Chapitre 6 — Dérivée et étude des variations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00
Léa, technicienne en maintenance énergétique chez ServiThermique 93 à Bagnolet, gère le contrat d'entretien d'un parc de chaufferies pour un bailleur social. Pour chaque chaufferie, elle peut planifier un nombre variable d'interventions préventives par an. Un compromis doit être trouvé entre le coût des visites préventives et le coût des pannes correctives (plus fréquentes si on ne prévient pas).
Après analyse statistique sur 5 ans, le bureau d'études a modélisé le coût total annuel d'entretien d'une chaufferie (visites préventives + dépannages correctifs + pièces) en fonction du nombre \(n\) d'interventions préventives par an :
\( C(n) = n^2 - 20\,n + 500 \)
(C en €/an, n ∈ [0 ; 20])
Identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) du polynôme \(C(n)\). Déterminer si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, et en déduire si la fonction admet un maximum ou un minimum.
Identification : \(a = 1\), \(b = -20\), \(c = 500\).
Comme \(a = 1 > 0\), la parabole est tournée vers le haut. La fonction \(C\) admet donc un minimum.
C'est cohérent avec le contexte : un coût total minimum existe.
Calculer \(C(0)\), \(C(5)\), \(C(10)\), \(C(15)\) et \(C(20)\). Présenter dans un tableau et observer la symétrie.
| \(n\) (interventions/an) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(n)\) (€/an) |
Calculs détaillés :
| \(n\) (interventions/an) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(n)\) (€/an) | 500 | 425 | 400 | 425 | 500 |
On observe une symétrie autour de \(n = 10\) : \(C(5) = C(15)\), \(C(0) = C(20)\). L'optimum se situe probablement à \(n = 10\).
Calculer la dérivée \(C'(n)\) en appliquant la règle de dérivation d'un polynôme.
En appliquant \((a x^2 + b x + c)' = 2 a x + b\) :
\(C'(n) = 2 \times 1 \times n + (-20) = \mathbf{2 n - 20}\).
La dérivée \(C'\) est une fonction affine de coefficient directeur \(2\) et d'ordonnée à l'origine \(-20\).
Résoudre l'équation \(C'(n) = 0\). Étudier le signe de \(C'(n)\) sur l'intervalle \([0\,;\,20]\) et dresser le tableau de variations de \(C\).
| \(n\) | 0 | 20 | |
|---|---|---|---|
| signe de \(C'(n)\) | |||
| variations de \(C(n)\) |
Résolution : \(C'(n) = 0 \Leftrightarrow 2 n - 20 = 0 \Leftrightarrow n = \mathbf{10}\).
Signe de \(C'(n) = 2 n - 20\) :
Tableau de variations :
\(C\) atteint son minimum global en \(n = 10\), avec \(C(10) = 400\) €/an.
Interpréter le résultat dans le contexte du parc de chaufferies. Que recommander à Léa ?
Le coût total annuel est minimal pour 10 interventions préventives par an, soit environ une intervention toutes les 5 semaines. À ce rythme, le coût total annuel par chaufferie est de 400 €.
En dessous de 10 (par exemple à 5 visites) : le coût correctif s'envole et compense la moindre dépense préventive.
Au-dessus de 10 (par exemple à 15 visites) : le coût direct des visites devient excessif sans pannes évitées supplémentaires.
Léa doit donc planifier 10 interventions préventives par an pour chaque chaufferie de son contrat.
Le plan actuel du bailleur prévoit 6 interventions préventives par an. Calculer le coût correspondant et le surcoût par rapport au plan optimal. Estimer le gain sur l'ensemble du parc (40 chaufferies).
\(C(6) = 36 - 120 + 500 = \mathbf{416}\) €/an par chaufferie.
Surcoût par rapport à l'optimum : \(416 - 400 = \mathbf{16}\) €/an et par chaufferie.
Sur l'ensemble du parc (40 chaufferies) : \(40 \times 16 = \mathbf{640\,\text{€}/an}\) d'économie potentielle en passant de 6 à 10 interventions par an.
Le modèle chiffre un gain de coût. Il ne permet pas, à lui seul, de mesurer le risque de panne ni le confort des locataires.
Le bailleur fixe un budget plafond de 450 €/an par chaufferie. À l’aide d’un outil numérique, déterminer les valeurs entières de \(n\) acceptables (résoudre \(C(n) \leqslant 450\)).
On résout \(n^2 - 20 n + 500 \leqslant 450\) → \(n^2 - 20 n + 50 \leqslant 0\).
Un solveur donne C(n) = 450 pour n ≈ 2,929 et n ≈ 17,071. Le coût est inférieur ou égal à 450 entre ces valeurs. Les nombres entiers possibles sont donc de 3 à 17 : C(2) = C(18) = 464 et C(3) = C(17) = 449.
Rédiger en 5-6 lignes la recommandation de Léa à son responsable d'agence, en justifiant économiquement et techniquement le plan retenu.
Recommandation — Plan d'entretien parc bailleur social
Site : 40 chaufferies. Date : 23 mai 2026.
• Modèle économique : \(C(n) = n^2 - 20n + 500\) (étude bureau d'études sur 5 ans).
• Étude de dérivée : minimum à n = 10 interventions/an, coût 400 €/an et par chaufferie.
• Plan actuel (6/an) génère 16 €/an de surcoût par chaufferie → 640 €/an sur le parc.
• Plage acceptable budget 450 € : 3 à 17 interventions/an.
• Recommandation : passer à 10 visites préventives/an (une toutes les 5 semaines). Gain financier modéré mais amélioration significative de la fiabilité et de la satisfaction locataires.
Le bureau d'études propose un nouveau modèle qui prend en compte la durée de vie des chaudières : \(C_2(n) = 2 n^2 - 40 n + 600\). Déterminer le nouveau nombre optimal d'interventions et comparer avec le modèle initial.
Dérivée : \(C_2'(n) = 4 n - 40\).
\(C_2'(n) = 0 \Leftrightarrow 4 n - 40 = 0 \Leftrightarrow n = \mathbf{10}\) (même optimum).
Coût minimum : \(C_2(10) = 200 - 400 + 600 = \mathbf{400}\) €/an.
Le nouveau modèle confirme l'optimum à 10 interventions par an. La parabole est plus pentue (\(a = 2\) vs \(a = 1\)), donc plus sensible aux écarts : s'éloigner de 10 coûte plus cher dans ce modèle.
Conclusion : le résultat optimal est robuste, mais l'incitation à respecter le plan est plus forte avec ce modèle ajusté.