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Chapitre 6 – Exercices par capacités

Fonction dérivée et étude des variations  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités et connaissances du programme :

Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre ; ce ne sont pas des codes officiels. Comme dans le cours, le tableau de variations (C8) vient avant la recherche d'un extremum (C7). Pour aller plus loin (hors programme) : l'exercice 31, sur ce qui se passe près de 0 pour la fonction inverse.

C1 — Construire la tangente à une courbe en un point à l'aide d'un outil numérique

Rappel de cours

La droite qui passe par deux points \(A\) et \(M\) d'une courbe est une sécante. Son coefficient directeur est le taux de variation \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).

Au logiciel de géométrie dynamique, on rapproche \(M\) de \(A\) en diminuant \(h\) : la sécante pivote et se rapproche d'une position limite, la tangente en \(A\). Les pentes des sécantes se dirigent vers la pente de la tangente.

Une tangente n'est pas « la droite qui touche la courbe en un seul point » : elle colle à la courbe au voisinage du point.

Exercice 1 — Des sécantes vers la tangente

On donne \(f(x) = x^2\) et le point \(A\) de la courbe d'abscisse 4.

  1. Calculer \(f(4)\) et \(f(5)\), puis le taux de variation de \(f\) entre 4 et 5.
  2. Calculer le taux de variation de \(f\) entre 4 et 4,5.
  3. Au logiciel, on obtient encore les pentes suivantes. Vers quelle valeur les pentes se dirigent-elles ? Que représente ce nombre pour la courbe ?
\(h\)10,50,10,01
Pente de la sécante \((AM)\)……8,18,01
  1. \(f(4) = 16\) et \(f(5) = 25\), donc \(\dfrac{25 - 16}{5 - 4} = 9\).
  2. \(f(4{,}5) = 20{,}25\), donc \(\dfrac{20{,}25 - 16}{4{,}5 - 4} = \dfrac{4{,}25}{0{,}5} = 8{,}5\).
  3. Les pentes 9 ; 8,5 ; 8,1 ; 8,01 se dirigent vers 8. C'est la pente de la tangente à la courbe en \(A\), position limite des sécantes : c'est le nombre dérivé \(f'(4)\).

Exercice 2 — Sécante ou tangente ?

Un logiciel affiche la courbe de \(f(x) = 0{,}5x^2\) et trois droites qui passent par le point \(A(2\,;\,2)\).

  1. Laquelle des trois droites est la tangente à la courbe en \(A\) ?
  2. Les deux autres droites sont des sécantes. Pour chacune, donner le second point commun avec la courbe.
  1. La tangente est \((d_2)\) : elle colle à la courbe au voisinage de \(A\) sans la traverser.
  2. \((d_1)\) recoupe la courbe en \((0\,;\,0)\) et \((d_3)\) en \((4\,;\,8)\) : chacune passe par deux points de la courbe. On vérifie : \(f(0) = 0\) et \(f(4) = 0{,}5 \times 16 = 8\).

C2 — Déterminer par lecture graphique le nombre dérivé d'une fonction en un point

Rappel de cours

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).

  1. Repérer le point d'abscisse \(a\) et la tangente qui y est tracée.
  2. Choisir sur cette tangente deux points à coordonnées entières.
  3. Calculer \(f'(a) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) : on avance de \(\Delta x\), on monte (ou on descend) de \(\Delta y\).

Ne pas confondre \(f(a)\), la hauteur du point, et \(f'(a)\), la pente de la tangente. Une tangente horizontale a une pente nulle.

Exercice 3 — Deux points de la tangente

Sur le graphique d'une fonction \(f\), la tangente au point \(A(2\,;\,3)\) passe aussi par le point \(B(4\,;\,7)\).

  1. Calculer le coefficient directeur de la tangente.
  2. En déduire \(f'(2)\). Que vaut \(f(2)\) ?
  1. \(\dfrac{7-3}{4-2} = \dfrac{4}{2} = 2\).
  2. \(f'(2) = 2\) : le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente. \(f(2) = 3\) est l'ordonnée du point \(A\) : c'est un autre nombre.

Exercice 4 — Lire trois nombres dérivés

La courbe d'une fonction \(f\) est tracée ci-dessous sur \([0\,;\,6]\), avec ses tangentes aux points \(A\) d'abscisse 2, \(B\) d'abscisse 4 et \(S\) d'abscisse 3.

