Chapitre 6 — Dérivée | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Une plaque de bois carrée de 30 cm de côté est utilisée pour fabriquer une boîte sans couvercle : on découpe 4 carrés identiques de côté x aux 4 coins, puis on plie pour former la boîte.
Donner l'expression du volume V(x) de la boîte (longueur, largeur, hauteur).
Base carrée de côté 30 − 2x. Hauteur = x.
V(x) = x × (30 − 2x)² = x × (900 − 120x + 4x²) = 4x³ − 120x² + 900x.
Domaine : 0 < x < 15.
Calculer V'(x).
V'(x) = 12x² − 240x + 900 = 12(x² − 20x + 75).
Résoudre V'(x) = 0.
x² − 20x + 75 = 0. Δ = 400 − 300 = 100. √Δ = 10.
x_1 = (20 − 10)/2 = 5 ; x_2 = (20 + 10)/2 = 15 (rejeté car borne).
x = 5 cm est la solution dans le domaine.
Étudier le signe de V'(x) sur ]0 ; 15[.
V'(x) = 12(x − 5)(x − 15).
Pour 0 < x < 5 : V' > 0 (V croissante).
Pour 5 < x < 15 : V' < 0 (V décroissante).
x = 5 est un maximum.
Calculer V(5) (volume maximal).
V(5) = 5 × (30 − 10)² = 5 × 400 = 2 000 cm³ = 2 L.
La boîte optimale fait 5 × 20 × 20 cm.
Calculer V(3) et V(7). Comparer.
V(3) = 3 × (30 − 6)² = 3 × 576 = 1 728 cm³.
V(7) = 7 × (30 − 14)² = 7 × 256 = 1 792 cm³.
Tous deux inférieurs au max V(5) = 2 000.
Pour une plaque de 60 cm de côté (au lieu de 30), recalculer x optimal et V_max.
V(x) = x(60 − 2x)². V'(x) = 12x² − 480x + 3 600 = 12(x² − 40x + 300).
Δ = 1 600 − 1 200 = 400. x = (40 − 20)/2 = 10 cm.
V(10) = 10 × 1 600 = 16 000 cm³ = 16 L.
x optimal = 1/6 du côté de la plaque (résultat général).
Rédiger en 3-4 lignes la fiche de fabrication.
Boîte volume max — plaque 30×30 cm
• Découper 4 carrés de 5 × 5 cm aux 4 coins.
• Plier vers le haut : boîte 5 × 20 × 20 cm.
• Volume max : 2 000 cm³ = 2 litres.
• Méthode : étude de fonction V(x) avec dérivée annulée à x = 5 (maximum).
Pour une plaque rectangulaire L × l, comment trouver x optimal ?
V(x) = x (L − 2x)(l − 2x). V'(x) = 12x² − 4(L+l)x + Ll. Annuler V'(x) → équation du 2nd degré.
Pour la plaque carrée (L = l), x = l/6. Pour 2L = l (rectangle 60 × 30 par ex.), résoudre l'équation.
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (Variations) et §4 (Optimisation) de la leçon Ch06.