Chapitre 7 — Géométrie dans l'espace | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Sofiane et son groupe préparent un projet « ballon-sonde » avec leur prof de physique du lycée Hénaff, en partenariat avec l'association Planète Sciences. Ils vont lâcher un ballon-sonde en latex équipé d'une nacelle (caméra GoPro + capteurs température/pression/altitude). Ils doivent dimensionner le ballon pour qu'il atteigne 30 km d'altitude avant d'éclater. Pour cela, ils étudient comment le volume du ballon évolue avec l'altitude.
| Altitude | Pression (hPa) | Pression relative \(P_0/P\) |
|---|---|---|
| 0 m (sol) | 1 013 | 1 |
| 5 500 m | ≈ 500 | ≈ 2 |
| 11 000 m | ≈ 250 | ≈ 4 |
| 16 500 m | ≈ 125 | ≈ 8 |
| 30 000 m | ≈ 12 | ≈ 85 |
D'après la loi de Mariotte (T constante) : \(P \times V = \text{constante}\) → \(V_\text{altitude} = V_\text{sol} \times \dfrac{P_0}{P}\).
Calculer le volume initial \(V_0\) du ballon au sol (rayon 1 m).
\(V_0 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1^3 = \dfrac{12{,}56}{3} \approx \mathbf{4{,}19}\) m³ ≈ 4 200 L.
Soit environ 4 m³ d'hélium au sol.
Calculer la masse d'hélium contenue dans le ballon initialement (ρ ≈ 0,18 kg/m³). Comparer à la charge utile.
\(m_\text{He} = V_0 \times \rho_\text{He} = 4{,}19 \times 0{,}18 \approx \mathbf{0{,}75}\) kg = 750 g.
Comparaison : ballon (latex) ~1 200 g + nacelle 800 g + hélium 750 g ≈ 2,75 kg total.
L'hélium ne pèse rien comparé à l'air qu'il déplace (1,2 kg/m³ × 4,19 m³ ≈ 5 kg d'air). Différence : 5 - 0,75 ≈ 4,25 kg de poussée → suffit largement pour soulever 2,75 kg de charge.
À 11 km d'altitude (zone de croisière des avions de ligne), la pression est ≈ 4 fois plus faible. Calculer le volume du ballon \(V_{11}\). Sachant \(V = \dfrac{4}{3} \pi R^3\), en déduire le rayon \(R_{11}\).
\(V_{11} = V_0 \times 4 = 4 \times 4{,}19 \approx \mathbf{16{,}76}\) m³.
Rayon : on cherche \(R\) tel que \(\dfrac{4}{3} \pi R^3 = 16{,}76\) → \(R^3 = \dfrac{3 \times 16{,}76}{4 \times 3{,}14} \approx 4{,}00\) → \(R = \sqrt[3]{4} \approx \mathbf{1{,}59}\) m.
Diamètre ≈ 3,17 m. Le ballon a quadruplé son volume mais n'a augmenté que de 60 % de rayon (effet du cube).
À 30 km d'altitude, la pression est ≈ 85 fois plus faible. Calculer le volume \(V_{30}\), le rayon \(R_{30}\) et conclure : le ballon éclatera-t-il ? (Diamètre max 8 m).
\(V_{30} = V_0 \times 85 = 85 \times 4{,}19 \approx \mathbf{356}\) m³.
Rayon : \(R^3 = \dfrac{3 \times 356}{4 \times 3{,}14} \approx 85{,}0\) → \(R = \sqrt[3]{85} \approx \mathbf{4{,}40}\) m → diamètre 8,80 m.
Le diamètre 8,80 m dépasse les 8 m maximaux avant éclatement. Le ballon va donc éclater avant d'atteindre 30 km.
Calculer l'altitude approximative à laquelle le ballon éclate (diamètre 8 m = rayon 4 m, donc \(V_\text{max} = \dfrac{4}{3} \pi 4^3 \approx 268\) m³). Quel rapport de pression cela correspond-il ?