  1. Lire \(f(2)\).
  2. Choisir deux points à coordonnées entières sur la tangente en \(A\), puis calculer \(f'(2)\).
  3. De même, calculer \(f'(4)\).
  4. Que vaut \(f'(3)\) ?
  5. Sans calcul, dire si \(f'(1)\) est positif ou négatif.
  1. \(f(2) = 3\), l'ordonnée du point \(A\).
  2. La tangente en \(A\) passe par \((2\,;\,3)\) et \((3\,;\,5)\) : on avance de 1, on monte de 2. \(f'(2) = \dfrac{5-3}{3-2} = 2\).
  3. La tangente en \(B\) passe par \((4\,;\,3)\) et \((5\,;\,1)\) : on avance de 1, on descend de 2. \(f'(4) = \dfrac{1-3}{5-4} = -2\).
  4. En \(S\), la tangente est horizontale : \(f'(3) = 0\).
  5. En \(x = 1\), la courbe monte : la tangente monte aussi, donc \(f'(1)\) est positif.

Exercice 5 — Monter, descendre, rester à plat

Sur la courbe d'une fonction \(g\), la tangente au point d'abscisse 1 est horizontale, et la tangente au point d'abscisse 3 descend.

  1. Que vaut \(g'(1)\) ?
  2. Quel est le signe de \(g'(3)\) ?
  1. Tangente horizontale : sa pente est nulle, donc \(g'(1) = 0\).
  2. Une tangente qui descend a une pente négative : \(g'(3) < 0\).

C3 — Construire la tangente en un point connaissant le nombre dérivé

Rappel de cours

Connaissant \(a\), \(f(a)\) et \(f'(a)\) :

  1. placer le point \(A(a\,;\,f(a))\) ;
  2. à partir de \(A\), avancer de 1 vers la droite et monter de \(f'(a)\) — ou descendre si \(f'(a)\) est négatif — pour obtenir un second point ;
  3. tracer la droite à la règle en la prolongeant des deux côtés.

Un nombre dérivé négatif fait descendre.

Exercice 6 — Le second point

Pour chaque ligne, donner le second point de la tangente obtenu en avançant de 1 à partir du point de contact.

Point de contactNombre dérivéSecond point
\((1\,;\,4)\)\(2\)…
\((3\,;\,1)\)\(-3\)…
\((-2\,;\,5)\)\(0\)…
\((0\,;\,2)\)\(0{,}5\)…
  • \((1+1\,;\,4+2) = (2\,;\,6)\).
  • \((3+1\,;\,1-3) = (4\,;\,-2)\) : on descend, car le nombre dérivé est négatif.
  • \((-2+1\,;\,5+0) = (-1\,;\,5)\) : la tangente est horizontale.
  • \((0+1\,;\,2+0{,}5) = (1\,;\,2{,}5)\). On peut aussi avancer de 2 et monter de 1 : \((2\,;\,3)\), plus facile à placer.

Exercice 7 — Tracer deux tangentes

La courbe d'une fonction \(f\) est donnée ci-dessous. On sait que \(f(0) = 3\) et \(f'(0) = -2\), puis que \(f(4) = 3\) et \(f'(4) = 2\). Reproduire la figure, placer les deux points de contact et tracer les deux tangentes à la règle.

En \((0\,;\,3)\) : on avance de 1 et on descend de 2, on obtient \((1\,;\,1)\). En \((4\,;\,3)\) : on avance de 1 et on monte de 2, on obtient \((5\,;\,5)\).

Exercice 8 — Trouver l'erreur

Inès sait que \(h(3) = 2\) et \(h'(3) = -1\). Elle place \((3\,;\,2)\), avance de 1 et monte de 1 : elle trace la droite passant par \((4\,;\,3)\).

  1. Quelle est son erreur ?
  2. Par quel second point passe la bonne tangente ?
  1. \(h'(3) = -1\) est négatif : il faut descendre de 1, pas monter. Sa droite est symétrique de la bonne tangente.
  2. \((3+1\,;\,2-1) = (4\,;\,1)\).

C4 — Écrire l'équation réduite de la tangente en un point

Rappel de cours

La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation réduite \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Son coefficient directeur est \(f'(a)\) ; elle passe par le point \((a\,;\,f(a))\).

Tout près de \(a\), la tangente remplace bien la courbe : c'est une bonne approximation. Loin de \(a\), elle ne l'est plus.

Exercice 9

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 5\), dont la dérivée est \(f'(x) = 2x - 4\). Écrire l'équation réduite de la tangente en \(a = 3\).

