Devoir Surveillé – Chapitre 6

Fonction dérivée et étude des variations | 1^ère Bac Pro

Dernière mise à jour : 20 août 2026, 14:30

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Calculer un taux de variation entre deux points
Déterminer le nombre dérivé d'une fonction en un point et l'interpréter graphiquement
Connaître les dérivées des fonctions usuelles
Utiliser les règles de dérivation (somme, produit par un scalaire)
Étudier le sens de variation d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée
Dresser un tableau de variations
Résoudre des problèmes d'optimisation

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Dériver et étudier des fonctions de référence 10 points

Rappel : Si \(f(x) = ax^2 + bx + c\), alors \(f'(x) = 2ax + b\).
Si \(f(x) = k\) (constante), alors \(f'(x) = 0\).

Étape 1 : REA Calculer la dérivée de \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\). (2 pts)

Aide : repérer \(a\), \(b\) et \(c\), puis appliquer le rappel ci-dessus.

Étape 2 : ANA Résoudre \(f'(x) = 0\). Cette valeur correspond au sommet de la parabole. (2 pts)

Aide : reprendre l'expression de \(f'(x)\) trouvée à l'étape 1, puis résoudre l'équation.

Étape 3 : ANA Compléter le tableau de signes de \(f'(x)\) et de variations de \(f\) : (2 pts)

\(x\)	\(-\infty\)		……		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		……	……	……
Variations de \(f\)		……	……	……

Étape 4 : VAL Calculer l'image par \(f\) de la valeur trouvée à l'étape 2. (2 pts)

Étape 5 : REA Un technicien chauffagiste remplit une cuve de 120 litres. Le temps de remplissage \(t\) (en minutes) en fonction du débit \(v\) (en L/min) est \(t(v) = \dfrac{120}{v}\), pour \(v > 0\). (2 pts)

a) Calculer \(t(10)\) et \(t(20)\).
b) Le débit passe de 10 L/min à 20 L/min : le temps de remplissage augmente-t-il ou diminue-t-il ? Justifier à l'aide du sens de variation de la fonction inverse.

Exercice 2 – Lecture graphique de la dérivée 10 points

Le graphique ci-dessous représente une fonction \(f\) définie sur \([-1\;;\;5]\). Toutes les valeurs utiles se lisent sur ce graphique.

Courbe de f sur [−1 ; 5] et tangente à la courbe au point A

Étape 1 : APP Quel est le signe de \(f'(x)\) sur \([-1\;;\;2]\) ? sur \([2\;;\;5]\) ? (2 pts)

Aide : croissante → \(f' > 0\) ; décroissante → \(f' < 0\).

Étape 2 : ANA Que vaut \(f'(2)\) ? Pourquoi ? (2 pts)

Étape 3 : REA Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([-1\;;\;5]\). (3 pts)

Étape 4 : COM Que peut-on dire de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 ? Justifier. (1,5 pt)

Étape 5 : VAL Le nombre dérivé \(f'(0)\) est-il positif, négatif ou nul ? Justifier. (1,5 pt)

Standard

Exercice 1 – Dérivées et équation de tangente 8 points

Rappel L'équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).

1. APP Soit \( f(x) = 3x^2 - 6x + 1 \). Calculer \( f'(x) \). (2 pts)

2. REA Soit \( g(x) = -x^2 + 4x \). Calculer \( g'(x) \). (2 pts)

3. REA Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe de \( g \) au point d'abscisse \( x = 1 \). (2 pts)

4. VAL Pour la fonction \( f(x) = 3x^2 - 6x + 1 \), calculer \( f'(1) \) et interpréter le résultat. Peut-on en conclure que \( f \) admet un extremum en \( x = 1 \) ? Justifier. (2 pts)

Exercice 2 – Étude complète d'une fonction 12 points

Contexte professionnel : Un atelier de menuiserie usine des plans de travail sur une machine à commande numérique. La consommation d'électricité \( C \) (en kWh) nécessaire pour usiner un plan de travail dépend de la vitesse d'avance \( x \) de l'outil (en m/min) : \[ C(x) = x^2 - 6x + 14 \quad \text{pour } x \in [1\,;\,6] \] Une avance trop lente allonge la durée d'usinage ; une avance trop rapide fait forcer la broche. L'objectif est d'étudier l'influence de la vitesse d'avance sur la consommation.

1. REA Calculer \( C'(x) \). (2 pts)

2. ANA Résoudre l'équation \( C'(x) = 0 \). (2 pts)

3. ANA Étudier le signe de \( C'(x) \) sur \( [1\,;\,6] \) et dresser le tableau de variations de \( C \). (3 pts)

4. VAL En déduire les extremums de \( C \) sur \( [1\,;\,6] \). Préciser leur nature (minimum ou maximum) et les valeurs correspondantes. (2 pts)

5. COM L'atelier travaille actuellement à 6 m/min. De combien de kWh la consommation baisserait-elle par plan de travail si l'on réglait l'avance à la valeur trouvée à la question 4 ? Rédiger une conclusion chiffrée à l'attention du chef d'atelier. (3 pts)

Approfondissement

Rappel — formules fournies \((k)' = 0\) ; \((ax + b)' = a\) ; \((x^2)' = 2x\) ; \((x^3)' = 3x^2\). On dérive terme à terme et \((k \times u)' = k \times u'\).

Exercice 1 – Étude complète d'une fonction 8 points

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) définie sur \([0\;;\;5]\).

1. REA Calculer \(f'(x)\). (1,5 pt)

2. REA Résoudre \(f'(x) = 0\). (2 pts)

3. ANA Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0\;;\;5]\). (2,5 pts)

4. VAL Déterminer le maximum et le minimum de \(f\) sur \([0\;;\;5]\). (2 pts)

Exercice 2 – Optimisation d'un bénéfice 12 points

Rappel — formules fournies \((k)' = 0\) ; \((ax + b)' = a\) ; \((x^2)' = 2x\) ; \((x^3)' = 3x^2\). On dérive terme à terme et \((k \times u)' = k \times u'\).

Un ébéniste fabrique des coffrets en bois. Pour \(x\) coffrets par jour (\(0 \leq x \leq 20\)) :

Coût total : \(C(x) = 0{,}1x^3 - 2x^2 + 15x + 50\) (en €)
Recette : \(R(x) = 20x\) (en €)

Le bénéfice est \(B(x) = R(x) - C(x)\).

1. REA Exprimer \(B(x)\) en fonction de \(x\). (1,5 pt)

2. REA Calculer \(B'(x)\). (2 pts)

3. ANA Résoudre \(B'(x) = 0\) et déterminer le signe de \(B'(x)\). (3 pts)

4. ANA En déduire le nombre de coffrets qui maximise le bénéfice et la valeur de ce bénéfice maximal. (2 pts)

5. VAL Déterminer pour quelles valeurs de \(x\) l'ébéniste est rentable (\(B(x) > 0\)). (2 pts)

6. COM Rédiger une recommandation chiffrée pour l'ébéniste. (1,5 pt)