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Devoir Surveillé – Chapitre 6

Fonction dérivée et étude des variations  |  1ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 28 avril 2026

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer
Socle
Exercice 1 – Dériver des fonctions simples 10 points
A
Tangente en A

Rappel : Si \(f(x) = ax^2 + bx + c\), alors \(f'(x) = 2ax + b\).
Si \(f(x) = k\) (constante), alors \(f'(x) = 0\).

Étape 1 : REA Calculer la dérivée de \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\). (2 pts)

Aide : \(f'(x) = 2 \times 3 \times x + (-4) = ...\)

Étape 2 : REA Calculer \(f'(0)\) et \(f'(2)\). (2 pts)

Étape 3 : ANA Résoudre \(f'(x) = 0\). Cette valeur correspond au sommet de la parabole. (2 pts)

Aide : \(6x - 4 = 0 \Rightarrow x = ...\)

Étape 4 : ANA Compléter le tableau de signes de \(f'(x)\) : (2 pts)

\(x\)\(-\infty\)\(\dfrac{2}{3}\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)……0……
Variations de \(f\)…………

Étape 5 : VAL Calculer \(f\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\) pour trouver le minimum. (2 pts)

Exercice 2 – Lecture graphique de la dérivée 10 points
A
Tangente en A

Le graphique ci-dessous représente une fonction \(f\) définie sur \([-1\;;\;5]\). On lit que :

  • \(f\) est croissante sur \([-1\;;\;2]\) et décroissante sur \([2\;;\;5]\)
  • Le maximum est \(f(2) = 6\)
  • \(f(-1) = 1\) et \(f(5) = -3\)

Étape 1 : APP Quel est le signe de \(f'(x)\) sur \([-1\;;\;2]\) ? sur \([2\;;\;5]\) ? (2 pts)

Aide : croissante → \(f' > 0\) ; décroissante → \(f' < 0\).

Étape 2 : ANA Que vaut \(f'(2)\) ? Pourquoi ? (2 pts)

Étape 3 : REA Dresser le tableau de variations de \(f\). (3 pts)

Étape 4 : COM La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 est horizontale. Expliquer pourquoi. (1,5 pt)

Étape 5 : VAL Le nombre dérivé \(f'(0)\) est-il positif, négatif ou nul ? Justifier. (1,5 pt)

Standard
Exercice 1 – Calcul de dérivées 8 points

1. APP Soit \( f(x) = 3x^2 - 6x + 1 \). Calculer \( f'(x) \). (2 pts)

2. REA Soit \( g(x) = -x^2 + 4x \). Calculer \( g'(x) \). (2 pts)

3. REA Soit \( h(x) = 2x^2 + 5 \). Calculer \( h'(x) \). (2 pts)

4. VAL Pour la fonction \( f(x) = 3x^2 - 6x + 1 \), calculer \( f'(1) \) et interpréter le résultat. (2 pts)

Exercice 2 – Étude complète d'une fonction 12 points
A
Tangente en A
Contexte professionnel : Un atelier de menuiserie fabrique des étagères sur mesure. Le coût de production (en euros) pour \( x \) étagères fabriquées par jour est modélisé par : \[ C(x) = x^2 - 6x + 14 \quad \text{pour } x \in [0\,;\,6] \] L'objectif est de déterminer pour quelle quantité le coût est minimal.

1. REA Calculer \( C'(x) \). (2 pts)

2. ANA Résoudre l'équation \( C'(x) = 0 \). (2 pts)

3. ANA Étudier le signe de \( C'(x) \) sur \( [0\,;\,6] \) et dresser le tableau de variations de \( C \). (3 pts)

4. VAL En déduire les extrema locaux de \( C \) sur \( [0\,;\,6] \). Préciser la nature (minimum ou maximum) et les valeurs correspondantes. (2 pts)

5. COM Interpréter les résultats dans le contexte professionnel. Pour quelle production journalière le coût est-il le plus faible ? Quel est ce coût ? Rédiger une phrase de conclusion. (3 pts)

Approfondissement

Note : cette version mobilise des polynômes de degré 3 et leur dérivée, en anticipation du programme de Terminale (hors programme de Première).

Exercice 1 – Étude complète d'une fonction 8 points

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) définie sur \([0\;;\;5]\).

1. REA Calculer \(f'(x)\). (1,5 pt)

2. REA Résoudre \(f'(x) = 0\). (2 pts)

3. ANA Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0\;;\;5]\). (2,5 pts)

4. VAL Déterminer le maximum et le minimum de \(f\) sur \([0\;;\;5]\). (2 pts)

Exercice 2 – Optimisation d'un bénéfice 12 points

Un ébéniste fabrique des coffrets en bois. Pour \(x\) coffrets par jour (\(0 \leq x \leq 20\)) :

  • Coût total : \(C(x) = 0{,}1x^3 - 2x^2 + 15x + 50\) (en €)
  • Recette : \(R(x) = 20x\) (en €)

Le bénéfice est \(B(x) = R(x) - C(x)\).

1. REA Exprimer \(B(x)\) en fonction de \(x\). (1,5 pt)

2. REA Calculer \(B'(x)\). (2 pts)

3. ANA Résoudre \(B'(x) = 0\) et déterminer le signe de \(B'(x)\). (3 pts)

4. ANA En déduire le nombre de coffrets qui maximise le bénéfice et la valeur de ce bénéfice maximal. (2 pts)

5. VAL Déterminer pour quelles valeurs de \(x\) l'ébéniste est rentable (\(B(x) > 0\)). (2 pts)

6. COM Rédiger une recommandation chiffrée pour l'ébéniste. (1,5 pt)