique à la face \(ADHE\) : \(IJ = AD = 6\) cm et \(JK = DH = 5\) cm.

Exercice 18

Dans GeoGebra 3D, on reprend le pavé de référence du cours : base \(A(0\,;0\,;0)\), \(B(6\,;0\,;0)\), \(C(6\,;4\,;0)\), \(D(0\,;4\,;0)\), hauteur 3. On place \(U\), \(V\) et \(W\) (figure), puis on saisit q=Plan(U,V,W) et Intersection(q,pave).
1. Sur quelles arêtes sont \(U\), \(V\) et \(W\) ?
2. Quelle est la nature de la section ? Pourquoi est-elle différente de celle de l'exercice 15 ?
3. Calculer la longueur \(UV\), arrondie au dixième.

1. \(U\) est sur \([AB]\) (altitude et ordonnée nulles), \(V\) sur \([AD]\) et \(W\) sur \([AE]\) : les trois arêtes qui partent de \(A\).

2. Un triangle. Le plan coupe seulement les trois faces qui entourent le sommet \(A\) : il découpe un coin du pavé. À l'exercice 15, le plan était parallèle à la base et traversait les quatre faces latérales : la section avait quatre côtés.
3. \(U\) et \(V\) sont dans la face \(ABCD\), et le triangle \(AUV\) est rectangle en \(A\) : \(UV^2 = 3^2 + 2^2 = 13\), donc \(UV = \sqrt{13} \approx 3{,}6\).