\(f(3) = 9 - 12 + 5 = 2\) et \(f'(3) = 6 - 4 = 2\).
Tangente : \(y = 2(x - 3) + 2 = 2x - 6 + 2\), soit \(\mathbf{y = 2x - 4}\).
Contrôle : pour \(x = 3\), \(y = 2 = f(3)\).

Exercice 10

Soit \(g(x) = -x^2 + 2x + 3\), dont la dérivée est \(g'(x) = -2x + 2\). Écrire l'équation de la tangente en \(a = 0\) et en \(a = 1\).

En \(a = 0\) : \(g(0) = 3\), \(g'(0) = 2\). Tangente : \(y = 2(x - 0) + 3\), soit \(y = 2x + 3\).
En \(a = 1\) : \(g(1) = 4\), \(g'(1) = 0\). Tangente : \(y = 0(x - 1) + 4\), soit \(y = 4\) : elle est horizontale. Une tangente horizontale seule ne permet pas de conclure à un extremum ; il faut étudier le signe de \(g'\) (capacité C7).

Exercice 11 — Lire une équation de tangente

La tangente à la courbe de \(h\) en \(a = 2\) a pour équation \(y = -3x + 10\).

  1. Déterminer \(h'(2)\) et \(h(2)\).
  2. Donner une valeur approchée de \(h(2{,}1)\). Peut-on faire de même pour \(h(8)\) ?
  1. \(h'(2) = -3\), le coefficient directeur de la tangente. Le point de contact est sur la tangente : \(h(2) = -3 \times 2 + 10 = 4\).
  2. \(h(2{,}1) \approx -3 \times 2{,}1 + 10 = 3{,}7\). Pour \(h(8)\), non : 8 est loin de 2, et la tangente ne colle à la courbe que tout près du point de contact.

C5 — Utiliser les formules et règles de dérivation pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 2

Formules à connaître

\((k)' = 0\)  |  \((ax + b)' = a\)  |  \((x^2)' = 2x\)
\((k f)' = k f'\)  |  \((f + g)' = f' + g'\)

On dérive chaque terme ; le terme constant disparaît.

Exercice 12

Calculer la dérivée de chaque fonction :

  1. \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 4x\)
  3. \(h(x) = 7x - 1\)
  4. \(k(x) = -2x^2 + 3\)
  1. \(f'(x) = 3 \times 2x - 5 + 0 = 6x - 5\)
  2. \(g'(x) = -2x + 4\)
  3. \(h'(x) = 7\) : fonction affine, sa dérivée est son coefficient directeur.
  4. \(k'(x) = -2 \times 2x = -4x\)

Exercice 13 — De la distance à la vitesse

Un véhicule freine. La distance parcourue depuis le début du freinage, en mètres, est modélisée par \(d(t) = 18t - 0{,}5t^2\), avec \(t\) en secondes. Sa vitesse est la dérivée de la distance : \(v(t) = d'(t)\).

  1. Calculer \(v(t)\).
  2. Calculer la vitesse au début du freinage, puis à \(t = 5\) s. Donner l'unité.
  1. \(v(t) = 18 - 0{,}5 \times 2t = 18 - t\).
  2. \(v(0) = 18\) m/s au début du freinage, et \(v(5) = 18 - 5 = 13\) m/s.

Exercice 14 — Qui a raison ?

Pour \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\), Tom écrit \(f'(x) = 6x + 2 - 5\) et Sam écrit \(f'(x) = 6x\).

  1. Expliquer l'erreur de chacun.
  2. Donner la bonne dérivée, puis calculer \(f'(1)\).
  1. Tom a gardé la constante \(-5\), dont la dérivée est nulle. Sam a oublié la dérivée de \(2x\), qui vaut 2.
  2. \(f'(x) = 6x + 2\) et \(f'(1) = 6 + 2 = 8\).

Exercice 15

Trouver la valeur de \(a\) telle que \(f(x) = ax^2 + 3x - 1\) vérifie \(f'(2) = 7\).

\(f'(x) = 2ax + 3\). \(f'(2) = 4a + 3 = 7\), donc \(4a = 4\) et \(a = 1\).

C6 — Étudier les variations d'une fonction à partir du signe de sa dérivée

Rappel de cours

Sur un intervalle : si \(f'(x) > 0\), \(f\) est croissante ; si \(f'(x) < 0\), \(f\) est décroissante ; si \(f'(x) = 0\) sur tout l'intervalle, \(f\) est constante.