\(V_\text{max} = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 64 \approx \mathbf{268}\) m³.
Rapport \(V_\text{max}/V_0 = 268 / 4{,}19 \approx \mathbf{64}\). Donc \(P_0 / P_\text{éclat} = 64\).
Dans le tableau du Doc 2 : pression ÷ 64 ↔ altitude entre 16 500 m (÷8) et 30 000 m (÷85), plus proche de 30 km. On estime par interpolation : ≈ 28-29 km.
Conclusion : le ballon-sonde Pawan 1200 g atteint environ 28 km avant d'éclater. Cohérent avec les performances annoncées.
Sachant que le ballon monte à 5 m/s en moyenne, combien de temps Sofiane et son groupe ont-ils pour le suivre par GPS avant l'éclatement ?
Durée ascension : \(t = \dfrac{28\,000}{5} = 5\,600\) s ≈ \(\mathbf{1\,\text{h}\,33\,\text{min}}\).
Plus la descente sous parachute (chute moins rapide, ≈ 30 min de récupération) → mission totale ≈ 2 heures.
Récupération : balise GPS + trajectoire prédite par les vents en altitude (souvent 50-100 km de dérive est-ouest).
Calculer la surface du ballon au lâcher et à l'éclatement. Comparer : le latex doit s'étirer de combien (en surface) avant de céder ?
Surface initiale : \(S_0 = 4 \times 3{,}14 \times 1^2 \approx \mathbf{12{,}6}\) m².
Surface à l'éclatement (R = 4 m) : \(S_\text{max} = 4 \times 3{,}14 \times 16 \approx \mathbf{201}\) m².
Rapport surface : \(201 / 12{,}6 \approx \mathbf{16}\). Le latex doit s'étirer 16 fois sa surface initiale avant de céder ! Capacité incroyable d'élasticité.
Note : pour le volume, c'est ×64 (ratio 4³). C'est l'effet géométrique : la surface va comme \(R^2\), le volume comme \(R^3\).
Rédiger la note de présentation du projet ballon-sonde par Sofiane (pour le journal du lycée, 6 lignes).
Projet Ballon-Sonde — Lycée Hénaff & Planète Sciences
• Au lâcher : ballon en latex, diamètre 2 m, contenant 4,2 m³ d'hélium (≈ 750 g).
• Charge utile : nacelle 800 g (caméra GoPro + capteurs alt./T°/P).
• En montant, la pression chute → le ballon gonfle. À 11 km (avions) : ×4 en volume. À 28 km : ×64.
• Éclatement vers 28-29 km quand le diamètre atteint 8 m (latex étiré × 16 en surface).
• Durée totale de vol : ≈ 2 heures (1 h 30 de montée + descente parachute).
• Récupération : balise GPS embarquée. Dérive possible 50-100 km vers l'est. Très belles images de la stratosphère !
Si on voulait monter plus haut (40 km, ballon stratosphérique professionnel), il faudrait un ballon plus grand au sol. Quel rayon initial faudrait-il pour que le diamètre maximal soit 12 m à 40 km (pression ÷ 250) ?
À 40 km, \(V_\text{40} = 250 \times V_0\) et on veut \(V_\text{40} = \dfrac{4}{3} \pi 6^3 = 904\) m³.
Donc \(V_0 = 904 / 250 = 3{,}62\) m³ → \(R_0^3 = \dfrac{3 \times 3{,}62}{4 \times 3{,}14} \approx 0{,}865\) → \(R_0 \approx \mathbf{0{,}95}\) m, diamètre initial ≈ 1,90 m.
Étonnamment, à peine plus petit qu'avant ! C'est parce que la pression à 40 km n'est pas tellement plus basse qu'à 28 km — il faut surtout un latex plus résistant. Les ballons stratosphériques professionnels (NASA) utilisent du polyéthylène ultraléger qui s'étire encore plus avant éclatement.
📚 Cette activité s'appuie sur §I-§II de la leçon Ch07 (sphère) + lien Physique-chimie (gaz parfaits).