Chapitre 6 — Dérivée et étude des variations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Théo, technicien de mise en service chez Énergies Bagnoletaises à Bagnolet, intervient sur la chaufferie d'une copropriété de 42 logements. Le circulateur principal (pompe qui fait circuler l'eau chaude dans le réseau) peut tourner à différents débits réglables par le variateur électronique. Théo veut trouver le réglage qui donne le rendement maximal de l'installation.
Le constructeur de la pompe (Grundfos Magna 3) donne la puissance utile transmise à l'eau, c'est-à-dire la puissance effectivement convertie en mouvement du fluide (et donc en chaleur transportée dans le réseau), en fonction du débit de circulation \(Q\) (en m³/h) :
\( P(Q) = -0{,}5\,Q^2 + 5\,Q \)
(P en kW, Q en m³/h, plage de fonctionnement 0 ≤ Q ≤ 10)
Identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) du polynôme \(P(Q)\). Préciser si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas, et en déduire si la fonction admet un maximum ou un minimum.
En identifiant avec la forme générale \( P(Q) = a Q^2 + b Q + c \) :
Comme \(a = -0{,}5 < 0\), la parabole est tournée vers le bas. La fonction \(P\) admet donc un maximum.
Calculer \(P(2)\), \(P(4)\), \(P(5)\), \(P(7)\) et \(P(10)\). Présenter dans un tableau.
Calculs détaillés :
Tableau de synthèse :
| \(Q\) (m³/h) | 2 | 4 | 5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(Q)\) (kW) | 8 | 12 | 12,5 | 10,5 | 0 |
On constate que la puissance maximale semble se situer autour de \(Q = 5\) m³/h.
Calculer la dérivée \(P'(Q)\) en appliquant la règle de dérivation d'un polynôme du 2nd degré.
On applique la règle \((a Q^2 + b Q + c)' = 2 a Q + b\) :
\(P'(Q) = 2 \times (-0{,}5) \times Q + 5 = \mathbf{-Q + 5}\).
La dérivée \(P'\) est donc une fonction affine de coefficient directeur \(-1\) et d'ordonnée à l'origine \(5\).
Résoudre l'équation \(P'(Q) = 0\). Étudier le signe de \(P'(Q)\) sur l'intervalle \([0\,;\,10]\) et dresser le tableau de variations de \(P\).
Résolution : \(P'(Q) = 0 \Leftrightarrow -Q + 5 = 0 \Leftrightarrow Q = \mathbf{5}\) m³/h.
Signe de \(P'(Q) = -Q + 5\) :
Tableau de variations :
| \(Q\) | 0 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|
| \(P'(Q)\) | + | 0 | − |
| \(P(Q)\) | 0 ↗ | 12,5 | ↘ 0 |
La fonction \(P\) atteint un maximum local et global en \(Q = 5\) m³/h, et ce maximum vaut \(P(5) = 12{,}5\) kW.
Interpréter le résultat de la question 4 dans le contexte de la copropriété. Que conseiller à Théo pour le réglage du variateur ?
Le rendement de la pompe est maximal pour un débit de 5 m³/h. À ce réglage, la pompe transmet \(12{,}5\) kW à l'eau du circuit de chauffage — c'est la valeur la plus efficace.
Théo doit donc régler le variateur électronique du circulateur à 5 m³/h. À ce débit, la chaleur est correctement distribuée dans le réseau (eau circule à bonne vitesse), tout en limitant les pertes par friction et le bruit hydraulique. C'est aussi le point où l'énergie électrique consommée par la pompe est la plus efficacement convertie en chaleur transportée.
Avant l'intervention de Théo, la pompe était réglée à 7 m³/h (réglage par défaut « max »). Calculer la perte de puissance utile et le pourcentage de perte par rapport au réglage optimal.
D'après la question 2 : \(P(7) = 10{,}5\) kW et \(P(5) = 12{,}5\) kW.
Perte absolue : \(12{,}5 - 10{,}5 = \mathbf{2\,\text{kW}}\) de puissance utile non transmise à l'eau.
Pourcentage de perte : \(\dfrac{2}{12{,}5} = 0{,}16 = \mathbf{16\,\%}\).
Cette perte signifie que l'énergie électrique consommée par la pompe est partiellement dissipée en friction inutile et en bruit.
La chaufferie fonctionne en moyenne 1 800 h par an (saison de chauffe). Sachant que le prix de l'électricité industrielle est de 0,18 €/kWh, calculer l'économie annuelle réalisée en passant de 7 m³/h à 5 m³/h. Ce gain justifie-t-il l'intervention de Théo ?
Énergie économisée par an : \(2\,\text{kW} \times 1\,800\,\text{h} = 3\,600\,\text{kWh/an}\).
Économie financière : \(3\,600 \times 0{,}18 = \mathbf{648\,€/an}\).
Théo facture environ 250 € pour cette intervention de réglage (1 h de main d'œuvre sur site + diagnostic). Le client amortit l'intervention en moins de 5 mois et continue à économiser pendant toute la durée de vie de l'installation. L'intervention est largement justifiée.
Note : à cela s'ajoutent les bénéfices en confort acoustique et en allongement de la durée de vie de la pompe.
Théo rédige un compte rendu à destination du syndic de la copropriété. Rédiger ce compte rendu en 5-6 lignes en faisant apparaître le réglage retenu, le gain et la recommandation.
Compte rendu d'intervention — Circulateur chaufferie
Site : copropriété 42 logements, Bagnolet. Date : 23 mai 2026.
• Constat : circulateur réglé à 7 m³/h par défaut, soit hors du point de fonctionnement optimal.
• Analyse mathématique de la courbe constructeur \(P(Q) = -0{,}5Q² + 5Q\) : maximum à 5 m³/h pour 12,5 kW de puissance utile.
• Réglage effectué : variateur paramétré à 5 m³/h. Test à 12,5 kW conforme.
• Économie estimée : 648 € HT/an (sur 1 800 h de chauffe à 0,18 €/kWh), soit ≈ 5 mois pour amortir l'intervention.
• Recommandation : conserver ce réglage. Re-contrôle préconisé chaque automne avant la saison de chauffe.
Une norme intérieure impose une puissance utile minimale de 10 kW pour garantir le chauffage des étages supérieurs. Déterminer la plage de débit acceptable, c'est-à-dire l'ensemble des \(Q\) tels que \(P(Q) \geqslant 10\).
On résout \(P(Q) \geqslant 10\) :
\(-0{,}5 Q^2 + 5 Q \geqslant 10\) → \(-0{,}5 Q^2 + 5 Q - 10 \geqslant 0\) → en multipliant par \(-2\) (le sens change) : \(Q^2 - 10 Q + 20 \leqslant 0\).
On calcule le discriminant : \(\Delta = 100 - 80 = 20\), \(\sqrt{\Delta} \approx 4{,}47\).
Racines : \(Q_1 = \dfrac{10 - 4{,}47}{2} \approx 2{,}76\) et \(Q_2 = \dfrac{10 + 4{,}47}{2} \approx 7{,}24\).
Le polynôme du second degré (parabole vers le haut, racine 2,76 et 7,24) est négatif ou nul entre les racines.
Conclusion : \( Q \in [2{,}76\,;\,7{,}24]\) m³/h. Théo a donc une marge de manœuvre : tant qu'il reste dans cette plage, la puissance utile reste supérieure à 10 kW, même si l'optimum est à 5 m³/h.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Dérivée des fonctions usuelles), §II (Signe de la dérivée et variations) et §III (Tableau de variations) de la leçon Ch06.