Ch06 – Fonction dérivée et variations – QCM

Question 1

Dérivée d'une constante

Si \(f(x) = 7\), alors \(f'(x) =\) :

7 0 1 \(7x\)

Question 2

Dérivée de \(x^2\)

Si \(f(x) = x^2\), alors \(f'(x) =\) :

\(x\) \(x^2\) \(2x\) \(2\)

Question 3

Dérivée de la fonction inverse

Si \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) (pour \(x \neq 0\)), alors \(f'(x) =\) :

\(-\dfrac{1}{x^2}\) \(\dfrac{1}{x^2}\) \(\ln(x)\) \(-\dfrac{1}{x}\)

Question 4

Dérivée d'une fonction linéaire

Si \(f(x) = 5x\), alors \(f'(x) =\) :

\(5x^2\) \(0\) \(x\) \(5\)

Question 5

Produit par un scalaire

Si \(f(x) = 4x^2\), alors \(f'(x) =\) :

\(4x\) \(8x\) \(2x\) \(4\)

Question 6

Dérivation – somme simple

Si \(f(x) = x^2 + 3\), alors \(f'(x) =\) :

\(2x + 3\) \(x + 3\) \(2x\) \(2\)

Question 7

Dérivation – polynôme du 2nd degré

Si \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\), alors \(f'(x) =\) :

\(6x - 5\) \(3x - 5\) \(6x^2 - 5\) \(6x - 5 + 2\)

Question 8

Signe de la dérivée et croissance

Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est :

décroissante croissante constante nulle

Question 9

Signe de la dérivée et décroissance

Si \(f'(x) < 0\) sur un intervalle, alors \(f\) est :

croissante constante nulle décroissante

Question 10

Annulation de la dérivée

Si \(f'(a) = 0\) et que \(f'\) change de signe en \(a\), alors \(f\) admet en \(a\) :

un extremum local une racine une asymptote une discontinuité

Question 11

Type d'extremum

Si \(f'\) passe du signe positif au signe négatif en \(a\), alors \(f(a)\) est :

un minimum une valeur quelconque un maximum nul

Question 12

Minimum local

Si \(f'\) passe du signe négatif au signe positif en \(a\), alors \(f(a)\) est :

un maximum un minimum nul une valeur quelconque

Question 13

Valeur critique

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 1\). La dérivée \(f'(x) = 2x - 4\) s'annule en :

\(x = 0\) \(x = 4\) \(x = -2\) \(x = 2\)

Question 14

Interprétation graphique

Le nombre dérivé \(f'(a)\) représente graphiquement :

la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\) la valeur de \(f(a)\) la distance entre deux points de la courbe l'ordonnée à l'origine de la courbe

Question 15

Taux de variation

Le taux de variation de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est donné par :

\(f(b) - f(a)\) \(f(a) \times f(b)\) \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\) \(\dfrac{b - a}{f(b) - f(a)}\)

Question 1

Dérivation – polynôme du 2e degré

Si \(f(x) = 4x^2 + 2x - 7\), alors \(f'(x) =\) :

\(4x + 2\) \(8x + 2\) \(8x^2 + 2x\) \(8x - 7\)

Question 2

Dérivation – polynôme avec coefficient négatif

Si \(g(x) = -2x^2 + 8x\), alors \(g'(x) =\) :

\(-4x^2 + 8\) \(-2x + 8\) \(-4x + 8\) \(-4x - 8\)

Question 3

Étude des variations – sens sur un intervalle

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). On a \(f'(x) = 2x - 6\). Sur quel intervalle \(f\) est-elle croissante ?

\([3\,;\,+\infty[\) \(]-\infty\,;\,3]\) \(]-\infty\,;\,0]\) \(\mathbb{R}\)

Question 4

Extremum – valeur minimale

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). L'extremum de \(f\) est :

un maximum de valeur 5 en \(x = 0\) un maximum de valeur \(-4\) en \(x = 3\) un minimum de valeur 5 en \(x = 0\) un minimum de valeur \(-4\) en \(x = 3\)

Question 5

Extremum – maximum

Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\). Résoudre \(f'(x) = 0\) donne :

\(x = -2\) \(x = 2\) \(x = 4\) \(x = -4\)

Question 6

Tableau de variations – lecture

Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3\). La valeur maximale de \(f\) est :

\(-3\) \(2\) \(5\) \(8\)

Question 7

Dérivée d'un coût total

Le coût total de production, en euros, est \(C(x) = 0{,}2x^2 + 30x + 500\). La dérivée \(C'(x)\) vaut :

\(0{,}4x + 30\) \(0{,}2x + 30\) \(0{,}4x^2 + 30\) \(0{,}2x + 30x\)

Question 8

Dérivée d'un coût – calcul numérique

Dans un autre atelier, la dérivée du coût est \(C'(x) = 0{,}6x + 25\). La valeur de \(C'(20)\) est :

12 25 265 37

Question 9

Optimisation – aire maximale

L'aire d'un rectangle est \(A(x) = 60x - x^2\) avec \(x \in ]0\,;\,60[\). La valeur de \(x\) qui maximise \(A\) est :

\(x = 60\) \(x = 30\) \(x = 20\) \(x = 15\)

Question 10

Équation de la tangente

La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation :

\(y = f(a) \cdot x + f'(a)\) \(y = f'(a) + f(a)\) \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) \(y = f'(a)(x + a) - f(a)\)

Question 11

Tangente – calcul numérique

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). L'équation de la tangente au point d'abscisse \(x = 1\) est :

\(y = -2x + 2\) \(y = 2x - 2\) \(y = -2x - 2\) \(y = 2x + 2\)

