Fonction dérivée et étude des variations — Première Bac Pro
Dernière mise à jour : 20 août 2026, 14:30
Durée : 20 min (socle) · 30 min (standard) · 35 min (approfondissement) | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = x^2 + 3x\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 4\).
a) Calculer \(f(1) = 1^2 + 3 \times 1 = ...\)
b) Calculer \(f(4) = 4^2 + 3 \times 4 = ...\)
c) Calculer \(\tau = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{... - ...}{3} = ...\)
a) \(f(1) = 1 + 3 = \mathbf{4}\)
b) \(f(4) = 16 + 12 = \mathbf{28}\)
c) \(\tau = \dfrac{28 - 4}{4 - 1} = \dfrac{24}{3} = \mathbf{8}\)
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 3x^2 + 5x - 2\) → \(f'(x) = 3 \times ... + 5 \times ... - ... = ...\)
b) \(g(x) = -2x^2 + 4x + 7\) → \(g'(x) = ...\)
a) \(f'(x) = 3 \times 2x + 5 \times 1 - 0 = \mathbf{6x + 5}\)
b) \(g'(x) = -2 \times 2x + 4 = \mathbf{-4x + 4}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 3\).
a) Calculer \(f(2) = ...\)
b) Calculer \(f'(x) = ...\) puis \(f'(2) = ...\)
c) Écrire l'équation de la tangente en \(x = 2\) : \(y = f'(2)(x - 2) + f(2) = ...\)
a) \(f(2) = 4 - 4 + 3 = \mathbf{3}\)
b) \(f'(x) = 2x - 2\), donc \(f'(2) = 4 - 2 = \mathbf{2}\)
c) \(y = 2(x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = \mathbf{2x - 1}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 8x + 10\).
a) Calculer \(f'(x) = ...\)
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) : \(... = 0 \Rightarrow x = ...\)
c) Compléter : pour \(x < ...\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est ... ; pour \(x > ...\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est ...
a) \(f'(x) = \mathbf{2x - 8}\)
b) \(2x - 8 = 0 \Rightarrow x = \mathbf{4}\)
c) Pour \(x < 4\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante. Pour \(x > 4\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est croissante.
\(f\) admet un minimum en \(x = 4\) : \(f(4) = 16 - 32 + 10 = -6\).
Un installateur thermique met en chauffe un local. La température, en degrés Celsius, \(t\) minutes après l'allumage, est modélisée sur \([0\;;\;20]\) par :
\[T(t) = -0{,}05\,t^2 + 2t + 15\]
a) Calculer \(T'(t)\) = ...
b) Calculer \(T'(5)\) = ...
c) Compléter : au bout de 5 minutes, la température ....................... d'environ ....... °C par minute.
a) \(T'(t)\) = \(\mathbf{-0{,}1\,t + 2}\)
b) \(T'(5)\) = \(-0{,}1 \times 5 + 2 = -0{,}5 + 2 = \mathbf{1{,}5}\)
c) au bout de 5 minutes, la température augmente d'environ 1,5 °C par minute.
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = x^2 + 5x\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 5\).
a) Calculer \(f(2) = 2^2 + 5 \times 2 = ...\)
b) Calculer \(f(5) = 5^2 + 5 \times 5 = ...\)
c) Calculer \(\tau = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{... - ...}{3} = ...\)
a) \(f(2) = 4 + 10 = \mathbf{14}\)
b) \(f(5) = 25 + 25 = \mathbf{50}\)
c) \(\tau = \dfrac{50 - 14}{5 - 2} = \dfrac{36}{3} = \mathbf{12}\)
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 2x^2 + 7x - 4\) → \(f'(x) = 2 \times ... + 7 \times ... - ... = ...\)
b) \(g(x) = -3x^2 + 6x + 1\) → \(g'(x) = ...\)
a) \(f'(x) = 2 \times 2x + 7 \times 1 - 0 = \mathbf{4x + 7}\)
b) \(g'(x) = -3 \times 2x + 6 = \mathbf{-6x + 6}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 5\).
a) Calculer \(f(3) = ...\)
b) Calculer \(f'(x) = ...\) puis \(f'(3) = ...\)
c) Écrire l'équation de la tangente en \(x = 3\) : \(y = f'(3)(x - 3) + f(3) = ...\)
a) \(f(3) = 9 - 12 + 5 = \mathbf{2}\)
b) \(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(3) = 6 - 4 = \mathbf{2}\)
c) \(y = 2(x - 3) + 2 = 2x - 6 + 2 = \mathbf{2x - 4}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 7\).
a) Calculer \(f'(x) = ...\)
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) : \(... = 0 \Rightarrow x = ...\)
c) Compléter : pour \(x < ...\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est ... ; pour \(x > ...\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est ...
a) \(f'(x) = \mathbf{2x - 6}\)
b) \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = \mathbf{3}\)
c) Pour \(x < 3\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante. Pour \(x > 3\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est croissante.
