Chapitre 7 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Contexte : un ébéniste de l'atelier « Bois & Lumière » à Annecy réalise deux pièces sur mesure pour un client.
Pièce n°1 — Coffre de rangement en bois : le coffre a la forme d'un parallélépipède rectangle (pavé droit). Ses dimensions intérieures sont :
Pièce n°2 — Abat-jour décoratif en forme de cône : l'ébéniste fabrique un abat-jour en placage de bois ayant la forme d'un cône. Ses dimensions sont :
L'artisan doit estimer les volumes (capacité de rangement, encombrement) et les surfaces (quantité de bois ou de placage nécessaire) pour chiffrer sa commande de matériaux.
Coffre de rangement (pavé droit)
Abat-jour (cône)
a) Identifier la forme géométrique du coffre de rangement. Quel est le nom du solide correspondant ?
b) Identifier la forme géométrique de l'abat-jour. Quel est le nom du solide correspondant ?
c) Pour chaque solide, indiquer le nombre de faces, d'arêtes et de sommets.
a) Le coffre de rangement a la forme d'un parallélépipède rectangle (ou pavé droit). C'est un polyèdre dont les 6 faces sont des rectangles.
b) L'abat-jour a la forme d'un cône de révolution. C'est un solide de révolution obtenu par rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.
c)
Calculer le volume du coffre de rangement.
Rappel : le volume d'un pavé droit de longueur \(L\), largeur \(\ell\) et hauteur \(h\) est \(V = L \times \ell \times h\).
On applique la formule du volume du parallélépipède rectangle :
\[V_{\text{coffre}} = L \times \ell \times h = 60 \times 40 \times 30 = 72\,000 \text{ cm}^3\]Conversion en litres : \(1 \text{ L} = 1\,000 \text{ cm}^3\), donc :
\[V_{\text{coffre}} = \frac{72\,000}{1\,000} = \boxed{72 \text{ L}}\]Le coffre a un volume de 72 000 cm³, soit 72 litres.
Calculer l'aire totale du coffre (les 6 faces). Cette aire représente la surface totale de bois nécessaire pour fabriquer le coffre.
Rappel : l'aire totale d'un pavé droit est \(A_{\text{totale}} = 2(L\ell + Lh + \ell h)\).
On calcule d'abord l'aire de chaque paire de faces :
Aire totale :
\[A_{\text{totale}} = 2(2\,400 + 1\,800 + 1\,200) = 2 \times 5\,400 = \boxed{10\,800 \text{ cm}^2}\]Conversion : \(10\,800 \text{ cm}^2 = 1{,}08 \text{ m}^2\).
L'ébéniste a besoin de 1,08 m² de bois pour fabriquer les 6 faces du coffre.
Calculer le volume de l'abat-jour conique.
Rappel : le volume d'un cône de rayon \(r\) et de hauteur \(h\) est \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
On applique la formule du volume du cône :
\[V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 12^2 \times 25\] \[V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times 144 \times 25 = \frac{3\,600\pi}{3} = 1\,200\pi\] \[\boxed{V_{\text{cône}} \approx 3\,770 \text{ cm}^3}\]Le volume de l'abat-jour est d'environ 3 770 cm³, soit environ 3,77 litres.
a) Calculer la longueur de la génératrice \(g\) du cône à l'aide du théorème de Pythagore.
b) En déduire l'aire latérale du cône (la surface de placage nécessaire pour l'abat-jour).
Rappel : \(g = \sqrt{r^2 + h^2}\) et \(A_{\text{latérale}} = \pi r g\).
a) Calcul de la génératrice :
Le triangle rectangle formé par la hauteur \(h\), le rayon \(r\) et la génératrice \(g\) permet d'appliquer le théorème de Pythagore :
\[g = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 25^2} = \sqrt{144 + 625} = \sqrt{769}\] \[\boxed{g \approx 27{,}73 \text{ cm}}\]b) Calcul de l'aire latérale :
\[A_{\text{latérale}} = \pi r g = \pi \times 12 \times 27{,}73\] \[\boxed{A_{\text{latérale}} \approx 1\,045 \text{ cm}^2}\]L'ébéniste a besoin d'environ 1 045 cm² (soit environ 0,10 m²) de placage de bois pour recouvrir la surface latérale de l'abat-jour.
