Chapitre 6 — Dérivée | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Une question de cette activité (Q6) fait intervenir une dérivée seconde (accélération = dérivée de la vitesse), qui relève de la Terminale. Le programme de Première porte sur la dérivée première et l'étude des variations. Traiter Q6 en approfondissement (ou de façon qualitative).
La position d'une tête de découpe CNC en fonction du temps est : f(t) = t³ − 6t² + 9t (t en s, f en cm).
Calculer f'(t).
f'(t) = 3t² − 12t + 9.
Calculer f(1) et f'(1) (vitesse instantanée à t = 1 s).
f(1) = 1 − 6 + 9 = 4 cm.
f'(1) = 3 − 12 + 9 = 0 cm/s. Tête immobile à t = 1 s.
Donner l'équation de la tangente en t = 1.
Formule : y = f'(a)(t − a) + f(a).
y = 0 × (t − 1) + 4 = 4.
La tangente est horizontale au niveau y = 4. C'est un sommet (maximum local) de la courbe.
Calculer f(3) et f'(3).
f(3) = 27 − 54 + 27 = 0 cm. f'(3) = 27 − 36 + 9 = 0 cm/s.
Autre extremum (minimum) à t = 3 s, position 0 cm.
Étudier le signe de f'(t) sur [0 ; 4].
f'(t) = 3(t² − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3).
f'(t) > 0 sur [0 ; 1[ et ]3 ; 4]. f'(t) < 0 sur ]1 ; 3[.
f croissante puis décroissante puis croissante.
Trouver la vitesse maximale et minimale sur [0 ; 4].
f'(t) = 3t² − 12t + 9. Sommet (point extrême) : f''(t) = 6t − 12 = 0 → t = 2.
f'(2) = 12 − 24 + 9 = −3 cm/s (vitesse min, négative).
f'(0) = 9 cm/s, f'(4) = 9 cm/s (vitesse max aux bornes).
Donner l'équation de la tangente en t = 0.
f(0) = 0. f'(0) = 9.
Tangente : y = 9(t − 0) + 0 = 9 t.
Au début, la tête se déplace à 9 cm/s.
Décrire le mouvement de la tête de découpe en 4 lignes.
Mouvement tête CNC f(t) = t³−6t²+9t
• t = 0 à 1 s : avance vite (9→0 cm/s) jusqu'à 4 cm.
• t = 1 à 3 s : recul (vitesse négative, retour à 0 cm).
• t = 3 à 4 s : nouvelle avance.
• Mouvement complexe : trajet en aller-retour, typique d'une opération de fraisage en passes.
Calculer la distance totale parcourue (pas la position finale, mais la somme des avances et reculs).
Aller [0 ; 1] : +4 cm. Retour [1 ; 3] : f(1) − f(3) = 4 − 0 = 4 cm. Aller [3 ; 4] : f(4) − f(3) = (64 − 96 + 36) − 0 = 4 cm.
Total : 4 + 4 + 4 = 12 cm parcourus. (Position finale : 4 cm.)
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Nombre dérivé) et §2 (Tangente) de la leçon Ch06.