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Devoir Surveillé – Chapitre 6

Fonction dérivée et étude des variations  |  1ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 14:30

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20
🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer
Socle
Exercice 1 – Dériver et étudier des fonctions de référence 10 points

Rappel : Si \(f(x) = ax^2 + bx + c\), alors \(f'(x) = 2ax + b\).
Si \(f(x) = k\) (constante), alors \(f'(x) = 0\).

Étape 1 : REA Calculer la dérivée de \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\). (2 pts)

Aide : repérer \(a\), \(b\) et \(c\), puis appliquer le rappel ci-dessus.

Étape 2 : ANA Résoudre \(f'(x) = 0\). Cette valeur correspond au sommet de la parabole. (2 pts)

Aide : reprendre l'expression de \(f'(x)\) trouvée à l'étape 1, puis résoudre l'équation.

Étape 3 : ANA Compléter le tableau de signes de \(f'(x)\) et de variations de \(f\) : (2 pts)

\(x\)\(-\infty\)……\(+\infty\)
\(f'(x)\)………………
Variations de \(f\)………………

Étape 4 : VAL Calculer l'image par \(f\) de la valeur trouvée à l'étape 2. (2 pts)

Étape 5 : REA Un technicien chauffagiste remplit une cuve de 120 litres. Le temps de remplissage \(t\) (en minutes) en fonction du débit \(v\) (en L/min) est \(t(v) = \dfrac{120}{v}\), pour \(v > 0\). (2 pts)

a) Calculer \(t(10)\) et \(t(20)\).
b) Le débit passe de 10 L/min à 20 L/min : le temps de remplissage augmente-t-il ou diminue-t-il ? Justifier à l'aide du sens de variation de la fonction inverse.

Exercice 2 – Lecture graphique de la dérivée 10 points

Le graphique ci-dessous représente une fonction \(f\) définie sur \([-1\;;\;5]\). Toutes les valeurs utiles se lisent sur ce graphique.

Courbe de f sur [−1 ; 5] et tangente à la courbe au point A−112345−4−3−2−11234567A
Courbe de f sur [−1 ; 5] et tangente à la courbe au point A

Étape 1 : APP Quel est le signe de \(f'(x)\) sur \([-1\;;\;2]\) ? sur \([2\;;\;5]\) ? (2 pts)

Aide : croissante → \(f' > 0\) ; décroissante → \(f' < 0\).

Étape 2 : ANA Que vaut \(f'(2)\) ? Pourquoi ? (2 pts)

Étape 3 : REA Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-1\;;\;5]\). (3 pts)

Étape 4 : COM Que peut-on dire de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 ? Justifier. (1,5 pt)

Étape 5 : VAL Le nombre dérivé \(f'(0)\) est-il positif, négatif ou nul ? Justifier. (1,5 pt)

Standard
Exercice 1 – Dérivées et équation de tangente 8 points
Rappel L'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).

1. APP Soit \( f(x) = 3x^2 - 6x + 1 \). Calculer \( f'(x) \). (2 pts)

2. REA Soit \( g(x) = -x^2 + 4x \). Calculer \( g'(x) \). (2 pts)

3. REA Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \( g \) au point d'abscisse \( x = 1 \). (2 pts)

4. VAL Pour la fonction \( f(x) = 3x^2 - 6x + 1 \), calculer \( f'(1) \) et interpréter le résultat. Peut-on en conclure que \( f \) admet un extremum en \( x = 1 \) ? Justifier. (2 pts)

Exercice 2 – Étude complète d'une fonction 12 points
Contexte professionnel : Un atelier de menuiserie usine des plans de travail sur une machine à commande numérique. La consommation d'électricité \( C \) (en kWh) nécessaire pour usiner un plan de travail dépend de la vitesse d'avance \( x \) de l'outil (en m/min) : \[ C(x) = x^2 - 6x + 14 \quad \text{pour } x \in [1\,;\,6] \] Une avance trop lente allonge la durée d'usinage ; une avance trop rapide fait forcer la broche. L'objectif est d'étudier l'influence de la vitesse d'avance sur la consommation.

1. REA Calculer \( C'(x) \). (2 pts)

2. ANA Résoudre l'équation \( C'(x) = 0 \). (2 pts)

3. ANA Étudier le signe de \( C'(x) \) sur \( [1\,;\,6] \) et dresser le tableau de variations de \( C \). (3 pts)

4. VAL En déduire les extremums de \( C \) sur \( [1\,;\,6] \). Préciser leur nature (minimum ou maximum) et les valeurs correspondantes. (2 pts)

5. COM L'atelier travaille actuellement à 6 m/min. De combien de kWh la consommation baisserait-elle par plan de travail si l'on réglait l'avance à la valeur trouvée à la question 4 ? Rédiger une conclusion chiffrée à l'attention du chef d'atelier. (3 pts)

Approfondissement

Exercice 1 – Dérivée et tangente (8 points)

Soit f(x) = x² − 6x + 5 sur [0 ; 5].

  1. Calculer f′(x) et résoudre f′(x) = 0 (2 points).
  2. Étudier le signe de f′ et dresser le tableau de variations avec les valeurs utiles (3 points).
  3. Donner le minimum et le maximum sur l’intervalle (1 point).
  4. Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 1. Formule fournie : y = f′(a)(x − a) + f(a) (2 points).
  1. f′(x) = 2x − 6 ; f′(x) = 0 pour x = 3.
  2. f′ est négative sur [0 ; 3[, positive sur ]3 ; 5]. f décroît de f(0) = 5 à f(3) = −4, puis croît jusqu’à f(5) = 0.
  3. Minimum −4 en 3 ; maximum 5 en 0.
  4. f(1) = 0 et f′(1) = −4. Tangente : y = −4(x − 1) = −4x + 4.

Exercice 2 – Optimiser une aire (12 points)

On dispose de 40 m de bordure pour délimiter un rectangle. On note x une largeur et y sa longueur, en mètres. On étudie x dans ]0 ; 20[.

  1. Exprimer y en fonction de x puis l’aire A(x) (2 points).
  2. Calculer A′(x) et étudier son signe (3 points).
  3. Dresser le tableau de variations et donner les dimensions qui maximisent l’aire (3 points).
  4. Vérifier A(x) − 64 = −(x − 4)(x − 16), puis déterminer les largeurs permettant une aire d’au moins 64 m² (3 points).
  5. Une largeur de 5 m convient-elle ? Vérifier directement (1 point).
  1. 2x + 2y = 40, donc y = 20 − x et A(x) = 20x − x².
  2. A′(x) = 20 − 2x, positive pour x < 10, nulle en 10 et négative pour x > 10.
  3. A croît sur ]0 ; 10], puis décroît sur [10 ; 20[. Maximum A(10) = 100 m² ; dimensions 10 m × 10 m.
  4. Le développement donne −x² + 20x − 64 = A(x) − 64. Le produit opposé est positif ou nul entre les racines : x ∈ [4 ; 16].
  5. A(5) = 5 × 15 = 75 m² ≥ 64 m² ; elle convient.