Chapitre 6 — Dérivée et étude des variations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Une question de cette activité (Q5) fait intervenir une dérivée seconde (accélération = dérivée de la vitesse), qui relève de la Terminale. Le programme de Première porte sur la dérivée première et l'étude des variations. Traiter Q5 en approfondissement (ou de façon qualitative).
Yanis, 17 ans, prépare une course cycliste régionale avec son club VC Bagnolet. Son entraîneur lui propose une session de descente sur le col de la Maillette (Seine-Saint-Denis). Yanis équipe son vélo d'un capteur GPS qui enregistre sa position à chaque instant. Après analyse des données, l'entraîneur établit le modèle suivant pour la descente :
La position \(d\) (distance parcourue depuis le sommet, en mètres) en fonction du temps \(t\) (en secondes) est modélisée par :
\( d(t) = -0{,}5\,t^2 + 25\,t \)
(d en m, t en s, modèle valide pour 0 ≤ t ≤ 25)
Calculer la distance parcourue par Yanis à \(t = 0, 5, 10, 15, 20\) s. Vérifier que les valeurs sont cohérentes avec la longueur du col.
À \(t = 20\) s, Yanis a parcouru 300 m, ce qui est cohérent avec la longueur du col (≈ 350 m) au bout de la descente.
Calculer la vitesse instantanée \(v(t) = d'(t)\). Préciser l'unité.
En appliquant les règles de dérivation :
\(v(t) = d'(t) = -0{,}5 \times 2 \times t + 25 = \mathbf{-t + 25}\) (en m/s).
La fonction vitesse est affine : coefficient directeur \(-1\), ordonnée à l'origine \(25\).
Calculer \(v(0), v(5), v(10), v(15), v(20), v(25)\) puis convertir chaque vitesse en km/h.
| \(t\) (s) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(v(t)\) (m/s) | 25 | 20 | 15 | 10 | 5 | 0 |
| \(v(t)\) (km/h) | 90 | 72 | 54 | 36 | 18 | 0 |
Yanis commence la descente à 25 m/s = 90 km/h (vitesse atteinte juste avant le col en pédalant) puis ralentit progressivement.
Étudier le signe de \(v(t) = -t + 25\) sur \([0\,;\,25]\). Que peut-on en dire ? La vitesse augmente-t-elle ou diminue-t-elle pendant la descente ?
Pour \(t \in [0\,;\,25]\), on a \(-t + 25 \geqslant 0\) (égalité en \(t = 25\) seulement).
La vitesse reste donc positive ou nulle : Yanis ne fait pas marche arrière, ce qui est physiquement cohérent.
Pour étudier l'évolution de la vitesse, on regarde la fonction \(v(t) = -t + 25\). Comme \(v'(t) = -1 < 0\), la vitesse décroît au fil du temps. Yanis décélère tout au long de la descente — vraisemblablement parce que la pente s'aplanit, ou parce qu'il freine progressivement avant la sortie du col.
Calculer l'accélération \(a(t) = v'(t)\). Interpréter cette valeur.
\(v(t) = -t + 25\) → \(a(t) = v'(t) = \mathbf{-1}\) m/s².
L'accélération est constante et négative. Yanis perd 1 m/s chaque seconde, soit 3,6 km/h chaque seconde.
Cette décélération régulière (≈ 1 m/s²) est cohérente avec une descente où les frottements (air + roulement) et l'aplatissement de la pente compensent puis dépassent l'accélération gravitationnelle.
À quel instant Yanis dépasse-t-il pour la dernière fois la limite légale de 50 km/h ? (Convertir 50 km/h en m/s puis résoudre).
Conversion : \(50\,\text{km/h} = \dfrac{50}{3{,}6} \approx 13{,}9\) m/s.
On résout \(v(t) = 13{,}9\) : \(-t + 25 = 13{,}9\) → \(t = 25 - 13{,}9 = \mathbf{11{,}1}\) s.
Yanis passe sous les 50 km/h à 11,1 secondes de descente. Avant cet instant, il roule au-dessus de la limite légale.
Réflexion : sur une descente de col, il faut souvent freiner pour respecter les limitations dès le départ.
Calculer la vitesse moyenne de Yanis sur la totalité de la descente (entre \(t = 0\) et \(t = 25\) s). Vérifier que pour une fonction vitesse affine, la vitesse moyenne est la moyenne des vitesses initiale et finale.
Distance totale parcourue : \(d(25) = -0{,}5 \times 625 + 25 \times 25 = -312{,}5 + 625 = 312{,}5\) m.
Vitesse moyenne : \(\overline{v} = \dfrac{d(25) - d(0)}{25 - 0} = \dfrac{312{,}5}{25} = \mathbf{12{,}5}\) m/s = 45 km/h.
Vérification : moyenne des vitesses extrémales \(\dfrac{v(0) + v(25)}{2} = \dfrac{25 + 0}{2} = 12{,}5\) m/s ✓.
Ce résultat est vrai uniquement parce que \(v\) est une fonction affine du temps (vitesse linéaire).
Yanis fait un débriefing avec son entraîneur. Rédiger en 5-6 lignes ce qu'il faut retenir de l'analyse, du point de vue de la performance et de la sécurité.
Débriefing descente — Col de la Maillette
• Modèle position : \(d(t) = -0{,}5t² + 25t\) (m, s).
• Vitesse instantanée : \(v(t) = -t + 25\) (m/s).
• Vitesse max au sommet : 25 m/s = 90 km/h (zone à risque, freinage urgent).
• Limite légale (50 km/h) dépassée pendant les 11 premières secondes — non conforme.
• Décélération constante de 1 m/s² (3,6 km/h chaque seconde).
• Recommandation : aborder le col à vitesse réduite (entrée à 60 km/h max), freiner mécaniquement plus tôt pour éviter les survitesses dangereuses.
Si Yanis donne un coup de pédale supplémentaire à mi-descente (à \(t = 12{,}5\) s), il ajoute une accélération de \(+0{,}3\) m/s² à partir de cet instant. Quelle serait sa vitesse à la fin de la descente (\(t = 25\)) ?
Nouvelle accélération entre \(t = 12{,}5\) et \(t = 25\) : \(a_{\text{nouv}} = -1 + 0{,}3 = -0{,}7\) m/s².
Vitesse à \(t = 12{,}5\) (avant le coup de pédale) : \(v(12{,}5) = -12{,}5 + 25 = 12{,}5\) m/s.
Évolution pendant 12,5 s à \(a = -0{,}7\) : \(\Delta v = -0{,}7 \times 12{,}5 = -8{,}75\) m/s.
Vitesse finale : \(12{,}5 - 8{,}75 = \mathbf{3{,}75}\) m/s = 13,5 km/h.
Vs 0 m/s sans pédalage : Yanis termine encore en mouvement, prêt à enchaîner la suite du parcours.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Dérivée) et §II (Signe et variations) de la leçon Ch06 + lien direct avec PC Ch05 (Mouvement) et l'éducation routière (sécurité, code).