Fonction dérivée et étude des variations — Première Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = x^2 + 3x\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 4\).
a) Calculer \(f(1) = 1^2 + 3 \times 1 = ...\)
b) Calculer \(f(4) = 4^2 + 3 \times 4 = ...\)
c) Calculer \(\tau = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{... - ...}{3} = ...\)
a) \(f(1) = 1 + 3 = \mathbf{4}\)
b) \(f(4) = 16 + 12 = \mathbf{28}\)
c) \(\tau = \dfrac{28 - 4}{4 - 1} = \dfrac{24}{3} = \mathbf{8}\)
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 3x^2 + 5x - 2\) → \(f'(x) = 3 \times ... + 5 \times ... - ... = ...\)
b) \(g(x) = -2x^2 + 4x + 7\) → \(g'(x) = ...\)
a) \(f'(x) = 3 \times 2x + 5 \times 1 - 0 = \mathbf{6x + 5}\)
b) \(g'(x) = -2 \times 2x + 4 = \mathbf{-4x + 4}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 3\).
a) Calculer \(f(2) = ...\)
b) Calculer \(f'(x) = ...\) puis \(f'(2) = ...\)
c) Écrire l'équation de la tangente en \(x = 2\) : \(y = f'(2)(x - 2) + f(2) = ...\)
a) \(f(2) = 4 - 4 + 3 = \mathbf{3}\)
b) \(f'(x) = 2x - 2\), donc \(f'(2) = 4 - 2 = \mathbf{2}\)
c) \(y = 2(x - 2) + 3 = 2x - 4 + 3 = \mathbf{2x - 1}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 8x + 10\).
a) Calculer \(f'(x) = ...\)
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) : \(... = 0 \Rightarrow x = ...\)
c) Compléter : pour \(x < ...\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est ... ; pour \(x > ...\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est ...
a) \(f'(x) = \mathbf{2x - 8}\)
b) \(2x - 8 = 0 \Rightarrow x = \mathbf{4}\)
c) Pour \(x < 4\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante. Pour \(x > 4\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est croissante.
\(f\) admet un minimum en \(x = 4\) : \(f(4) = 16 - 32 + 10 = -6\).
Le coût total de production de \(x\) pièces est \(C(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 100\).
a) Calculer \(C'(x) = ...\)
b) Calculer le coût marginal pour \(x = 10\) : \(C'(10) = ...\) €
a) \(C'(x) = \mathbf{x + 20}\)
b) \(C'(10) = 10 + 20 = \mathbf{30}\) €. La 11ème pièce coûte environ 30 € à produire.
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = x^2 + 5x\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 5\).
a) Calculer \(f(2) = 2^2 + 5 \times 2 = ...\)
b) Calculer \(f(5) = 5^2 + 5 \times 5 = ...\)
c) Calculer \(\tau = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{... - ...}{3} = ...\)
a) \(f(2) = 4 + 10 = \mathbf{14}\)
b) \(f(5) = 25 + 25 = \mathbf{50}\)
c) \(\tau = \dfrac{50 - 14}{5 - 2} = \dfrac{36}{3} = \mathbf{12}\)
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 2x^2 + 7x - 4\) → \(f'(x) = 2 \times ... + 7 \times ... - ... = ...\)
b) \(g(x) = -3x^2 + 6x + 1\) → \(g'(x) = ...\)
a) \(f'(x) = 2 \times 2x + 7 \times 1 - 0 = \mathbf{4x + 7}\)
b) \(g'(x) = -3 \times 2x + 6 = \mathbf{-6x + 6}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 5\).
a) Calculer \(f(3) = ...\)
b) Calculer \(f'(x) = ...\) puis \(f'(3) = ...\)
c) Écrire l'équation de la tangente en \(x = 3\) : \(y = f'(3)(x - 3) + f(3) = ...\)
a) \(f(3) = 9 - 12 + 5 = \mathbf{2}\)
b) \(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(3) = 6 - 4 = \mathbf{2}\)
c) \(y = 2(x - 3) + 2 = 2x - 6 + 2 = \mathbf{2x - 4}\)
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 7\).
a) Calculer \(f'(x) = ...\)
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) : \(... = 0 \Rightarrow x = ...\)
c) Compléter : pour \(x < ...\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est ... ; pour \(x > ...\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est ...
a) \(f'(x) = \mathbf{2x - 6}\)
b) \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = \mathbf{3}\)
c) Pour \(x < 3\), \(f'(x) < 0\) donc \(f\) est décroissante. Pour \(x > 3\), \(f'(x) > 0\) donc \(f\) est croissante.