Marche à suivre : dériver, résoudre \(f'(x) = 0\), puis donner le signe de \(f'\) avant et après cette valeur. Ici \(f'\) est affine : son signe se lit sur son coefficient directeur.

C'est le signe de \(f'\) qui décide, jamais celui de \(f\).

Exercice 16

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 8\) sur l'intervalle \([0\,;\,6]\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et résoudre \(f'(x) = 0\).
  2. Donner le signe de \(f'(x)\) avant et après cette valeur. Justifier.
  3. En déduire le sens de variation de \(f\) sur \([0\,;\,6]\).
  1. \(f'(x) = 2x - 6\). \(2x - 6 = 0\) donne \(x = 3\).
  2. \(f'\) est affine de coefficient directeur \(2 > 0\) : \(f'(x) < 0\) sur \([0\,;\,3[\) et \(f'(x) > 0\) sur \(]3\,;\,6]\).
  3. \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,3]\), puis croissante sur \([3\,;\,6]\).

Exercice 17 — Quand la dérivée ne s'annule pas

Soit \(g(x) = x^2 - 2x + 3\) sur l'intervalle \([2\,;\,5]\).

  1. Calculer \(g'(x)\) et résoudre \(g'(x) = 0\). La solution appartient-elle à \([2\,;\,5]\) ?
  2. Calculer \(g'(2)\) et \(g'(5)\). En déduire le sens de variation de \(g\) sur \([2\,;\,5]\).
  1. \(g'(x) = 2x - 2\), qui s'annule en \(x = 1\). Or 1 n'appartient pas à \([2\,;\,5]\).
  2. \(g'(2) = 2\) et \(g'(5) = 8\). La dérivée ne s'annule pas sur l'intervalle et elle y est positive : \(g\) est croissante sur \([2\,;\,5]\).

Exercice 18 — Négative et croissante

Un élève écrit : « \(h(x) = 3x - 12\) est négative sur \([0\,;\,3]\), donc \(h\) est décroissante sur cet intervalle. » A-t-il raison ? Justifier avec \(h'(x)\).

Non. \(h'(x) = 3 > 0\) : \(h\) est croissante sur \([0\,;\,3]\). Elle est bien négative, puisque \(h(0) = -12\) et \(h(3) = -3\), mais elle monte de \(-12\) à \(-3\). Le signe de \(h\) ne dit rien de son sens de variation.

C8 — Dresser le tableau de variations

Rappel de cours
  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Résoudre \(f'(x) = 0\) et étudier son signe.
  3. Reporter ce signe dans la ligne \(f'(x)\) du tableau.
  4. Traduire par des flèches dans la ligne \(f(x)\), et calculer les valeurs aux bornes et à l'extremum.

La ligne du haut porte l'intervalle d'étude. Un tableau porte des nombres, pas seulement des flèches.

Exercice 19

Soit \(g(x) = -x^2 + 4x + 1\) sur l'intervalle \([0\,;\,5]\). Dresser le tableau de variations complet de \(g\).

\(g'(x) = -2x + 4\), qui s'annule en \(x = 2\). \(g'\) est affine de coefficient directeur \(-2 < 0\) : positive avant 2, négative après.

Valeurs : \(g(0) = 1\), \(g(2) = -4 + 8 + 1 = 5\), \(g(5) = -25 + 20 + 1 = -4\).

Exercice 20 — Du signe au tableau

Une fonction \(f\) est définie sur \([-3\,;\,4]\). Sa dérivée est négative sur \([-3\,;\,1]\), s'annule en 1, puis est positive sur \([1\,;\,4]\). On sait que \(f(-3) = 6\), \(f(1) = -2\) et \(f(4) = 7\). Dresser le tableau de variations de \(f\).

Le minimum \(-2\) s'écrit en bas, les valeurs aux bornes en haut.

Exercice 21 — Un tableau à corriger

Pour une fonction \(k\) sur \([0\,;\,8]\), Nadia écrit : « \(k'(x)\) est négative sur \([0\,;\,4]\), nulle en 4 et positive sur \([4\,;\,8]\) ; \(k(0) = 5\), \(k(4) = -3\), \(k(8) = 5\). Dans la ligne \(k(x)\), je mets une flèche qui monte de 5 à −3, puis une flèche qui descend jusqu'à 5. » Trouver l'erreur et dresser le bon tableau.

\(k'\) est négative puis positive : \(k\) décroît puis croît. Les flèches de Nadia vont dans le mauvais sens ; d'ailleurs, une flèche qui « monte » de 5 à −3 est impossible.