Question 12

Rendement – optimisation

Le rendement d'une chaudière est \(R(x) = -0{,}5x^2 + 10x + 20\). Le débit \(x\) qui maximise le rendement est :

\(x = 5\) \(x = 20\) \(x = 0\) \(x = 10\)

Question 13

Bénéfice – maximiser

Le bénéfice d'un artisan est \(B(x) = -x^2 + 40x - 300\). Le nombre de meubles à vendre pour maximiser le bénéfice est :

\(x = 10\) \(x = 20\) \(x = 40\) \(x = 30\)

Question 14

Fonction inverse – sens de variation

La fonction inverse \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) est :

croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\) constante sur \(]0\,;\,+\infty[\) décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\) décroissante sur \(\mathbb{R}\)

Question 15

Tableau de variations – type de fonction

Soit \(f(x) = x^2 - 2x - 3\). Quel type d'extremum possède-t-elle, et en quelle valeur ?

Un minimum en \(x = 1\) Un maximum en \(x = 1\) Un minimum en \(x = -1\) Un maximum en \(x = 2\)

Question 1

Dérivée d'un polynôme – calcul complet

Si \(h(x) = 5x^3 - 3x + 10\), alors \(h'(x) =\) :

\(5x^2 - 3\) \(15x^2 - 3x\) \(15x^2 - 3\) \(15x^3 - 3\)

Question 2

Nombre dérivé – calcul par définition

En utilisant \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), le taux de variation de \(f(x) = x^2\) entre \(x = 3\) et \(x = 3+h\) vaut :

\(h + 3\) \(6 + h\) \(6h\) \(9 + h\)

Question 3

Tangente – équation complète

Soit \(f(x) = x^2\). L'équation de la tangente au point d'abscisse \(a = 3\) est :

\(y = 6x - 9\) \(y = 6x + 9\) \(y = 3x - 9\) \(y = 6x\)

Question 4

Optimisation – bénéfice maximal

Le bénéfice d'un artisan menuisier est \(B(x) = -x^2 + 40x - 300\) pour \(x \in [0\,;\,40]\). Le bénéfice maximal est :

300 € 400 € 40 € 100 €

Question 5

Optimisation – périmètre fixé

Un menuisier agenceur dispose de 160 cm de baguette pour encadrer un rectangle. L'aire \(A(x)\) en fonction de la largeur \(x\) vaut :

\(A(x) = 160x - x^2\) \(A(x) = 80x - x^2\) \(A(x) = 40x - x^2\) \(A(x) = 160 - 2x\)

Question 6

Optimisation – aire maximale

Pour \(A(x) = 80x - x^2\), la valeur de \(x\) qui maximise l'aire est :

\(x = 160\) \(x = 20\) \(x = 40\) \(x = 80\)

Question 7

Étude complète – signe de la dérivée

Soit \(f(x) = 2x^3 - 6x + 1\). On trouve \(f'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1)\). Sur quel intervalle \(f\) est-elle décroissante ?

\([-1\,;\,1]\) \(]-\infty\,;\,-1]\) \([1\,;\,+\infty[\) \(\mathbb{R}\)

Question 8

Dérivée composée simple – \((ax+b)^2\)

Soit \(f(x) = (2x + 1)^2\). En développant puis dérivant, \(f'(x) =\) :

\(2(2x+1)\) \(2\) \(4\) \(8x + 4\)

Question 9

Interprétation physique – vitesse instantanée

La position d'un objet est \(s(t) = 3t^2 - 12t\) (en mètres, \(t\) en secondes). La vitesse instantanée à \(t = 2\) s est :

12 m/s 0 m/s \(-12\) m/s 6 m/s

Question 10

Optimisation – contrainte linéaire

Un menuisier veut fabriquer une boîte rectangulaire (sans couvercle) à base carrée de côté \(x\) cm et de hauteur \(h\) cm. La surface totale des faces vaut 300 cm². Alors \(h\) en fonction de \(x\) est :

\(h = \dfrac{300 - x^2}{x}\) \(h = \dfrac{300}{4x}\) \(h = \dfrac{300 - x^2}{4x}\) \(h = 300 - x^2\)

Question 11

Taux de variation – limite

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la limite du taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand :

\(h \to 0\) \(h \to +\infty\) \(a \to 0\) \(f(a) \to 0\)

Question 12

Extremum global sur un intervalle fermé

Sur \([-1\,;\,3]\), la fonction \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) admet un minimum absolu en :

\(x = -1\) (valeur : 0) \(x = 3\) (valeur : 0) \(x = 0\) (valeur : \(-3\)) \(x = 1\) (valeur : \(-4\))

Question 13

Dérivée et signe – fonction cubique

Soit \(f(x) = -x^3 + 3x\). On a \(f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1)\). Les extremums locaux se trouvent en :

\(x = 0\) seulement \(x = -1\) et \(x = 1\) \(x = 3\) seulement \(x = 0\) et \(x = 3\)

Question 14

Optimisation – type BTS

Un installateur thermique modélise la consommation annuelle (en kWh) d'une pompe à chaleur par \(C(T) = 2T^2 - 80T + 1200\) où \(T\) est la température de consigne (°C), \(T \in [15\,;\,25]\). La température qui minimise la consommation est :

\(T = 15\,°C\) \(T = 25\,°C\) \(T = 20\,°C\) \(T = 10\,°C\)

Question 15

Problème ouvert – interprétation des résultats

Un fabricant de meubles modélise son profit par \(P(x) = -2x^2 + 60x - 400\) pour \(x \in [0\,;\,30]\). Le profit est positif pour :

\(x \in \,]10\,;\,20[\) \(x \in \,]0\,;\,30[\) \(x \in \,]15\,;\,30]\) \(x \in \,]0\,;\,10[\)