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Chapitre 6 – Exercices par capacités

Fonction dérivée et étude des variations  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Nombre dérivé et tangente

Rappel de cours

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\). La tangente est la droite qui « touche » la courbe en ce point.

A tangente courbe
La tangente en A a pour pente \(f'(a)\)
Atangente
Tangente en A

Exercice 1

Sur le graphique d'une fonction \(f\), la tangente au point \(A(2\,;\,3)\) passe aussi par le point \(B(4\,;\,7)\).

  1. Calculer le coefficient directeur de la tangente.
  2. En déduire \(f'(2)\).
  1. \(a = \frac{7-3}{4-2} = \frac{4}{2} = 2\)
  2. \(f'(2) = 2\) (le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente).

Exercice 2

La tangente à la courbe de \(g\) au point d'abscisse 1 est horizontale.

  1. Que vaut \(g'(1)\) ?
  2. Que peut-on dire du point d'abscisse 1 pour la fonction \(g\) ?
  1. Tangente horizontale → pente = 0 → \(g'(1) = 0\).
  2. C'est probablement un extremum (maximum ou minimum local).

Exercice 3

Un menuisier modélise le coût de production par \(C(x) = x^2 - 6x + 15\). La tangente au point d'abscisse 5 a-t-elle une pente positive ou négative ? Interpréter.

\(C'(x) = 2x - 6\). \(C'(5) = 10 - 6 = 4 > 0\) → pente positive.
Le coût est croissant pour 5 pièces : chaque pièce supplémentaire coûte plus cher.

C2 — Équation réduite de la tangente

Rappel

L'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est :
\(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)

Atangente
Tangente en A

Exercice 4

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 5\). Écrire l'équation de la tangente en \(a = 3\).

\(f(3) = 9 - 12 + 5 = 2\). \(f'(x) = 2x - 4\), donc \(f'(3) = 2\).
Tangente : \(y = 2(x - 3) + 2 = 2x - 6 + 2 = \mathbf{2x - 4}\).

Exercice 5

Soit \(g(x) = -x^2 + 2x + 3\). Écrire l'équation de la tangente en \(a = 0\) et en \(a = 1\).

\(g'(x) = -2x + 2\).
En \(a = 0\) : \(g(0) = 3\), \(g'(0) = 2\). Tangente : \(y = 2x + 3\).
En \(a = 1\) : \(g(1) = 4\), \(g'(1) = 0\). Tangente : \(y = 4\) (horizontale → extremum).

Exercice 6

La tangente à la courbe de \(h\) en \(a = 2\) a pour équation \(y = -3x + 10\). Déterminer \(h(2)\) et \(h'(2)\).

\(h(2)\) est l'ordonnée du point de tangence : \(h(2) = -3 \times 2 + 10 = 4\).
\(h'(2)\) est la pente de la tangente : \(h'(2) = -3\).

C3 — Dérivée d'un polynôme de degré ≤ 2

Formules à connaître

\((k)' = 0\)  |  \((x)' = 1\)  |  \((x^2)' = 2x\)
\((kf)' = kf'\)  |  \((f + g)' = f' + g'\)

Exercice 7

Calculer la dérivée de chaque fonction :

  1. \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\)
  2. \(g(x) = -x^2 + 4x\)
  3. \(h(x) = 7x - 1\)
  4. \(k(x) = -2x^2 + 3\)
  1. \(f'(x) = 6x - 5\)
  2. \(g'(x) = -2x + 4\)
  3. \(h'(x) = 7\) (fonction affine → dérivée constante)
  4. \(k'(x) = -4x\)

Exercice 8

Le profit d'un artisan est \(P(x) = -2x^2 + 20x - 30\) (en €) pour \(x\) pièces. Calculer \(P'(x)\), puis \(P'(3)\) et \(P'(7)\). Interpréter les signes.

\(P'(x) = -4x + 20\).
\(P'(3) = -12 + 20 = 8 > 0\) → profit croissant (encore rentable de produire plus).
\(P'(7) = -28 + 20 = -8 < 0\) → profit décroissant (on produit trop).

Exercice 9

Trouver la valeur de \(a\) telle que \(f(x) = ax^2 + 3x - 1\) vérifie \(f'(2) = 7\).

\(f'(x) = 2ax + 3\). \(f'(2) = 4a + 3 = 7\) → \(4a = 4\) → \(a = 1\).

C4 — Tableau de variations à partir du signe de \(f'\)

Rappel

Si \(f'(x) > 0\) sur un intervalle → \(f\) est croissante.
Si \(f'(x) < 0\) → \(f\) est décroissante.
Le changement de signe de \(f'\) indique un extremum.

xf(x)−∞a+∞↗max↘
Tableau de variations

Exercice 10

Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 8\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et résoudre \(f'(x) = 0\).
  2. Dresser le tableau de signe de \(f'(x)\) puis le tableau de variations de \(f\).
  3. Calculer \(f(3)\). Que représente cette valeur ?
  1. \(f'(x) = 2x - 6\). \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3\).
  2. \(f'(x) < 0\) pour \(x < 3\) (décroissante), \(f'(x) > 0\) pour \(x > 3\) (croissante).
  3. \(f(3) = 9 - 18 + 8 = -1\). C'est le minimum de \(f\).

