🔧 Activité 6 – Volume d'air à chauffer dans un logement FILIÈRE MEE

Chapitre 7 — Géométrie dans l'espace | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 23 mai 2026

Objectifs :

Décomposer un solide complexe en pavé droit + prisme
Calculer le volume d'un pavé droit
Calculer le volume d'un prisme à base triangulaire (combles)
Estimer les déperditions thermiques proportionnelles au volume
Dimensionner une chaudière à partir d'un volume

Situation — diagnostic énergétique d'un pavillon

Léa, technicienne de maintenance énergétique chez ServiThermique 93 à Bagnolet, réalise un diagnostic pour un pavillon individuel des années 80 dont les propriétaires veulent remplacer la chaudière. Pour dimensionner correctement la nouvelle installation, elle doit calculer le volume total d'air à chauffer.

Document 1 – Plan du pavillon (vue en coupe)

Le pavillon est constitué de deux parties :

Un rez-de-chaussée + 1^er étage assimilable à un pavé droit (parallélépipède rectangle) :
- longueur 10 m
- largeur 8 m
- hauteur sous combles 4,80 m (2 niveaux de 2,40 m)
Des combles aménagées formant un prisme à base triangulaire, posé sur le pavé :
- base : longueur 10 m × largeur 8 m
- hauteur du faîtage au-dessus du plancher des combles : 2,50 m
- les combles sont chauffées en chambres aménagées

Document 2 – Données thermiques

Déperdition moyenne d'un pavillon RT 2005 : ≈ 30 W/m³.
Coefficient de surdimensionnement chaudière : 1,2 (sécurité hiver).
Renouvellement d'air normal : 0,5 vol/h (loi).
Chaleur volumique de l'air : \(c_v \approx 1{,}2\) kJ/(m³·K).

Document 3 – Formules

Volume d'un pavé droit : \(V = L \times l \times h\).
Volume d'un prisme à base triangulaire : \(V = \dfrac{1}{2} \times b \times h_t \times L\) où \(b\) est la base du triangle, \(h_t\) sa hauteur, \(L\) la longueur du prisme.
Volume cumulé de deux solides : on additionne les volumes (si pas de chevauchement).

Problématique : Quel volume total Léa doit-elle prendre en compte pour dimensionner la chaudière de ce pavillon avec combles aménagées ?

Question 1 APP

Faire un croquis du pavillon vu de face (perspective cavalière simplifiée) en indiquant les dimensions.

Croquis attendu :

Un rectangle de 10 m × 4,80 m (pavé vu de face).
Au-dessus, un triangle isocèle dont la base est 10 m et la hauteur 2,50 m (combles).
Indications : « 8 m » en profondeur pour les deux solides.
Un trait pour séparer le RDC de l'étage à 2,40 m, et un autre pour séparer l'étage des combles à 4,80 m.

Question 2 REA

Calculer le volume \(V_1\) du pavé droit (RDC + 1^er étage).

\(V_1 = L \times l \times h = 10 \times 8 \times 4{,}80\).

\(V_1 = 80 \times 4{,}80 = \mathbf{384}\) m³.

Question 3 REA

Calculer le volume \(V_2\) du prisme à base triangulaire (combles). On rappelle : la base du triangle est la largeur 8 m (sous le pignon), la hauteur du triangle est 2,50 m, et la longueur du prisme est 10 m.

Aire de la section triangulaire : \(A = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 2{,}50 = \dfrac{20}{2} = 10\) m².

Volume du prisme : \(V_2 = A \times L = 10 \times 10 = \mathbf{100}\) m³.

Question 4 REA

En déduire le volume total \(V\) du pavillon à chauffer.

\(V = V_1 + V_2 = 384 + 100 = \mathbf{484}\) m³.

Ordre de grandeur : un pavillon F5 standard fait 400-500 m³, ✓ cohérent.

Question 5 ANA

Avec une déperdition moyenne de 30 W/m³ (Doc 2), calculer la puissance nominale de chauffage nécessaire (en W puis kW).

Puissance théorique : \(P = V \times 30 = 484 \times 30 = 14\,520\) W ≈ \(\mathbf{14{,}5}\) kW.

Avec coefficient de surdimensionnement 1,2 : \(14{,}5 \times 1{,}2 = \mathbf{17{,}4}\) kW.

Léa choisira une chaudière de 18 ou 20 kW (valeur commerciale standard juste au-dessus).