\(f\) admet un minimum en \(x = 3\) : \(f(3) = 9 - 18 + 7 = -2\).
Un menuisier agenceur sèche un panneau en atelier. Son taux d'humidité, en pourcentage, \(t\) heures après le début du séchage, est modélisé sur \([0\;;\;12]\) par :
\[H(t) = 0{,}25\,t^2 - 6t + 40\]
a) Calculer \(H'(t)\) = ...
b) Calculer \(H'(4)\) = ...
c) Compléter : au bout de 4 heures, le taux d'humidité ....................... d'environ ....... points par heure.
a) \(H'(t)\) = \(\mathbf{0{,}5\,t - 6}\)
b) \(H'(4)\) = \(0{,}5 \times 4 - 6 = 2 - 6 = \mathbf{-4}\)
c) au bout de 4 heures, le taux d'humidité diminue d'environ 4 points par heure.
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 4x^2 - 3x + 2\)
b) \(g(x) = -3x^2 + 6x - 9\)
a) \(f'(x) = 8x - 3\)
b) \(g'(x) = -6x + 6\)
Soit \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\).
a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 3\).
b) La tangente passe-t-elle par le point \(P(0\,;\,-5)\) ? Justifier.
a) \(f(3) = 18 - 12 + 1 = 7\). \(f'(x) = 4x - 4\), donc \(f'(3) = 8\).
Tangente : \(y = 8(x - 3) + 7 = 8x - 24 + 7 = \mathbf{8x - 17}\).
b) Pour \(x = 0\) : \(y = 8 \times 0 - 17 = -17 \neq -5\). Le point \(P(0\,;\,-5)\) n'est pas sur la tangente.
Étudier les variations de \(f(x) = -x^2 + 6x - 4\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
d) Donner l'extremum de \(f\) et sa nature.
a) \(f'(x) = -2x + 6\)
b) \(-2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{3}\)
c) Pour \(x < 3\) : \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante. Pour \(x > 3\) : \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante. Avec \(f(3) = -9 + 18 - 4 = 5\) :
d) \(f(3) = -9 + 18 - 4 = \mathbf{5}\). La fonction admet un maximum égal à 5 en \(x = 3\).
Un artisan menuisier fabrique des étagères. Le bénéfice (en euros) pour \(x\) étagères vendues est modélisé par :
\[B(x) = -2x^2 + 60x - 200 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,30]\]
a) Déterminer le nombre d'étagères à vendre pour maximiser le bénéfice.
b) Calculer le bénéfice maximal.
a) \(B'(x) = -4x + 60\). On résout \(B'(x) = 0\) : \(-4x + 60 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{15}\).
Pour \(x < 15\) : \(B'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 15\) : \(B'(x) < 0\) (décroissant).
Le bénéfice est maximal pour 15 étagères.
b) \(B(15) = -2 \times 225 + 900 - 200 = -450 + 900 - 200 = \mathbf{250}\) €.
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 1\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 5\). Comparer avec \(f'(2)\) et commenter.
\(f(2) = 4 - 4 + 1 = 1\) et \(f(5) = 25 - 10 + 1 = 16\).
Taux de variation : \(\tau = \dfrac{16 - 1}{5 - 2} = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5}\).
\(f'(x) = 2x - 2\), donc \(f'(2) = 2\).
Le taux de variation (5) est différent du nombre dérivé en \(x = 2\) (2). Le taux de variation donne une pente moyenne entre deux points, tandis que le nombre dérivé donne la pente instantanée (pente de la tangente) en un seul point.
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 5x^2 - 2x + 3\)
b) \(g(x) = -2x^2 + 3x - 6\)
a) \(f'(x) = 10x - 2\)
b) \(g'(x) = -4x + 3\)
Soit \(f(x) = 3x^2 - 6x + 2\).
a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 2\).
b) La tangente passe-t-elle par le point \(P(0\,;\,-10)\) ? Justifier.
a) \(f(2) = 12 - 12 + 2 = 2\). \(f'(x) = 6x - 6\), donc \(f'(2) = 6\).
