Chapitre 7 — Géométrie dans l'espace | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Yanis, élève de 1ère Bac Pro et joueur minimes au club AS du lycée Hénaff, prépare son sac pour le tournoi inter-établissements. Avant le match, il veut comprendre les dimensions exactes de son matériel : la taille officielle du ballon (taille 7), et la contenance de sa gourde sportive.
Donner le rayon du ballon en cm puis en dm. Faire un schéma du ballon (cercle) avec rayon, diamètre et circonférence.
\(R = 24{,}6 / 2 = \mathbf{12{,}3}\) cm = 1,23 dm.
Schéma : un cercle avec son diamètre 24,6 cm, le rayon 12,3 cm depuis le centre, et la circonférence comme contour (\(C = 2 \pi R \approx 77{,}3\) cm).
Calculer le volume du ballon en cm³ puis en L (= dm³).
\(V_\text{ballon} = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 12{,}3^3\).
\(12{,}3^3 = 12{,}3 \times 12{,}3 \times 12{,}3 = 151{,}29 \times 12{,}3 \approx 1\,860{,}9\) cm³.
\(V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1\,860{,}9 \approx \dfrac{23\,373}{3} \approx \mathbf{7\,791}\) cm³.
Conversion : \(7\,791\) cm³ = 7,79 L (ou dm³). Un ballon de basket contient environ 7,8 litres d'air.
Calculer la surface extérieure du ballon en cm². À quoi sert ce calcul (industrie) ?
\(S = 4 \times 3{,}14 \times 12{,}3^2 = 12{,}56 \times 151{,}29 \approx \mathbf{1\,900}\) cm² ≈ 0,19 m².
Utilité : ce calcul permet de connaître la quantité de cuir / polyuréthane nécessaire pour fabriquer le ballon (panneaux à découper), ou la surface de peinture pour un ballon décoratif.
Calculer la capacité de la gourde (volume cylindrique intérieur) en cm³ puis en mL. Comparer à la valeur annoncée par le fabricant (700 mL).
\(R = 7 / 2 = 3{,}5\) cm. \(h = 18\) cm.
\(V = 3{,}14 \times 3{,}5^2 \times 18 = 3{,}14 \times 12{,}25 \times 18 \approx \mathbf{692{,}3}\) cm³ ≈ 692 mL.
Comparaison : 692 mL réels vs 700 mL annoncés. Écart : -8 mL (-1 %). Annonce du fabricant correcte (arrondi à 700 mL pour communication).
Yanis veut savoir s'il peut combien de fois remplir sa gourde dans le ballon (hypothétiquement, si le ballon était une cruche). Calculer.
Volume ballon : 7,79 L = 7 790 mL.
Volume gourde : 700 mL.
Rapport : \(7\,790 / 700 \approx \mathbf{11{,}1}\). Le ballon pourrait contenir environ 11 gourdes.
Ordre de grandeur : un ballon de basket ≈ 11 gourdes ≈ une grande bouteille d'eau de 8 L. Le volume paraît grand, mais l'air pèse peu (densité 1,2 g/L → 7,79 L = 9,4 g).
Pour un demi-ballon (hémisphère, par exemple comme contenant pour mélanger des protéines en poudre dans une boutique de sport), calculer le volume. Donner un exemple d'objet ayant cette forme.
Demi-volume : \(V_\text{demi} = 7{,}79 / 2 = \mathbf{3{,}90}\) L.
Exemples : un saladier hémisphérique, un casque de moto (intérieur), une coupole, un dôme géodésique. Forme très utilisée pour les réservoirs sphériques (gaz, eau) car résiste bien à la pression.
Yanis transpire ≈ 0,9 L/heure de jeu intense. Combien doit-il prévoir de gourdes pour un match de 4 quart-temps de 10 min ? À reconstituer après le match.
Durée totale de jeu : \(4 \times 10 = 40\) min = 0,67 h.
Pertes en eau : \(0{,}9 \times 0{,}67 \approx \mathbf{0{,}60}\) L = 600 mL.
Si on hydrate aussi pendant le match (≈ 200 mL toutes les 10 min) : besoin total ≈ \(600 + 4 \times 200 = 1\,400\) mL.
Soit 2 gourdes (700 mL × 2 = 1 400 mL) pour le match + 1 gourde après pour la récupération.
Rédiger les conseils d'hydratation de Yanis pour son équipe (6 lignes).
Hydratation match basket — Équipe minimes AS Hénaff
• Volume du ballon taille 7 : 7,8 L d'air (rayon 12,3 cm).
• Capacité réelle d'une gourde sportive : 692 mL (annonce 700 mL : OK).
• Pertes en eau par sueur en match intense : ≈ 0,9 L/h.
• Pour un match de 40 min de jeu effectif : prévoir 2 gourdes (1,4 L total).
• Ajouter 1 gourde après match pour la récupération (réhydratation post-effort).
• Conseil : remplir d'eau plate (pas trop sucré, sinon mauvaise absorption). Boire par petites gorgées toutes les 5-10 min.
Un ballon de football a un diamètre de 22 cm (taille 5). Calculer son volume et le comparer à celui du ballon de basket (taille 7).
\(R_\text{foot} = 11\) cm. \(V_\text{foot} = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 11^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1\,331 \approx \mathbf{5\,575}\) cm³ ≈ 5,57 L.
Rapport : \(V_\text{basket} / V_\text{foot} = 7{,}79 / 5{,}57 \approx 1{,}40\). Le ballon de basket est 40 % plus volumineux que le ballon de foot, alors que les diamètres ne diffèrent que de 12 % (24,6 vs 22 cm).
C'est l'effet du cube du rayon : un petit écart sur la dimension donne un gros écart sur le volume. \(\left(\dfrac{12{,}3}{11}\right)^3 \approx 1{,}40\) ✓.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Solides usuels) et §II (Volumes : sphère, cylindre) de la leçon Ch07 + lien Sport.