🏗 Activité 7 – Périmètre minimal d'un parking de 100 m² SITUATION PRO

Chapitre 6 — Dérivée et étude des variations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 23 mai 2026

Objectifs :

Modéliser une situation géométrique par une fonction à étudier
Dériver une fonction comportant un terme \(\dfrac{k}{x}\)
Trouver un minimum par étude de la dérivée
Comparer plusieurs configurations possibles (avec ou sans mur existant)
Estimer un coût de mise en œuvre

Situation — étude d'un parking pour une copropriété

Mohammed, technicien d'études du bâtiment chez BâtiPlan 93 à Bagnolet, conçoit un parking extérieur pour une copropriété. Le bailleur a demandé une surface de stationnement de 100 m² (sol revêtu de béton) et souhaite limiter le coût de la bordure périphérique (bordure béton + grillage anti-stationnement sauvage). Mohammed doit déterminer la forme rectangulaire qui minimise le périmètre.

Document 1 – Données du projet

Surface imposée : 100 m².
Forme libre rectangulaire. On note \(x\) la longueur (en m) et \(y\) la largeur (en m).
Donc \( x \cdot y = 100 \) et \( y = \dfrac{100}{x} \).
Le périmètre du parking est \( P = 2(x + y) = 2x + \dfrac{200}{x} \).
Plage de longueurs réaliste : \(x \in [4 \,;\, 25]\) m (contraintes de circulation).

Document 2 – Coûts

Bordure béton (préfabriquée, pose comprise) : 35 €/m linéaire.
Grillage de protection en complément : 12 €/m (uniquement les côtés ouverts).
Revêtement béton drainant : 65 €/m² (indépendant du périmètre).

Document 3 – Rappels sur la dérivation

Dérivée d'une fonction polynôme : voir Ch06 §I.
Formule fondamentale : \( \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} \) (au programme).
Donc : \( \left(\dfrac{k}{x}\right)' = -\dfrac{k}{x^2} \) pour toute constante \(k\).
Dérivée d'une somme : \( (u + v)' = u' + v' \).

Problématique : Quelle forme rectangulaire de surface 100 m² minimise la longueur de bordure (et donc le coût) ?

Question 1 APP

Calculer la largeur du parking si la longueur \(x\) vaut 4, 5, 10, 20 et 25 m. Vérifier que le produit \(x \times y\) vaut bien 100 m² dans chaque cas.

Comme \(y = \dfrac{100}{x}\) :

\(x\) (m)	4	5	10	20	25
\(y\) (m)	25	20	10	5	4
\(x \cdot y\)	100	100	100	100	100

La surface vaut bien 100 m² dans tous les cas.

Question 2 REA

Calculer le périmètre \(P(x) = 2x + \dfrac{200}{x}\) pour ces mêmes valeurs de \(x\). Présenter dans un tableau.

\(P(4) = 2 \times 4 + \dfrac{200}{4} = 8 + 50 = \mathbf{58}\) m
\(P(5) = 10 + 40 = \mathbf{50}\) m
\(P(10) = 20 + 20 = \mathbf{40}\) m
\(P(20) = 40 + 10 = \mathbf{50}\) m
\(P(25) = 50 + 8 = \mathbf{58}\) m

\(x\) (m)	4	5	10	20	25
\(P(x)\) (m)	58	50	40	50	58

On observe une symétrie autour de \(x = 10\) et un minimum apparent en ce point.

Question 3 REA

Calculer la dérivée \(P'(x)\) en utilisant \(\left(\dfrac{k}{x}\right)' = -\dfrac{k}{x^2}\).

\(P(x) = 2 x + \dfrac{200}{x}\). On dérive terme à terme :

Dérivée de \(2x\) : \((2x)' = 2\).
Dérivée de \(\dfrac{200}{x}\) : \(\left(\dfrac{200}{x}\right)' = -\dfrac{200}{x^2}\).

Donc \( \mathbf{P'(x) = 2 - \dfrac{200}{x^2}} \).

Question 4 ANA

Résoudre l'équation \(P'(x) = 0\) sur \(]0\,;\,+\infty[\). Étudier le signe de \(P'(x)\) et en déduire le tableau de variations.

Résolution :

\(P'(x) = 0 \Leftrightarrow 2 - \dfrac{200}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{200}{x^2} = 2 \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{200}{2} = 100\).

Donc \(x = 10\) (on retient la solution positive, \(x = -10\) étant hors contexte).

Étude du signe de \(P'(x) = 2 - \dfrac{200}{x^2}\) :

Si \(x < 10\) : \(x^2 < 100\) donc \(\dfrac{200}{x^2} > 2\) → \(P'(x) < 0\) → \(P\) est décroissante.
Si \(x > 10\) : \(x^2 > 100\) donc \(\dfrac{200}{x^2} < 2\) → \(P'(x) > 0\) → \(P\) est croissante.

Tableau de variations :

\(x\)	4	10	25
\(P'(x)\)	−	0	+
\(P(x)\)	58 ↘	40	↗ 58

Le périmètre est minimum en \(x = 10\) m et vaut \(P(10) = 40\) m.

