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Activité de découverte – Quelle aire peut-on obtenir ?

Chapitre 6 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00

Objectifs : conjecturer un extremum, calculer une dérivée et justifier une optimisation.

Une zone rectangulaire

Une corde de 24 m forme le contour d’un rectangle. On note x sa largeur et y sa longueur, en mètres. Quelle disposition donne l’aire la plus grande ?

Exercice 1 – Modéliser

  1. Exprimer y en fonction de x. Montrer que l’aire est A(x) = 12x − x². Préciser les valeurs de x pour un rectangle non aplati.

2x + 2y = 24, donc y = 12 − x ; A = x(12 − x). Il faut 0 < x < 12.

Exercice 2 – Conjecturer

  1. Calculer A(x) pour x = 1, 2, …, 11 avec un tableur. Tracer la courbe sur [0 ; 12] et sauvegarder le fichier. Proposer une largeur donnant l’aire maximale.

Les aires sont 11, 20, 27, 32, 35, 36, 35, 32, 27, 20, 11 m². On conjecture un maximum de 36 m² pour x = 6 m. La table seule ne démontre pas le résultat pour toutes les valeurs réelles.

Exercice 3 – Observer une pente

  1. La tangente à la courbe en x = 4 a pour coefficient directeur 4 ; en x = 6, il vaut 0 ; en x = 8, il vaut −4. Relier ces signes à l’allure de la courbe.

Avant le sommet, la courbe monte et la tangente a une pente positive. Au sommet, la tangente est horizontale. Après, la courbe descend et la pente est négative.

Exercice 4 – Justifier

  1. On fournit A′(x) = 12 − 2x. Résoudre A′(x) = 0, étudier son signe et justifier le maximum.

A′(x) = 0 pour x = 6 ; A′ > 0 avant 6 et A′ < 0 après. A croît sur ]0 ; 6], puis décroît sur [6 ; 12[. L’aire maximale vaut 36 m².

Exercice 5 – Conclure

  1. Donner les deux dimensions. Une configuration de largeur 5,5 m serait-elle aussi bonne ?

x = y = 6 m : un carré. A(5,5) = 35,75 m², soit 0,25 m² de moins que le maximum.

À retenir

Une conjecture graphique se justifie par le signe de la dérivée. Résoudre f′(x) = 0 ne suffit pas : étudier le changement de signe et vérifier le domaine.

Revoir la leçon sur la dérivation