Tangente : \(y = 6(x - 2) + 2 = 6x - 12 + 2 = \mathbf{6x - 10}\).
b) Pour \(x = 0\) : \(y = 6 \times 0 - 10 = -10\). On obtient bien l'ordonnée de \(P\) : le point \(P(0\,;\,-10)\) appartient à la tangente.
Étudier les variations de \(f(x) = -x^2 + 8x - 7\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
d) Donner l'extremum de \(f\) et sa nature.
a) \(f'(x) = -2x + 8\)
b) \(-2x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{4}\)
c) Pour \(x < 4\) : \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante. Pour \(x > 4\) : \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante. Avec \(f(4) = -16 + 32 - 7 = 9\) :
d) \(f(4) = -16 + 32 - 7 = \mathbf{9}\). La fonction admet un maximum égal à 9 en \(x = 4\).
Un ébéniste fabrique des tabourets. Le bénéfice (en euros) pour \(x\) tabourets vendus est modélisé par :
\[B(x) = -3x^2 + 120x - 300 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,30]\]
a) Déterminer le nombre de tabourets à vendre pour maximiser le bénéfice.
b) Calculer le bénéfice maximal.
a) \(B'(x) = -6x + 120\). On résout \(B'(x) = 0\) : \(-6x + 120 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{20}\).
Pour \(x < 20\) : \(B'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 20\) : \(B'(x) < 0\) (décroissant).
Le bénéfice est maximal pour 20 tabourets.
b) \(B(20) = -3 \times 400 + 2400 - 300 = -1200 + 2400 - 300 = \mathbf{900}\) €.
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 4\). Comparer avec \(f'(1)\) et commenter.
\(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) et \(f(4) = 16 - 16 + 3 = 3\).
Taux de variation : \(\tau = \dfrac{3 - 0}{4 - 1} = \dfrac{3}{3} = \mathbf{1}\).
\(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(1) = -2\).
Le taux de variation (1) est différent du nombre dérivé en \(x = 1\) (\(-2\)). Le taux de variation donne une pente moyenne entre deux points, tandis que le nombre dérivé donne la pente instantanée (pente de la tangente) en un seul point.
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction et préciser son ensemble de dérivabilité :
a) \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7\)
b) \(g(x) = \dfrac{1}{x} + 4x^2\) pour \(x \neq 0\)
a) \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 3\), dérivable sur \(\mathbb{R}\).
b) \(g'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + 8x\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\).
Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) (indication : mettre en facteur).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\), dresser le tableau de variations et déterminer les extremums.
a) \(f'(x) = 3x^2 - 3\)
b) \(3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = -1\) ou \(x = 1\).
c) Signe de \(f'(x) = 3(x-1)(x+1)\) :
\(f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3\) et \(f(1) = 1 - 3 + 1 = -1\) :
\(f(-1) = \mathbf{3}\) → maximum local ; \(f(1) = \mathbf{-1}\) → minimum local.
Un installateur en ventilation doit fabriquer une goulotte à section rectangulaire à partir d'une tôle de 30 cm de largeur. Il plie les deux bords verticalement, sur une hauteur \(x\) (en cm), et la partie restante forme le fond de la goulotte.
a) Exprimer l'aire \(A(x)\) de la section en fonction de \(x\), et préciser les valeurs possibles de \(x\).
b) Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise l'aire de la section.
c) Calculer l'aire maximale.
a) Les deux plis consomment \(2x\) cm de largeur : le fond mesure \(30 - 2x\) cm et la hauteur vaut \(x\) cm. La section est donc un rectangle d'aire \(A(x) = x(30 - 2x) = 30x - 2x^2\), pour \(x \in \,]0\,;\,15[\) (il faut \(30 - 2x > 0\)).
b) \(A'(x) = 30 - 4x\). On résout \(A'(x) = 0\) : \(30 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{7{,}5}\) cm.
Pour \(x < 7{,}5\) : \(A'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 7{,}5\) : \(A'(x) < 0\) (décroissant). Donc maximum en \(x = 7{,}5\).
c) \(A(7{,}5) = 7{,}5 \times (30 - 15) = 7{,}5 \times 15 = \mathbf{112{,}5}\) cm².
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
a) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a = 4\).
b) Déterminer les coordonnées du point où cette tangente coupe l'axe des abscisses.
a) \(f(4) = 16 - 16 + 3 = 3\) et \(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(4) = 4\).
Tangente : \(y = f'(4)(x - 4) + f(4) = 4(x - 4) + 3 = 4x - 13\).
b) La tangente coupe l'axe des abscisses lorsque \(y = 0\) :
\(4x - 13 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{13}{4} = 3{,}25\).