Question 5 ANA

Quelles sont les dimensions du parking optimal ? Quelle forme particulière obtient-on ? Énoncer le résultat géométrique illustré.

Pour \(x = 10\) m, \(y = \dfrac{100}{10} = 10\) m. Le parking optimal est un carré de 10 m × 10 m.

Résultat géométrique : à aire fixée, le rectangle de périmètre minimal est le carré. Ce résultat classique est ici confirmé par l'étude de la dérivée.

Question 6 REA

Calculer le coût total de la bordure béton (à 35 €/m) pour les trois configurations suivantes : 10×10, 5×20 et 4×25. Quel est l'écart de coût ?

Carré 10×10 : \(P = 40\) m → coût \(40 \times 35 = \mathbf{1\,400\,€}\).
Rectangle 5×20 : \(P = 50\) m → coût \(50 \times 35 = \mathbf{1\,750\,€}\) (\(+350\,€\)).
Rectangle 4×25 : \(P = 58\) m → coût \(58 \times 35 = \mathbf{2\,030\,€}\) (\(+630\,€\)).

Le choix du carré économise entre 350 € et 630 € par rapport à des rectangles très allongés.

Question 7 VAL

La copropriété envisage d'agrandir le parking à 200 m². Refaire le même raisonnement et donner les dimensions optimales ainsi que le périmètre minimal.

Nouvelle fonction : \(P_2(x) = 2 x + \dfrac{400}{x}\) (avec \(x y = 200\), donc \(y = 200/x\)).

Dérivée : \(P_2'(x) = 2 - \dfrac{400}{x^2}\).

\(P_2'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 200 \Leftrightarrow x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\) m.

Largeur : \(y = \dfrac{200}{10\sqrt{2}} = \dfrac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\) m. Donc encore un carré (\(\sqrt{200} \times \sqrt{200}\)).

Périmètre minimal : \(P_2(10\sqrt{2}) = 2 \times 10\sqrt{2} + \dfrac{400}{10\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} + 20\sqrt{2} = 40\sqrt{2} \approx 56{,}6\) m.

Coût : \(56{,}6 \times 35 \approx 1\,980\) €.

Question 8 COM

Mohammed rédige son rapport d'études pour l'architecte. Rédiger en 5-6 lignes la synthèse, en intégrant l'argument mathématique et l'économie réalisée.

Étude parking copropriété — 100 m²
Site : copropriété, Bagnolet. Date : 23 mai 2026.
• Modèle périmètre : \(P(x) = 2x + 200/x\) sous contrainte d'aire 100 m².
• Étude de la dérivée : \(P'(x) = 2 - 200/x^2\), annulation en \(x = 10\) m.
• Forme optimale : carré 10 m × 10 m, périmètre 40 m.
• Coût bordure béton : 1 400 € HT (vs 2 030 € pour un 4×25).
• Économie : 630 € HT en optant pour la forme carrée.
• Recommandation : retenir la forme carrée si l'emprise terrain le permet (sinon, choisir le rectangle le plus proche du carré possible).

Pour aller plus loin (bonus)

Si l'on dispose d'un mur existant qui peut servir de bordure d'un côté (la longueur \(x\)), Mohammed n'a plus besoin de clôturer ce côté. Le périmètre à réaliser devient \( P_3(x) = x + 2 y = x + \dfrac{200}{x} \). Trouver le nouveau minimum et comparer.

\(P_3(x) = x + \dfrac{200}{x}\).

\(P_3'(x) = 1 - \dfrac{200}{x^2}\).

\(P_3'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = 200 \Leftrightarrow x = \sqrt{200} \approx 14{,}14\) m.

Largeur correspondante : \(y = \dfrac{100}{\sqrt{200}} = \dfrac{100}{14{,}14} \approx 7{,}07\) m. Le rectangle optimal n'est plus un carré mais a un rapport \(\sqrt{2}\).

Périmètre à clôturer : \(P_3(\sqrt{200}) = \sqrt{200} + \dfrac{200}{\sqrt{200}} = 2\sqrt{200} \approx 28{,}3\) m.

Coût bordure : \(28{,}3 \times 35 \approx 990\) €. Économie supplémentaire : 410 € par rapport au carré sans mur.

Conclusion : utiliser les contraintes existantes (mur, façade) permet souvent de gros gains.

À retenir

Pour minimiser ou maximiser une grandeur géométrique sous contrainte, on l'exprime en fonction d'une seule variable, puis on étudie la dérivée.
Formule fondamentale : \( \left(\dfrac{k}{x}\right)' = -\dfrac{k}{x^2} \).
Résultat géométrique classique : à aire fixée, le rectangle de périmètre minimal est le carré.
Les contraintes existantes (mur, accès…) modifient la forme optimale et peuvent générer des économies importantes.
La dérivée donne un résultat exact, alors que le tableau de valeurs ne donne qu'une approximation.

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Dérivée des fonctions usuelles, dont 1/x) et §II (Étude des variations) de la leçon Ch06.