Chapitre 6 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Contexte : Claire est designer de mobilier dans un atelier d'agencement à Lyon. Elle conçoit des boîtes de rangement sans couvercle à partir de plaques de bois rectangulaires.
Sa méthode : elle part d'une plaque rectangulaire de 40 cm × 30 cm, découpe un carré de côté \(x\) (en cm) dans chaque coin, puis plie les bords vers le haut pour former une boîte ouverte.
Une fois les quatre coins découpés et les bords pliés, la boîte obtenue a pour dimensions :
Le volume de la boîte est donc : \[V(x) = x \times (40 - 2x) \times (30 - 2x)\]
Claire veut savoir : quelle valeur de \(x\) donne le plus grand volume possible ?
a) Quelles sont les valeurs possibles de \(x\) ? (Pensez aux contraintes géométriques : les longueurs doivent rester positives.)
b) Développer et simplifier \(V(x) = x(40 - 2x)(30 - 2x)\) pour obtenir un polynôme du 3e degré.
a) Pour que la boîte existe, il faut :
La contrainte la plus restrictive est \(x < 15\), donc \(x \in \,]0\,;\,15[\).
b) On développe :
\[V(x) = x \times (40 - 2x)(30 - 2x)\]D'abord : \((40 - 2x)(30 - 2x) = 1200 - 80x - 60x + 4x^2 = 4x^2 - 140x + 1200\)
Puis :
\[V(x) = x(4x^2 - 140x + 1200) = 4x^3 - 140x^2 + 1200x\]Compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au cm3 près) :
| \(x\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(V(x)\) (cm3) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
On utilise \(V(x) = 4x^3 - 140x^2 + 1200x\) :
| \(x\) (cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(V(x)\) (cm3) | 1 064 | 1 872 | 2 448 | 2 816 | 3 000 | 3 024 | 2 912 | 2 688 | 2 376 | 2 000 |
Détail pour \(x = 6\) : \(V(6) = 4 \times 216 - 140 \times 36 + 1200 \times 6 = 864 - 5040 + 7200 = 3024\) cm3
Placer les points du tableau de valeurs sur le repère ci-dessous et tracer la courbe représentative de \(V\).
Voici les coordonnées des points à placer :
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(V(x)\) | 1 064 | 1 872 | 2 448 | 2 816 | 3 000 | 3 024 | 2 912 | 2 688 | 2 376 | 2 000 |
La courbe monte d'abord (le volume augmente), atteint un sommet aux alentours de \(x = 6\), puis redescend (le volume diminue). La courbe a une forme de "bosse".
a) D'après le graphique et le tableau, pour quelle valeur entière de \(x\) le volume semble-t-il maximal ?
b) Que se passe-t-il pour la courbe au voisinage de ce maximum ? La courbe monte-t-elle ou descend-elle ? Comment est la tangente au sommet ?
a) Le volume est maximal pour \(x = 6\), avec \(V(6) = 3\,024\) cm3.
b) Au voisinage du maximum :
Ce constat est fondamental : au maximum, la pente de la tangente vaut 0.
La fonction dérivée \(f'(x)\) donne la pente de la tangente à la courbe en chaque point. Si \(f'(x) > 0\), la fonction est croissante. Si \(f'(x) < 0\), elle est décroissante. Et si \(f'(x) = 0\), la tangente est horizontale : c'est un extremum potentiel.
Dérivées utiles : si \(f(x) = ax^2 + bx + c\), alors \(f'(x) = 2ax + b\).
On considère la fonction plus simple \(f(x) = -x^2 + 12x\) (qui modélise, par exemple, la surface d'un enclos rectangulaire).
a) Calculer la dérivée \(f'(x)\).
b) Résoudre \(f'(x) = 0\). Quelle valeur de \(x\) annule la dérivée ?
c) Calculer \(f(6)\). Que représente cette valeur ?
a) \(f(x) = -x^2 + 12x\), donc \(f'(x) = -2x + 12\).
b) On résout \(f'(x) = 0\) :
\[-2x + 12 = 0 \implies -2x = -12 \implies x = 6\]La dérivée s'annule pour \(x = 6\).
c) \(f(6) = -36 + 72 = 36\).