C7 — Déterminer un extremum à partir du sens de variation

Rappel de cours

Un extremum local est une valeur plus grande (ou plus petite) que toutes celles prises juste autour. Un extremum global est la plus grande (ou la plus petite) valeur prise sur tout l'intervalle d'étude.

Un extremum peut se trouver à une borne, là où \(f'\) ne s'annule pas : il faut toujours calculer les valeurs aux bornes. Et une dérivée qui s'annule ne donne pas toujours un extremum : il faut que son signe change.

Exercice 22 — Minimum local, extremums aux bornes

Soit \(f(x) = x^2 - 8x + 20\) sur \([0\,;\,10]\). Déterminer le minimum de \(f\), les valeurs aux bornes, puis le maximum de \(f\) sur \([0\,;\,10]\).

\(f'(x) = 2x - 8\), qui s'annule en 4 : négative avant, positive après. \(f\) décroît sur \([0\,;\,4]\) puis croît sur \([4\,;\,10]\).
Minimum : \(f(4) = 16 - 32 + 20 = 4\). Bornes : \(f(0) = 20\) et \(f(10) = 100 - 80 + 20 = 40\).
Minimum : 4, en \(x = 4\). Maximum : 40, en \(x = 10\), à une borne.

Exercice 23

Le coût de préparation d'un laboratoire est modélisé par \(C(x) = 2x^2 - 16x + 50\), en centaines d'euros, pour \(x\) lots d'échantillons, avec \(x\) dans \([0\,;\,8]\). Pour combien de lots ce coût est-il minimal ?

\(C'(x) = 4x - 16\), qui s'annule en \(x = 4\). \(C'(x) < 0\) pour \(x < 4\) et \(C'(x) > 0\) pour \(x > 4\) : \(C\) décroît puis croît.
Minimum en \(x = 4\) : \(C(4) = 32 - 64 + 50 = 18\), soit 1 800 €. Aux bornes, \(C(0) = 50\) et \(C(8) = 50\) : le coût est minimal pour 4 lots.

Exercice 24

Une association modélise le bénéfice d'un festival par \(B(x) = -3x^2 + 24x - 12\), en centaines d'euros, pour \(x\) centaines de billets vendus, avec \(x\) dans \([0\,;\,8]\). Déterminer le nombre de billets qui maximise le bénéfice et calculer ce bénéfice maximal.

\(B'(x) = -6x + 24\), qui s'annule en \(x = 4\). \(B'\) est affine de coefficient directeur \(-6 < 0\) : positive avant 4, négative après. \(B\) croît puis décroît : c'est un maximum.
\(B(4) = -48 + 96 - 12 = 36\), soit 3 600 €. Aux bornes, \(B(0) = -12\) et \(B(8) = -12\). Le bénéfice est maximal pour 400 billets vendus.

Exercice 25 — Une valeur hors de l'intervalle

Soit \(g(x) = x^2 - 12x + 40\) sur l'intervalle \([0\,;\,5]\).

  1. Calculer \(g'(x)\) et résoudre \(g'(x) = 0\). La solution est-elle dans l'intervalle ?
  2. En déduire le sens de variation de \(g\) sur \([0\,;\,5]\), puis son maximum et son minimum.
  1. \(g'(x) = 2x - 12\), qui s'annule en \(x = 6\). Or 6 n'appartient pas à \([0\,;\,5]\).
  2. \(g'(5) = -2 < 0\) et \(g'\) croît : \(g'(x) < 0\) sur tout \([0\,;\,5]\), donc \(g\) est décroissante. Maximum : \(g(0) = 40\), en \(x = 0\). Minimum : \(g(5) = 25 - 60 + 40 = 5\), en \(x = 5\). Répondre « minimum en \(x = 6\) » serait faux : 6 est hors de l'intervalle d'étude.

Exercice 26 — Local ou global ?

La courbe d'une fonction \(h\) est fournie ci-dessous sur \([0\,;\,8]\). On la lit, on ne la calcule pas.

  1. Lire l'abscisse et la valeur du maximum local.
  2. Lire le maximum de \(h\) sur \([0\,;\,8]\) et dire où il est atteint.
  3. Lire le minimum de \(h\) sur \([0\,;\,8]\).
  1. Maximum local en \(x = 2\) : il vaut 10.
  2. La plus grande valeur est 19, atteinte en \(x = 8\), à la borne droite. C'est le maximum global ; le maximum local du a. ne l'est pas.
  3. Le creux vers \(x \approx 5{,}3\) vaut environ 5,4 ; mais au bord gauche, \(h(0) = 3\) est plus petit. Le minimum global est 3, en \(x = 0\).