\(f\) admet un minimum en \(x = 3\) : \(f(3) = 9 - 18 + 7 = -2\).
Le coût total de production de \(x\) pièces est \(C(x) = 0{,}5x^2 + 30x + 80\).
a) Calculer \(C'(x) = ...\)
b) Calculer le coût marginal pour \(x = 20\) : \(C'(20) = ...\) €
a) \(C'(x) = \mathbf{x + 30}\)
b) \(C'(20) = 20 + 30 = \mathbf{50}\) €. La 21ème pièce coûte environ 50 € à produire.
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 4x^2 - 3x + 2\)
b) \(g(x) = -3x^2 + 6x - 9\)
a) \(f'(x) = 8x - 3\)
b) \(g'(x) = -6x + 6\)
Soit \(f(x) = 2x^2 - 4x + 1\).
a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 3\).
b) La tangente passe-t-elle par le point \(P(0\,;\,-5)\) ? Justifier.
a) \(f(3) = 18 - 12 + 1 = 7\). \(f'(x) = 4x - 4\), donc \(f'(3) = 8\).
Tangente : \(y = 8(x - 3) + 7 = 8x - 24 + 7 = \mathbf{8x - 17}\).
b) Pour \(x = 0\) : \(y = 8 \times 0 - 17 = -17 \neq -5\). Le point \(P(0\,;\,-5)\) n'est pas sur la tangente.
Étudier les variations de \(f(x) = -x^2 + 6x - 4\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
d) Donner l'extremum de \(f\) et sa nature.
a) \(f'(x) = -2x + 6\)
b) \(-2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{3}\)
c) Pour \(x < 3\) : \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante. Pour \(x > 3\) : \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante.
d) \(f(3) = -9 + 18 - 4 = \mathbf{5}\). La fonction admet un maximum égal à 5 en \(x = 3\).
Un artisan menuisier fabrique des étagères. Le bénéfice (en euros) pour \(x\) étagères vendues est modélisé par :
\[B(x) = -2x^2 + 60x - 200 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,30]\]
a) Déterminer le nombre d'étagères à vendre pour maximiser le bénéfice.
b) Calculer le bénéfice maximal.
a) \(B'(x) = -4x + 60\). On résout \(B'(x) = 0\) : \(-4x + 60 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{15}\).
Pour \(x < 15\) : \(B'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 15\) : \(B'(x) < 0\) (décroissant).
Le bénéfice est maximal pour 15 étagères.
b) \(B(15) = -2 \times 225 + 900 - 200 = -450 + 900 - 200 = \mathbf{250}\) €.
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 1\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 2\) et \(x = 5\). Comparer avec \(f'(2)\) et commenter.
\(f(2) = 4 - 4 + 1 = 1\) et \(f(5) = 25 - 10 + 1 = 16\).
Taux de variation : \(\tau = \dfrac{16 - 1}{5 - 2} = \dfrac{15}{3} = \mathbf{5}\).
\(f'(x) = 2x - 2\), donc \(f'(2) = 2\).
Le taux de variation (5) est différent du nombre dérivé en \(x = 2\) (2). Le taux de variation donne une pente moyenne entre deux points, tandis que le nombre dérivé donne la pente instantanée (pente de la tangente) en un seul point.
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction :
a) \(f(x) = 5x^2 - 2x + 3\)
b) \(g(x) = -2x^2 + 3x - 6\)
a) \(f'(x) = 10x - 2\)
b) \(g'(x) = -4x + 3\)
Soit \(f(x) = 3x^2 - 6x + 2\).
a) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x = 2\).
b) La tangente passe-t-elle par le point \(P(0\,;\,-4)\) ? Justifier.
a) \(f(2) = 12 - 12 + 2 = 2\). \(f'(x) = 6x - 6\), donc \(f'(2) = 6\).
Tangente : \(y = 6(x - 2) + 2 = 6x - 12 + 2 = \mathbf{6x - 10}\).
b) Pour \(x = 0\) : \(y = 6 \times 0 - 10 = -10 \neq -4\). Le point \(P(0\,;\,-4)\) n'est pas sur la tangente.
