Chapitre 7 — Géométrie dans l'espace | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Théo, installateur thermique chez ÉcoChauffage 93 à Bondy, prépare un devis pour remplacer le chauffe-eau électrique d'un appartement de 4 personnes. Le client hésite entre deux modèles cylindriques verticaux. Théo doit comparer leurs volumes, leur emprise au sol et la surface à calorifuger.
| Caractéristique | Modèle A « Compact » | Modèle B « Confort » |
|---|---|---|
| Hauteur extérieure | 1,20 m | 1,50 m |
| Diamètre extérieur | 0,55 m | 0,60 m |
| Épaisseur d'isolant + paroi | 5 cm | 5 cm |
| Prix HT | 520 € | 650 € |
| Garantie | 5 ans | 7 ans |
Pour le modèle A, calculer le rayon extérieur \(R_A\) (en m). Faire le schéma coté du cylindre A.
Diamètre 0,55 m → \(R_A = 0{,}55 / 2 = \mathbf{0{,}275}\) m = 27,5 cm.
Schéma : un cylindre vertical de hauteur 1,20 m et de rayon 0,275 m.
Calculer le volume extérieur du ballon A en m³, puis en L.
\(V_A = \pi \times R_A^2 \times h_A = 3{,}14 \times 0{,}275^2 \times 1{,}20\).
\(0{,}275^2 = 0{,}0756\). Donc \(V_A = 3{,}14 \times 0{,}0756 \times 1{,}20 \approx \mathbf{0{,}285}\) m³.
Conversion : \(0{,}285\) m³ × 1 000 = \(\mathbf{285}\) L (volume extérieur).
L'épaisseur d'isolant + paroi est 5 cm = 0,05 m. Calculer le rayon intérieur et la hauteur intérieure utile du ballon A (la paroi se trouve aussi en haut et en bas). En déduire le volume intérieur (eau utile).
Rayon intérieur : \(R_{Ai} = 0{,}275 - 0{,}05 = \mathbf{0{,}225}\) m.
Hauteur utile : \(h_{Ai} = 1{,}20 - 2 \times 0{,}05 = \mathbf{1{,}10}\) m (parois en haut et en bas).
\(V_{Ai} = \pi \times 0{,}225^2 \times 1{,}10 = 3{,}14 \times 0{,}0506 \times 1{,}10 \approx \mathbf{0{,}175}\) m³ = 175 L.
Cohérent avec une capacité commerciale de 150 L (les fabricants arrondissent à la baisse).
Refaire les mêmes calculs pour le modèle B (extérieur puis intérieur).
Rayon extérieur : \(R_B = 0{,}30\) m. Hauteur : 1,50 m.
\(V_B = 3{,}14 \times 0{,}30^2 \times 1{,}50 = 3{,}14 \times 0{,}09 \times 1{,}50 \approx \mathbf{0{,}424}\) m³ = 424 L extérieurs.
Rayon intérieur : \(0{,}30 - 0{,}05 = 0{,}25\) m. Hauteur utile : \(1{,}50 - 0{,}10 = 1{,}40\) m.
\(V_{Bi} = 3{,}14 \times 0{,}25^2 \times 1{,}40 = 3{,}14 \times 0{,}0625 \times 1{,}40 \approx \mathbf{0{,}275}\) m³ = 275 L.
Capacité commerciale équivalente : 250 L.
Le foyer a besoin de 250 L (Doc 2). Quel modèle convient ? Justifier.
Besoin : 250 L. Capacité utile :
Recommandation : Modèle B. Surcoût 130 € (650 - 520), mais évite les douches froides en vacances scolaires et profite d'une garantie 7 ans.
Calculer la surface latérale extérieure du ballon B (à calorifuger pour limiter les pertes). Sur quelle surface totale faut-il poser l'isolant supplémentaire ?
Surface latérale : \(S_\text{lat} = 2 \pi R_B h_B = 2 \times 3{,}14 \times 0{,}30 \times 1{,}50 \approx \mathbf{2{,}83}\) m².
Surfaces des deux disques (haut + bas) : \(2 \times \pi R_B^2 = 2 \times 3{,}14 \times 0{,}30^2 = 2 \times 0{,}283 \approx 0{,}565\) m².
Surface totale : \(2{,}83 + 0{,}565 \approx \mathbf{3{,}40}\) m².
En pratique, on calorifuge le dessus et la surface latérale (le dessous repose sur le sol) : ≈ 3,11 m² à couvrir avec une jaquette isolante.
Une jaquette isolante coûte 7 €/m² (matière) et fait économiser ~150 kWh/an de pertes. Calculer le surcoût d'isolation et l'économie monétaire à 0,21 €/kWh.
Surface à isoler : 3,11 m² (cf. Q6). Coût matière : \(3{,}11 \times 7 = \mathbf{21{,}77\,€}\) (≈ 22 €).
Économie annuelle : \(150 \times 0{,}21 = \mathbf{31{,}50\,€}\) par an.
Amortissement : 22 / 31,5 ≈ 0,7 an, soit environ 8 mois. Très rentable.
Sur 7 ans (garantie) : économie nette \(7 \times 31{,}50 - 22 = 198\,€\).
Rédiger la conclusion du devis de Théo au client (6 lignes).
Devis — Remplacement chauffe-eau, Bondy (4 personnes)
• Besoin estimé : 250 L/jour à 60 °C (4 personnes × 50 L + 25 % de réserve).
• Modèle A « Compact » : volume utile 175 L → insuffisant.
• Modèle B « Confort » : volume utile 275 L → convient avec 25 L de marge.
• Surcoût modèle B vs A : 130 € (650 € au lieu de 520 €). Garantie 7 ans vs 5 ans.
• Recommandation : Modèle B + jaquette isolante 22 € (économie ~32 €/an).
• Total devis avec pose : 650 + 22 + 280 (pose) ≈ 952 € TTC.
L'eau froide d'entrée est à 12 °C, l'eau chaude sortante à 60 °C. Calculer l'énergie nécessaire pour chauffer 250 L d'eau de 12 à 60 °C, avec \(E = m \times c \times \Delta T\) où \(c = 1{,}16\) Wh/(kg·°C) et masse volumique de l'eau ≈ 1 kg/L.
Masse d'eau : \(250 \times 1 = 250\) kg.
\(\Delta T = 60 - 12 = 48\) °C.
\(E = 250 \times 1{,}16 \times 48 = \mathbf{13\,920}\) Wh ≈ 13,9 kWh par charge complète.
Sur l'année (1 charge/jour) : \(13{,}9 \times 365 \approx 5\,075\) kWh/an. Coût : ≈ 1 066 €/an à 0,21 €/kWh.
D'où l'intérêt d'une PAC eau chaude (COP 3) qui diviserait la facture par 3 → ≈ 355 €/an.
📚 Cette activité s'appuie sur §II (Aires et volumes) de la leçon Ch07 + filière ICCER.