Exercice 11

Soit \(g(x) = -x^2 + 4x + 1\). Dresser le tableau de variations complet.

\(g'(x) = -2x + 4\). \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
\(g'(x) > 0\) pour \(x < 2\), \(g'(x) < 0\) pour \(x > 2\).
\(g(2) = -4 + 8 + 1 = 5\) → maximum en \((2\,;\,5)\).
\(g\) croissante sur \(]-\infty\,;\,2]\), décroissante sur \([2\,;\,+\infty[\).

Exercice 12

Le coût de production d'un atelier est \(C(x) = 2x^2 - 16x + 50\) pour \(x\) meubles. Pour quelle production le coût est-il minimal ?

\(C'(x) = 4x - 16 = 0 \Rightarrow x = 4\). \(C'(x) < 0\) pour \(x < 4\), \(C'(x) > 0\) pour \(x > 4\).
Minimum en \(x = 4\) : \(C(4) = 32 - 64 + 50 = 18\) €. Le coût est minimal pour 4 meubles.

C5 — Extremums

xf(x)−∞a+∞↗max↘
Tableau de variations

Exercice 13

Un agenceur modélise le bénéfice par \(B(x) = -3x^2 + 24x - 12\) pour \(x\) cuisines installées par mois. Déterminer le nombre de cuisines qui maximise le bénéfice et calculer ce bénéfice maximal.

\(B'(x) = -6x + 24 = 0 \Rightarrow x = 4\). Comme \(a = -3 < 0\), c'est un maximum.
\(B(4) = -48 + 96 - 12 = \mathbf{36}\) €. Le bénéfice est maximal pour 4 cuisines.

Exercice 14

Soit \(f(x) = x^2 - 8x + 20\) sur \([0\,;\,10]\). Déterminer le minimum de \(f\) et les valeurs de \(f\) aux bornes.

\(f'(x) = 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4\). Minimum local : \(f(4) = 16 - 32 + 20 = 4\).
Bornes : \(f(0) = 20\), \(f(10) = 100 - 80 + 20 = 40\).
Minimum global = 4 en \(x = 4\). Maximum global = 40 en \(x = 10\).

Exercice 15

\(f'(a) = 0\) suffit-il pour conclure à un extremum ? Donner un contre-exemple avec \(f(x) = x^3\) en \(a = 0\).

\(f(x) = x^3\), \(f'(x) = 3x^2\), \(f'(0) = 0\). Mais \(f'(x) \geq 0\) toujours → \(f\) est croissante.
En \(x = 0\), il n'y a pas d'extremum (c'est un point d'inflexion). \(f'(a) = 0\) est nécessaire mais pas suffisant.

C6 — Fonction inverse

Rappel

La fonction inverse est \(f(x) = \frac{1}{x}\), définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Dérivée : \(f'(x) = -\frac{1}{x^2} < 0\) pour tout \(x \neq 0\) → décroissante sur \(]-\infty\,;\,0[\) et sur \(]0\,;\,+\infty[\).

f(x)=1/x
Fonction inverse

Exercice 16

Calculer \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(4)\), \(f(0{,}5)\) et \(f(-1)\) pour \(f(x) = \frac{1}{x}\). Vérifier que \(f\) est décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

\(f(1) = 1\), \(f(2) = 0{,}5\), \(f(4) = 0{,}25\), \(f(0{,}5) = 2\), \(f(-1) = -1\).
Sur \(]0\,;\,+\infty[\) : quand \(x\) augmente (0,5 → 1 → 2 → 4), \(f(x)\) diminue (2 → 1 → 0,5 → 0,25) → décroissante.

Exercice 17

Le temps de séchage d'un vernis est modélisé par \(T(e) = \frac{6}{e}\) (en heures) où \(e\) est l'épaisseur de la couche (en mm).

  1. Calculer \(T(1)\), \(T(2)\) et \(T(3)\). Interpréter.
  2. Calculer \(T'(e)\). Quel est son signe ? Que signifie-t-il ?
  1. \(T(1) = 6\) h, \(T(2) = 3\) h, \(T(3) = 2\) h. Plus la couche est épaisse, moins elle sèche vite (mais le temps diminue de moins en moins).
  2. \(T(e) = 6 \times \frac{1}{e}\), donc \(T'(e) = -\frac{6}{e^2} < 0\). La fonction est décroissante : augmenter l'épaisseur réduit toujours le temps de séchage par mm.

Exercice 18

Pourquoi la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) n'est-elle pas définie en \(x = 0\) ? Que se passe-t-il quand \(x\) se rapproche de 0 ?

On ne peut pas diviser par zéro. Quand \(x\) se rapproche de 0 par valeurs positives, \(\frac{1}{x}\) devient très grand (tend vers \(+\infty\)). Par valeurs négatives, il tend vers \(-\infty\). La courbe a une asymptote verticale en \(x = 0\).