Comparer le volume du coffre et le volume de l'abat-jour. Combien de fois le coffre est-il plus volumineux que l'abat-jour ? Arrondir au dixième.
On calcule le rapport des volumes :
\[\frac{V_{\text{coffre}}}{V_{\text{cône}}} = \frac{72\,000}{1\,200\pi} = \frac{72\,000}{3\,769{,}9...} \approx \boxed{19{,}1}\]Le coffre est environ 19,1 fois plus volumineux que l'abat-jour conique.
Ce résultat est cohérent : le coffre est un objet de rangement de grande taille, tandis que l'abat-jour est un petit objet décoratif.
L'ébéniste utilise des panneaux de contreplaqué de dimensions 120 cm × 60 cm. Combien de panneaux lui faut-il au minimum pour fabriquer le coffre ? Justifier.
Indication : on rappelle que le coffre comporte 6 faces rectangulaires. Lister les dimensions de chaque face et vérifier lesquelles peuvent être découpées dans un même panneau.
Les 6 faces du coffre sont :
Chaque panneau mesure 120 × 60 cm, soit une aire de 7 200 cm².
Vérifions ce qu'on peut découper dans un panneau :
L'ébéniste a besoin d'au minimum \(\boxed{2}\) panneaux de contreplaqué.
Vérifier la cohérence du volume du coffre à l'aide d'une analyse dimensionnelle.
a) Quelles sont les unités de \(L\), \(\ell\) et \(h\) dans le calcul ?
b) En multipliant les unités, quelle unité obtient-on pour le volume ? Est-ce cohérent ?
c) Le résultat 72 litres est-il un ordre de grandeur réaliste pour un coffre de rangement ?
a) Les trois dimensions sont exprimées en centimètres (cm).
b) En multipliant les unités :
\[\text{cm} \times \text{cm} \times \text{cm} = \text{cm}^3\]On obtient bien des centimètres cubes (cm³), qui est une unité de volume. Le résultat est cohérent.
c) 72 litres, c'est l'équivalent d'environ 72 bouteilles d'un litre, ou d'un grand bac de rangement. Pour un coffre de 60 × 40 × 30 cm (de la taille d'une grosse caisse), cet ordre de grandeur est tout à fait réaliste.
Rédiger un court devis matériaux pour le client, récapitulant les résultats obtenus. Le devis doit indiquer :
Devis matériaux — Atelier Bois & Lumière
| Pièce | Dimensions | Surface de matériau | Matériau |
|---|---|---|---|
| Coffre de rangement (pavé droit) | 60 × 40 × 30 cm | 1,08 m² | 2 panneaux de contreplaqué (120 × 60 cm) |
| Abat-jour décoratif (cône) | h = 25 cm, r = 12 cm | ≈ 0,10 m² | Placage bois |
| Total surface de matériau | ≈ 1,18 m² | ||
Note : prévoir une marge de 10 à 15 % pour les chutes de découpe, soit environ 1,35 m² au total.
| Solide | Volume | Aire latérale | Aire totale |
|---|---|---|---|
| Parallélépipède rectangle (\(L, \ell, h\)) | \(L \times \ell \times h\) | \(2h(L+\ell)\) | \(2(L\ell + Lh + \ell h)\) |
| Cylindre (\(r, h\)) | \(\pi r^2 h\) | \(2\pi r h\) | \(2\pi r(r+h)\) |
| Cône (\(r, h, g\)) | \(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) | \(\pi r g\) | \(\pi r(r+g)\) |
| Boule (\(R\)) | \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\) | \(4\pi R^2\) | |
Génératrice du cône : \(g = \sqrt{r^2 + h^2}\) (théorème de Pythagore)
Conversion : \(1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}\) et \(1 \text{ L} = 1\,000 \text{ cm}^3\)