Question 6 ANA

Quelle énergie est nécessaire pour réchauffer une fois entièrement l'air du pavillon (de 12 °C à 20 °C, soit ΔT = 8 K) ? Utiliser \(E = c_v \times V \times \Delta T\) avec \(c_v = 1{,}2\) kJ/(m³·K).

\(E = 1{,}2 \times 484 \times 8 = \mathbf{4\,646}\) kJ ≈ 4,65 MJ.

Conversion en kWh : \(E = 4\,646 / 3\,600 \approx \mathbf{1{,}29}\) kWh.

Avec un renouvellement d'air de 0,5 vol/h, on perd cette quantité d'énergie tous les 2 heures. Soit \(1{,}29 \times 12 \approx 15{,}5\) kWh/jour rien que pour compenser le renouvellement d'air.

Question 7 VAL

Si le pavillon était rénové RT 2020 avec des déperditions à 15 W/m³ (moitié moins), quelle puissance de chaudière suffirait-il ? Calculer l'économie annuelle, sachant que la chaudière fonctionne en moyenne 1 500 h/an au tarif gaz 0,11 €/kWh.

Puissance théorique RT 2020 : \(P_2 = 484 \times 15 = 7\,260\) W → 7,26 kW × 1,2 = \(\mathbf{8{,}7}\) kW. Chaudière 10 kW suffit.

Économie en énergie : \((14{,}5 - 7{,}26) \times 1\,500 = 10\,860\) kWh/an.

Économie monétaire : \(10\,860 \times 0{,}11 \approx \mathbf{1\,195\,€/an}\).

Sur 20 ans : ≈ 23 900 € → justifie largement une rénovation de l'enveloppe (isolation murs + combles + fenêtres).

Question 8 COM

Rédiger le rapport de Léa pour le client (6 lignes).

Diagnostic énergétique — Pavillon Bagnolet
• Volume habitable décomposé : pavé (RDC + étage) 384 m³ + prisme (combles aménagées) 100 m³ = 484 m³ total.
• Déperditions actuelles RT 2005 : ≈ 30 W/m³ → besoin de puissance ≈ 17,4 kW avec surdimensionnement.
• Recommandation chaudière : 18 ou 20 kW (valeur commerciale standard).
• Si rénovation thermique préalable (combles + murs) → déperditions ÷ 2 → chaudière 10 kW suffit.
• Économie potentielle après rénovation : ~1 200 €/an de gaz (sur 1 500 h de chauffage).
• Suggestion : faire chiffrer parallèlement isolation combles (1^e source de pertes) + remplacement fenêtres simple vitrage.

Pour aller plus loin (bonus)

Si l'on veut faire un calcul plus précis du volume des combles en ne comptant que la zone effectivement habitable (loi Carrez : hauteur sous plafond ≥ 1,80 m), comment s'y prendre ?

Sous une pente, la hauteur descend linéairement du faîtage (2,50 m) vers les murs (0 m côté gouttière). On garde seulement la zone où \(h \geq 1{,}80\) m.

Par similitude : la largeur utile \(l_u\) vérifie \(\dfrac{l_u/2}{4} = \dfrac{2{,}50 - 1{,}80}{2{,}50}\) (le triangle restant au-dessus de 1,80 m est semblable au gros triangle). Donc \(l_u = 8 \times \dfrac{0{,}70}{2{,}50} = 2{,}24\) m de largeur utile au sol.

Surface utile au sol : \(2{,}24 \times 10 = 22{,}4\) m². Volume utile combles (zone trapézoïdale) : plus difficile à estimer, environ \(\approx 35-40\) m³ au lieu de 100 m³.

La loi Carrez n'inclut donc qu'environ 25 m² de surface utile au lieu de 80 m² brut sous toit.

À retenir

Volume d'un pavé droit : \(V = L \times l \times h\).
Volume d'un prisme à base triangulaire : \(V = \dfrac{1}{2} \times b \times h_t \times L\) (aire de la base × longueur).
Pour un solide complexe (maison avec combles), on décompose en solides simples puis on additionne les volumes.
La puissance d'une chaudière se calcule à partir du volume à chauffer × déperdition par m³, avec un surdimensionnement de sécurité.
Une rénovation thermique peut diviser par 2 la puissance nécessaire et la facture de chauffage.

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Solides usuels) et §II (Aires et volumes) de la leçon Ch07 + filière MEE.