Comme la fonction \(f\) est du second degré avec un coefficient négatif devant \(x^2\), la parabole est tournée vers le bas. Le point \(x = 6\) correspond au maximum de \(f\), et ce maximum vaut 36.
On confirme le principe : la dérivée s'annule au maximum, et la tangente y est horizontale.
On a montré que \(V(x) = 4x^3 - 140x^2 + 1200x\).
En utilisant les règles de dérivation (dérivée d'une somme, \((x^n)' = nx^{n-1}\)), calculer la dérivée \(V'(x)\).
On dérive terme à terme :
Donc :
\[V'(x) = 12x^2 - 280x + 1200\]On admet que \(V'(x) = 12x^2 - 280x + 1200\).
a) Résoudre \(V'(x) = 0\), c'est-à-dire \(12x^2 - 280x + 1200 = 0\).
Indication : diviser par 4 pour obtenir \(3x^2 - 70x + 300 = 0\), puis utiliser le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
b) Parmi les solutions obtenues, laquelle est dans l'intervalle \(]0\,;\,15[\) ?
a) On simplifie \(12x^2 - 280x + 1200 = 0\) en divisant par 4 :
\[3x^2 - 70x + 300 = 0\]On calcule le discriminant :
\[\Delta = (-70)^2 - 4 \times 3 \times 300 = 4900 - 3600 = 1300\] \[\sqrt{\Delta} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \approx 36{,}06\]Les deux solutions sont :
\[x_1 = \frac{70 - 10\sqrt{13}}{6} \approx \frac{70 - 36{,}06}{6} \approx \frac{33{,}94}{6} \approx 5{,}66\] \[x_2 = \frac{70 + 10\sqrt{13}}{6} \approx \frac{70 + 36{,}06}{6} \approx \frac{106{,}06}{6} \approx 17{,}68\]b) Seule \(x_1 \approx 5{,}66\) cm est dans l'intervalle \(]0\,;\,15[\).
La valeur \(x_2 \approx 17{,}68\) est hors du domaine (la boîte n'existerait pas).
a) Calculer \(V(5{,}66)\) (arrondir au cm3 près).
b) Comparer cette valeur avec \(V(6) = 3\,024\) cm3 trouvé dans le tableau. Le résultat est-il cohérent ?
c) Pour vérifier que c'est bien un maximum : calculer \(V'(4)\), \(V'(5{,}66)\) et \(V'(8)\). Que constate-t-on sur le signe de la dérivée avant et après le maximum ?
a) Avec \(x = 5{,}66\) :
b) On trouve \(V(5{,}66) \approx 3\,032\) cm3, ce qui est légèrement supérieur à \(V(6) = 3\,024\) cm3. C'est cohérent : le maximum exact est entre 5 et 6, pas exactement en 6.
c) Calcul du signe de \(V'(x)\) :
Le signe de \(V'\) change de positif à négatif au point \(x \approx 5{,}66\) : cela confirme que c'est bien un maximum.
Rédiger une réponse complète pour Claire, la designer de mobilier. Préciser :
Réponse à Claire :
Pour obtenir une boîte de rangement de volume maximal à partir d'une plaque de 40 cm × 30 cm, il faut découper des carrés de côté \(x \approx 5{,}7\) cm dans chaque coin.
La boîte obtenue aura pour dimensions :
Le volume maximal est d'environ 3 032 cm3, soit environ 3 litres.
Ce résultat a été obtenu grâce à la dérivée de la fonction volume : en cherchant où \(V'(x) = 0\), on a trouvé la valeur exacte du maximum sans tâtonner.
Compléter les phrases suivantes, qui résument la méthode utilisée dans cette activité :