Étudier les variations de \(f(x) = -x^2 + 8x - 7\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
d) Donner l'extremum de \(f\) et sa nature.
a) \(f'(x) = -2x + 8\)
b) \(-2x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{4}\)
c) Pour \(x < 4\) : \(f'(x) > 0\) → \(f\) croissante. Pour \(x > 4\) : \(f'(x) < 0\) → \(f\) décroissante.
d) \(f(4) = -16 + 32 - 7 = \mathbf{9}\). La fonction admet un maximum égal à 9 en \(x = 4\).
Un ébéniste fabrique des tabourets. Le bénéfice (en euros) pour \(x\) tabourets vendus est modélisé par :
\[B(x) = -3x^2 + 90x - 300 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,30]\]
a) Déterminer le nombre de tabourets à vendre pour maximiser le bénéfice.
b) Calculer le bénéfice maximal.
a) \(B'(x) = -6x + 90\). On résout \(B'(x) = 0\) : \(-6x + 90 = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{15}\).
Pour \(x < 15\) : \(B'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 15\) : \(B'(x) < 0\) (décroissant).
Le bénéfice est maximal pour 15 tabourets.
b) \(B(15) = -3 \times 225 + 1350 - 300 = -675 + 1350 - 300 = \mathbf{375}\) €.
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 4\). Comparer avec \(f'(1)\) et commenter.
\(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) et \(f(4) = 16 - 16 + 3 = 3\).
Taux de variation : \(\tau = \dfrac{3 - 0}{4 - 1} = \dfrac{3}{3} = \mathbf{1}\).
\(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(1) = -2\).
Le taux de variation (1) est différent du nombre dérivé en \(x = 1\) (\(-2\)). Le taux de variation donne une pente moyenne entre deux points, tandis que le nombre dérivé donne la pente instantanée (pente de la tangente) en un seul point.
Note : cette version mobilise des polynômes de degré 3, la fonction racine carrée et leurs dérivées, en anticipation de la Terminale et de la poursuite d'études (hors programme de Première).
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction et préciser son ensemble de dérivabilité :
a) \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7\)
b) \(g(x) = \dfrac{1}{x} + 4x^2\) pour \(x \neq 0\)
a) \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 3\), dérivable sur \(\mathbb{R}\).
b) \(g'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + 8x\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\).
Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) (indication : mettre en facteur).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\), dresser le tableau de variations et déterminer les extremums.
a) \(f'(x) = 3x^2 - 3\)
b) \(3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = -1\) ou \(x = 1\).
c) Signe de \(f'(x) = 3(x-1)(x+1)\) :
\(f(-1) = -1 + 3 + 1 = \mathbf{3}\) → maximum local.
\(f(1) = 1 - 3 + 1 = \mathbf{-1}\) → minimum local.
Un charpentier doit fabriquer une gouttière à section rectangulaire à partir d'une tôle de 30 cm de largeur. Il plie les deux bords verticalement sur une hauteur \(x\) (en cm). La section de la gouttière est un rectangle de largeur \(30 - 2x\) et de hauteur \(x\).
a) Exprimer l'aire \(A(x)\) de la section en fonction de \(x\).
b) Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise l'aire de la section.
c) Calculer l'aire maximale.
a) \(A(x) = x(30 - 2x) = 30x - 2x^2\) pour \(x \in \,]0\,;\,15[\).
b) \(A'(x) = 30 - 4x\). On résout \(A'(x) = 0\) : \(30 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{7{,}5}\) cm.
Pour \(x < 7{,}5\) : \(A'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 7{,}5\) : \(A'(x) < 0\) (décroissant). Donc maximum en \(x = 7{,}5\).
c) \(A(7{,}5) = 7{,}5 \times (30 - 15) = 7{,}5 \times 15 = \mathbf{112{,}5}\) cm².
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a = 1\). Puis déterminer en quel autre point cette tangente recoupe la courbe.
\(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) et \(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(1) = -2\).
Tangente : \(y = -2(x - 1) + 0 = -2x + 2\).
Intersection tangente/courbe : \(x^2 - 4x + 3 = -2x + 2\)
\(x^2 - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
La tangente ne recoupe pas la courbe en un autre point (tangence double en \(x = 1\)).