Exercice 27 — Une dérivée nulle sans extremum

On donne \(f(x) = x^3\) et l'information suivante : la tangente en 0 est horizontale, donc \(f'(0) = 0\). Tracer sa courbe sur \([-1\,;\,1]\) avec un outil numérique, sans calculer sa dérivée. 0 correspond-il à un extremum ? Justifier avec les valeurs de part et d'autre de 0.

La courbe traverse l'origine en restant croissante. Par exemple \(f(-0{,}1) = -0{,}001 < f(0) = 0 < f(0{,}1) = 0{,}001\). Il n'y a ni maximum ni minimum en 0, malgré la tangente horizontale : un nombre dérivé nul ne suffit pas à conclure à un extremum.

C9 — Étudier la fonction inverse : dérivée, variations, représentation graphique

Rappel de cours

La fonction inverse est \(f(x) = \dfrac{1}{x}\), définie pour \(x \neq 0\). Sa courbe est une hyperbole à deux branches.
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0\) pour tout \(x \neq 0\) : la fonction est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\), mais pas sur \(\mathbb{R}\) tout entier.

Exercice 28

Calculer \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(4)\), \(f(0{,}5)\) et \(f(-1)\) pour \(f(x) = \dfrac{1}{x}\). Vérifier que \(f\) est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

\(f(1) = 1\), \(f(2) = 0{,}5\), \(f(4) = 0{,}25\), \(f(0{,}5) = 2\), \(f(-1) = -1\).
Sur \(]0\,;\,+\infty[\) : quand \(x\) augmente (0,5 ; 1 ; 2 ; 4), \(f(x)\) diminue (2 ; 1 ; 0,5 ; 0,25). C'est bien une fonction décroissante sur cet intervalle.

Exercice 29

Un centre logistique doit traiter 6 lots. Dans un modèle simplifié, le temps de traitement est \(T(p) = \dfrac{6}{p}\) heures, où \(p > 0\) désigne le nombre de postes identiques fonctionnant en parallèle.

  1. Calculer \(T(1)\), \(T(2)\) et \(T(3)\). Interpréter.
  2. Calculer \(T'(p)\). Quel est son signe ? Que signifie-t-il ?
  1. \(T(1) = 6\) h, \(T(2) = 3\) h, \(T(3) = 2\) h. Dans ce modèle, davantage de postes réduit le temps de traitement.
  2. \(T(p) = 6 \times \dfrac{1}{p}\), donc \(T'(p) = 6 \times \left(-\dfrac{1}{p^2}\right) = -\dfrac{6}{p^2} < 0\) pour \(p > 0\). La fonction est décroissante : le temps diminue quand le nombre de postes augmente.

Exercice 30 — Décroissante, mais pas partout

Un élève écrit : « la fonction inverse est décroissante, donc \(f(-2) > f(2)\). »

  1. Calculer \(f(-2)\) et \(f(2)\). L'élève a-t-il raison ?
  2. Calculer \(f'(-2)\) et \(f'(2)\). Que remarque-t-on sur leur signe ?
  1. \(f(-2) = -0{,}5\) et \(f(2) = 0{,}5\) : \(f(-2) < f(2)\), l'élève a tort. La fonction est décroissante sur chacune des deux branches ; \(-2\) et 2 ne sont pas du même côté de 0.
  2. \(f'(-2) = -\dfrac{1}{4} = -0{,}25\) et \(f'(2) = -0{,}25\) : les deux sont négatifs, comme \(f'(x)\) pour tout \(x \neq 0\).

Exercice 31 — Pour aller plus loin

Pour aller plus loin (hors programme) : ce qui se passe près de 0 n'est pas au programme de ce module.

Pourquoi la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) n'est-elle pas définie en \(x = 0\) ? Que se passe-t-il quand \(x\) se rapproche de 0 ?

On ne peut pas diviser par zéro. Quand \(x\) se rapproche de 0 par valeurs positives, \(\dfrac{1}{x}\) devient très grand : \(f(0{,}01) = 100\), \(f(0{,}001) = 1\,000\). Par valeurs négatives, il devient très grand en valeur négative : \(f(-0{,}01) = -100\). Pour aller plus loin : on dit que la courbe a une asymptote verticale, l'axe des ordonnées.