Chapitre 6 — Dérivée et étude des variations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Adel a fait installer en 2024 une centrale photovoltaïque sur le toit de sa maison à Romainville (3 kWc de puissance crête). Pour exploiter au mieux son installation, il étudie la production électrique instantanée au cours d'une journée de printemps ensoleillée. Le système de monitoring lui fournit le modèle suivant, valable entre le lever et le coucher du soleil :
On note \(t\) le temps en heures écoulé depuis 6 h du matin (lever de soleil). La puissance instantanée \(P\) délivrée par les panneaux est modélisée par :
\( P(t) = -t^2 + 12\,t \)
(P en kW, t en h, modèle valide pour 0 ≤ t ≤ 12)
Identifier les coefficients de la fonction polynôme \(P(t) = a t^2 + b t + c\). En déduire le sens de la parabole (vers le haut ou vers le bas) et donc si la fonction admet un maximum ou un minimum.
Identification : \(a = -1\), \(b = 12\), \(c = 0\).
Comme \(a = -1 < 0\), la parabole est tournée vers le bas → admet un maximum. C'est cohérent avec le contexte physique (pic de production à midi solaire).
Calculer \(P(0), P(3), P(6), P(9), P(12)\). Présenter dans un tableau et indiquer l'heure du jour correspondante.
| \(t\) (h) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Heure | 6 h | 9 h | 12 h | 15 h | 18 h |
| \(P(t)\) (kW) | 0 | 27 | 36 | 27 | 0 |
On observe une parfaite symétrie autour de \(t = 6\) (midi).
Calculer la dérivée \(P'(t)\).
\(P(t) = -t^2 + 12 t\). En appliquant \((a t^2 + b t)' = 2 a t + b\) :
\(\mathbf{P'(t) = -2 t + 12}\).
Résoudre \(P'(t) = 0\). Étudier le signe de \(P'(t)\) sur \([0\,;\,12]\) et dresser le tableau de variations de \(P\). Préciser l'heure du jour correspondant au maximum.
Résolution : \(P'(t) = 0 \Leftrightarrow -2 t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = \mathbf{6}\) h, soit midi solaire.
Signe de \(P'(t) = -2 t + 12\) :
Tableau de variations :
| \(t\) | 0 | 6 | 12 |
|---|---|---|---|
| \(P'(t)\) | + | 0 | − |
| \(P(t)\) | 0 ↗ | 36 | ↘ 0 |
Le maximum est atteint à \(t = 6\) h après 6 h matin, soit 12 h (midi solaire), avec \(P(6) = 36\) kW.
Note : l'installation d'Adel est dimensionnée à 3 kWc (puissance crête réelle ≈ 3 kW max). Comment expliquer que le modèle donne 36 kW ? Suggérer une interprétation et corriger le modèle pour qu'il soit conforme à l'installation réelle.
Effectivement, 36 kW est très au-delà des capacités d'une installation domestique (3 kWc). Le modèle initial est probablement un exemple théorique ou correspond à une centrale industrielle (12 fois plus grosse).
Pour une centrale domestique de 3 kW crête, on diviserait le modèle par 12 :
\(P_{\text{réel}}(t) = -\dfrac{t^2}{12} + t\), avec un pic à \(P_{\text{réel}}(6) = -3 + 6 = 3\) kW à midi, conforme à la puissance crête.
Note pédagogique : on peut continuer l'analyse avec le modèle initial qui illustre les concepts mathématiques, mais on doit garder à l'esprit l'ordre de grandeur physique.
Avec le modèle initial, à quels moments la puissance dépasse-t-elle 20 kW ? Résoudre l'inéquation \(P(t) > 20\).
\(P(t) > 20 \Leftrightarrow -t^2 + 12 t > 20 \Leftrightarrow -t^2 + 12 t - 20 > 0 \Leftrightarrow t^2 - 12 t + 20 < 0\).
Discriminant : \(\Delta = 144 - 80 = 64\), \(\sqrt{\Delta} = 8\).
Racines : \(t = \dfrac{12 \pm 8}{2}\) → \(t_1 = 2\) et \(t_2 = 10\).
Le trinôme (parabole vers le haut) est négatif entre les racines : \(t \in ]2\,;\,10[\).
Donc la puissance dépasse 20 kW entre 8 h et 16 h, soit pendant 8 heures consécutives.
Calculer l'énergie produite sur la journée en utilisant la formule géométrique \(E \approx \dfrac{2}{3} \times \text{base} \times \text{hauteur}\) (aire sous la parabole). En déduire le revenu équivalent (autoconsommation à 0,18 €/kWh).
Aire sous la parabole \(P\) sur \([0\,;\,12]\) :
\(E \approx \dfrac{2}{3} \times 12 \times 36 = \dfrac{2}{3} \times 432 = \mathbf{288\,\text{kWh}}\) (théorique).
Revenu équivalent : \(288 \times 0{,}18 = \mathbf{51{,}84\,€}\) par jour.
Annuel (en supposant ce modèle moyen) : \(51{,}84 \times 365 \approx 18\,900\,€\). C'est une valeur très optimiste, irréaliste pour un foyer. Pour 3 kW crête réels, on aurait plutôt \(24\) kWh/jour, soit \(4{,}3\,€/jour\) et \(\approx 1\,570\,€/an\) — plus réaliste.
Conseil d'Adel à son voisin qui hésite à installer le solaire (5-6 lignes).
Conseil photovoltaïque — Adel à son voisin
• Modèle : \(P(t) = -t^2 + 12t\), production en cloche autour de midi solaire.
• Pic théorique à 12 h. Production > 20 kW (proportionnellement) entre 8 h et 16 h, soit 8 heures utiles.
• Pour 3 kWc installés : ≈ 24 kWh/jour, soit 4 €/jour évités à 0,18 €/kWh.
• Sur l'année : ≈ 1 500 € évités en autoconsommation.
• Conseil pratique : programmer machines à laver / chargement voiture entre 10 h et 14 h pour maximiser l'autoconsommation.
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Calculer la production moyenne entre 8 h et 16 h (intervalle \([2\,;\,10]\)). Comparer à la puissance crête.
Production moyenne ≈ \(\dfrac{1}{8} \int_2^{10} (-t^2 + 12 t)\,dt\). Sans intégration, on peut estimer par moyenne des valeurs :
\(P(2) = 20\), \(P(4) = 32\), \(P(6) = 36\), \(P(8) = 32\), \(P(10) = 20\). Moyenne ≈ 28 kW.
Comparé au pic de 36 kW : la production moyenne sur la plage utile est 78 % du pic. C'est très efficace : la centrale fonctionne en quasi-régime nominal pendant la fenêtre productive.
📚 Cette activité s'appuie sur §II (Signe de la dérivée) et §III (Tableau de variations) de la leçon Ch06 + lien EDD.