Le point d'intersection est \(\mathbf{(3{,}25\,;\,0)}\).
Un technicien chauffagiste modélise le rendement \(R(t)\) (en %) d'une chaudière en fonction de la température de l'eau \(t\) (en °C) par :
\[R(t) = -0{,}02t^2 + 2{,}4t + 10 \quad \text{pour } t \in [20\,;\,80]\]
Déterminer la température qui maximise le rendement et la valeur de ce rendement maximal.
\(R'(t) = -0{,}04t + 2{,}4\)
\(R'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2{,}4}{0{,}04} = \mathbf{60}\) °C.
Pour \(t < 60\) : \(R'(t) > 0\) ; pour \(t > 60\) : \(R'(t) < 0\). Maximum en \(t = 60\).
\(R(60) = -0{,}02 \times 3600 + 144 + 10 = -72 + 144 + 10 = \mathbf{82}\) %.
Le rendement maximal est de 82 % pour une température de 60 °C.
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction et préciser son ensemble de dérivabilité :
a) \(f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 5x - 2\)
b) \(g(x) = \dfrac{1}{x} + 3x^2\) pour \(x \neq 0\)
a) \(f'(x) = 9x^2 - 8x + 5\), dérivable sur \(\mathbb{R}\).
b) \(g'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + 6x\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\).
Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 12x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) (indication : mettre en facteur).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\), dresser le tableau de variations et déterminer les extremums.
a) \(f'(x) = 3x^2 - 12\)
b) \(3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = -2\) ou \(x = 2\).
c) Signe de \(f'(x) = 3(x-2)(x+2)\) :
\(f(-2) = -8 + 24 + 5 = 21\) et \(f(2) = 8 - 24 + 5 = -11\) :
\(f(-2) = \mathbf{21}\) → maximum local ; \(f(2) = \mathbf{-11}\) → minimum local.
Un couvreur-zingueur doit fabriquer une gouttière à section rectangulaire à partir d'une tôle de 40 cm de largeur. Il plie les deux bords verticalement, sur une hauteur \(x\) (en cm), et la partie restante forme le fond de la gouttière.
a) Exprimer l'aire \(A(x)\) de la section en fonction de \(x\), et préciser les valeurs possibles de \(x\).
b) Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise l'aire de la section.
c) Calculer l'aire maximale.
a) Les deux plis consomment \(2x\) cm de largeur : le fond mesure \(40 - 2x\) cm et la hauteur vaut \(x\) cm. La section est donc un rectangle d'aire \(A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2\), pour \(x \in \,]0\,;\,20[\) (il faut \(40 - 2x > 0\)).
b) \(A'(x) = 40 - 4x\). On résout \(A'(x) = 0\) : \(40 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{10}\) cm.
Pour \(x < 10\) : \(A'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 10\) : \(A'(x) < 0\) (décroissant). Donc maximum en \(x = 10\).
c) \(A(10) = 10 \times (40 - 20) = 10 \times 20 = \mathbf{200}\) cm².
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 8\).
a) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a = 5\).
b) Déterminer les coordonnées du point où cette tangente coupe l'axe des abscisses.
a) \(f(5) = 25 - 30 + 8 = 3\) et \(f'(x) = 2x - 6\), donc \(f'(5) = 4\).
Tangente : \(y = f'(5)(x - 5) + f(5) = 4(x - 5) + 3 = 4x - 17\).
b) La tangente coupe l'axe des abscisses lorsque \(y = 0\) :
\(4x - 17 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{17}{4} = 4{,}25\).
Le point d'intersection est \(\mathbf{(4{,}25\,;\,0)}\).
Un technicien de maintenance énergétique modélise le rendement \(R(q)\) (en %) d'un échangeur thermique en fonction du débit \(q\) du fluide (en L/min) par :
\[R(q) = -0{,}05q^2 + 4q + 5 \quad \text{pour } q \in [0\,;\,50]\]
Déterminer le débit qui maximise le rendement et la valeur de ce rendement maximal.
\(R'(q) = -0{,}10q + 4\)
\(R'(q) = 0 \Leftrightarrow q = \dfrac{4}{0{,}10} = \mathbf{40}\) L/min.
Pour \(q < 40\) : \(R'(q) > 0\) ; pour \(q > 40\) : \(R'(q) < 0\). La dérivée change de signe en 40 : c'est bien un maximum.
\(R(40) = -0{,}05 \times 1600 + 160 + 5 = -80 + 160 + 5 = \mathbf{85}\) %.
Le rendement maximal est de 85 % pour un débit de 40 L/min.