Un technicien chauffagiste modélise le rendement \(R(t)\) (en %) d'une chaudière en fonction de la température de l'eau \(t\) (en °C) par :
\[R(t) = -0{,}02t^2 + 2{,}4t + 10 \quad \text{pour } t \in [20\,;\,80]\]
Déterminer la température qui maximise le rendement et la valeur de ce rendement maximal.
\(R'(t) = -0{,}04t + 2{,}4\)
\(R'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2{,}4}{0{,}04} = \mathbf{60}\) °C.
Pour \(t < 60\) : \(R'(t) > 0\) ; pour \(t > 60\) : \(R'(t) < 0\). Maximum en \(t = 60\).
\(R(60) = -0{,}02 \times 3600 + 144 + 10 = -72 + 144 + 10 = \mathbf{82}\) %.
Le rendement maximal est de 82 % pour une température de 60 °C.
Barème : 20 points
Calculer la dérivée de chaque fonction et préciser son ensemble de dérivabilité :
a) \(f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 5x - 2\)
b) \(g(x) = \dfrac{1}{x} + 3x^2\) pour \(x \neq 0\)
a) \(f'(x) = 9x^2 - 8x + 5\), dérivable sur \(\mathbb{R}\).
b) \(g'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + 6x\), dérivable sur \(\mathbb{R}^*\).
Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 12x + 5\) sur \(\mathbb{R}\).
a) Calculer \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\) (indication : mettre en facteur).
c) Étudier le signe de \(f'(x)\), dresser le tableau de variations et déterminer les extremums.
a) \(f'(x) = 3x^2 - 12\)
b) \(3x^2 - 12 = 0 \Leftrightarrow 3(x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = -2\) ou \(x = 2\).
c) Signe de \(f'(x) = 3(x-2)(x+2)\) :
\(f(-2) = -8 + 24 + 5 = \mathbf{21}\) → maximum local.
\(f(2) = 8 - 24 + 5 = \mathbf{-11}\) → minimum local.
Un menuisier agenceur doit fabriquer un bac rectangulaire ouvert à partir d'une tôle de 40 cm de largeur. Il plie les deux bords verticalement sur une hauteur \(x\) (en cm). La section du bac est un rectangle de largeur \(40 - 2x\) et de hauteur \(x\).
a) Exprimer l'aire \(A(x)\) de la section en fonction de \(x\).
b) Déterminer la valeur de \(x\) qui maximise l'aire de la section.
c) Calculer l'aire maximale.
a) \(A(x) = x(40 - 2x) = 40x - 2x^2\) pour \(x \in \,]0\,;\,20[\).
b) \(A'(x) = 40 - 4x\). On résout \(A'(x) = 0\) : \(40 - 4x = 0 \Leftrightarrow x = \mathbf{10}\) cm.
Pour \(x < 10\) : \(A'(x) > 0\) (croissant). Pour \(x > 10\) : \(A'(x) < 0\) (décroissant). Donc maximum en \(x = 10\).
c) \(A(10) = 10 \times (40 - 20) = 10 \times 20 = \mathbf{200}\) cm².
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 8\). Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a = 2\). Puis déterminer en quel autre point cette tangente recoupe la courbe.
\(f(2) = 4 - 12 + 8 = 0\) et \(f'(x) = 2x - 6\), donc \(f'(2) = -2\).
Tangente : \(y = -2(x - 2) + 0 = -2x + 4\).
Intersection tangente/courbe : \(x^2 - 6x + 8 = -2x + 4\)
\(x^2 - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
La tangente ne recoupe pas la courbe en un autre point (tangence double en \(x = 2\)).
Un installateur thermique modélise le rendement \(R(t)\) (en %) d'une pompe à chaleur en fonction de la température extérieure \(t\) (en °C) par :
\[R(t) = -0{,}05t^2 + 4t + 20 \quad \text{pour } t \in [0\,;\,50]\]
Déterminer la température qui maximise le rendement et la valeur de ce rendement maximal.
\(R'(t) = -0{,}10t + 4\)
\(R'(t) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{0{,}10} = \mathbf{40}\) °C.
Pour \(t < 40\) : \(R'(t) > 0\) ; pour \(t > 40\) : \(R'(t) < 0\). Maximum en \(t = 40\).
\(R(40) = -0{,}05 \times 1600 + 160 + 20 = -80 + 160 + 20 = \mathbf{100}\) %.
Le rendement maximal est de 100 % pour une température extérieure de 40 °C.