Chapitre 7 — Géométrie dans l'espace | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Adel, propriétaire à Pantin (latitude 48°54' N), envisage d'installer une cuve enterrée de récupération d'eau de pluie pour l'arrosage du jardin et le lavage de la voiture. Le toit de sa maison couvre 80 m² au sol (projection horizontale). Il hésite entre deux modèles cylindriques.
| Caractéristique | Cuve A « Verticale » | Cuve B « Horizontale » |
|---|---|---|
| Orientation | cylindre vertical | cylindre couché |
| Diamètre | 1,40 m | 1,30 m |
| Hauteur (ou longueur) | 2,00 m | 2,50 m |
| Profondeur d'enfouissement | 2,20 m (tête à -0,20 m) | 1,50 m (tête à -0,20 m) |
| Prix HT (cuve + pose) | 2 800 € | 2 600 € |
Calculer le volume \(V_A\) de la cuve A (cylindre vertical).
\(R_A = 1{,}40 / 2 = 0{,}70\) m. \(h_A = 2{,}00\) m.
\(V_A = 3{,}14 \times 0{,}70^2 \times 2{,}00 = 3{,}14 \times 0{,}49 \times 2{,}00 \approx \mathbf{3{,}08}\) m³ ≈ 3 080 L.
Capacité commerciale équivalente : 3 000 L.
Calculer le volume \(V_B\) de la cuve B (cylindre horizontal, c'est-à-dire couché).
\(R_B = 1{,}30 / 2 = 0{,}65\) m. \(L_B = 2{,}50\) m (longueur du cylindre).
\(V_B = 3{,}14 \times 0{,}65^2 \times 2{,}50 = 3{,}14 \times 0{,}4225 \times 2{,}50 \approx \mathbf{3{,}32}\) m³ ≈ 3 320 L.
La position du cylindre (vertical ou horizontal) ne change pas son volume — seulement sa forme d'occupation au sol.
Calculer la récupération annuelle théorique d'eau de pluie pour le toit d'Adel (80 m²) en m³. Comparer aux capacités des cuves.
\(V_\text{récup} = S_\text{toit} \times P \times \text{coef} = 80 \times 0{,}640 \times 0{,}75\).
Attention : 640 mm/an = 0,640 m/an. Donc \(V_\text{récup} = 80 \times 0{,}640 \times 0{,}75 = \mathbf{38{,}4}\) m³/an = 38 400 L/an.
Comparaison avec les cuves : 3,1 m³ (A) ou 3,3 m³ (B). La récupération annuelle (38 m³) est 12 fois supérieure à la capacité de stockage. La cuve va se remplir et déborder plusieurs fois dans l'année — c'est normal.
Les besoins annuels d'Adel sont de 15 m³/an. La récupération couvre-t-elle ces besoins ? Justifier.
Récupération possible : 38,4 m³/an.
Besoins : 15 m³/an.
Largement couverts : \(38{,}4 - 15 = 23{,}4\) m³/an d'excédent (ce qui débordera). Oui, le toit récupère 2,5 fois ce dont Adel a besoin.
L'enjeu est plutôt le stockage temporaire en période sèche : la cuve doit pouvoir tenir 1 à 2 mois sans pluie en été (besoin maximal jardin).
L'été (juin-août), il pleut peu et le jardin a besoin de ~6 m³ d'eau. La cuve la plus grande (3,3 m³) suffit-elle à tenir entre deux orages ? Discuter.
Cuve B = 3,3 m³ = 3 300 L. Besoin estival = 6 m³ = 6 000 L sur 3 mois.
Soit 2 000 L/mois ≈ 67 L/jour pour l'arrosage.
Si la cuve est pleine (3 300 L) et qu'il ne pleut plus, elle se vide en \(3\,300 / 67 \approx 49\) jours ≈ 7 semaines. Couvre largement deux orages (en pratique : 2-3 semaines entre orages d'été).
Conclusion : la cuve B couvre confortablement les besoins estivaux.
Calculer l'économie annuelle sur la facture d'eau d'Adel (15 m³ évités à 4,20 €/m³). Quel est le temps d'amortissement de la cuve B ?
Économie annuelle : \(15 \times 4{,}20 = \mathbf{63\,€}\) par an.
Coût cuve B installée : 2 600 €.
Amortissement brut : \(2\,600 / 63 \approx \mathbf{41}\) ans. Très long.
En réalité, on ajoute l'effet des éventuelles aides locales (collectivités) et du fait qu'utiliser l'eau de pluie pour le jardin économise aussi 60 € d'engrais (eau plus douce). Reste un investissement écologique, peu rentable financièrement.
Calculer la surface intérieure totale de la cuve B (2 disques + surface latérale) qu'il faut traiter contre les algues.
Surface latérale : \(S_\text{lat} = 2 \pi R L = 2 \times 3{,}14 \times 0{,}65 \times 2{,}50 \approx \mathbf{10{,}2}\) m².
Surface des deux disques (extrémités) : \(2 \pi R^2 = 2 \times 3{,}14 \times 0{,}4225 \approx \mathbf{2{,}65}\) m².
Surface totale intérieure : \(10{,}2 + 2{,}65 \approx \mathbf{12{,}9}\) m².
Traitement anti-algues (résine alimentaire) : 8 €/m² → \(12{,}9 \times 8 \approx 103\,€\) (à renouveler tous les 5 ans).
Rédiger la note technique d'Adel pour le syndicat de copropriété qui veut installer un système similaire (6 lignes).
Étude installation cuve récupération eau pluie — Pantin
• Pluviométrie : 640 mm/an × 80 m² × 75 % de coef = 38,4 m³/an récupérables.
• Besoin jardin + voiture : 15 m³/an → couvert largement, mais stockage limité.
• Cuve A (vertical, 3 080 L, 2 800 €) ou Cuve B (horizontal, 3 320 L, 2 600 €).
• Recommandation : Cuve B (capacité légèrement supérieure et 200 € moins chère).
• Économie facture d'eau : 63 €/an. Amortissement long (41 ans), geste écologique avant tout.
• Pour copropriété : surface de toit plus grande → cuve enterrée 10 m³ envisageable, à voir avec un BE technique.
Si on installait une cuve sphérique enterrée d'1 m de rayon, quel serait son volume ? Comparer avec les cuves A et B et discuter le compromis.
\(V_\text{sphère} = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1^3 = \dfrac{12{,}56}{3} \approx \mathbf{4{,}19}\) m³ ≈ 4 200 L.
Plus volumineuse que les cuves A et B, et la sphère est la forme la plus résistante à la pression du sol (mêmes contraintes en tout point). En revanche, plus complexe à fabriquer (et à enterrer dans un trou rond).
C'est pourquoi les réservoirs sphériques sont privilégiés pour les gaz sous pression (GPL, propane) où la résistance compte plus que la facilité d'installation.
📚 Cette activité s'appuie sur §I-§II de la leçon Ch07 + lien EDD (gestion de l'eau).