Chapitre 6 — Dérivée | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00
Une bande de tôle de 30 cm de large est pliée à angle droit sur ses deux bords. Chaque pli a une hauteur x cm. On néglige l’épaisseur du métal. L’objectif est de maximiser l’aire de la section ouverte.
Fond : 30 − 2x ; aire A(x) = x(30 − 2x) = 30x − 2x², pour 0 < x < 15.
A′(x) = 30 − 4x. Elle s’annule pour x = 7,5 cm.
A′ est positive avant 7,5 et négative après. A croît sur ]0 ; 7,5], puis décroît sur [7,5 ; 15[. Le point critique correspond donc à un maximum.
Hauteur 7,5 cm, fond 15 cm ; aire 112,5 cm². A(5) = A(10) = 100 cm² : 12,5 cm² de moins.
La courbe confirme le maximum de l’aire. Le débit réel dépend aussi de la pente, du matériau et des conditions d’écoulement : le calcul d’aire seul ne permet pas de conclure sur le débit.
Une conjecture graphique se justifie par le signe de la dérivée. Résoudre f′(x) = 0 ne suffit pas : étudier le changement de signe et vérifier le domaine.