Chapitre 6 — Dérivée | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
La position d'une tête de découpe CNC en fonction du temps est : f(t) = t³ − 6t² + 9t (t en s, f en cm).
Calculer f'(t).
f'(t) = 3t² − 12t + 9.
Calculer f(1) et f'(1) (vitesse instantanée à t = 1 s).
f(1) = 1 − 6 + 9 = 4 cm.
f'(1) = 3 − 12 + 9 = 0 cm/s. Tête immobile à t = 1 s.
Donner l'équation de la tangente en t = 1.
Formule : y = f'(a)(t − a) + f(a).
y = 0 × (t − 1) + 4 = 4.
La tangente est horizontale au niveau y = 4. C'est un sommet (maximum local) de la courbe.
Calculer f(3) et f'(3).
f(3) = 27 − 54 + 27 = 0 cm. f'(3) = 27 − 36 + 9 = 0 cm/s.
Autre extremum (minimum) à t = 3 s, position 0 cm.
Étudier le signe de f'(t) sur [0 ; 4].
f'(t) = 3(t² − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3).
f'(t) > 0 sur [0 ; 1[ et ]3 ; 4]. f'(t) < 0 sur ]1 ; 3[.
f croissante puis décroissante puis croissante.
Trouver la vitesse maximale et minimale sur [0 ; 4].
f'(t) = 3t² − 12t + 9. Sommet (point extrême) : f''(t) = 6t − 12 = 0 → t = 2.
f'(2) = 12 − 24 + 9 = −3 cm/s (vitesse min, négative).
f'(0) = 9 cm/s, f'(4) = 9 cm/s (vitesse max aux bornes).
Donner l'équation de la tangente en t = 0.
f(0) = 0. f'(0) = 9.
Tangente : y = 9(t − 0) + 0 = 9 t.
Au début, la tête se déplace à 9 cm/s.
Décrire le mouvement de la tête de découpe en 4 lignes.
Mouvement tête CNC f(t) = t³−6t²+9t
• t = 0 à 1 s : avance vite (9→0 cm/s) jusqu'à 4 cm.
• t = 1 à 3 s : recul (vitesse négative, retour à 0 cm).
• t = 3 à 4 s : nouvelle avance.
• Mouvement complexe : trajet en aller-retour, typique d'une opération de fraisage en passes.
Calculer la distance totale parcourue (pas la position finale, mais la somme des avances et reculs).
Aller [0 ; 1] : +4 cm. Retour [1 ; 3] : f(1) − f(3) = 4 − 0 = 4 cm. Aller [3 ; 4] : f(4) − f(3) = (64 − 96 + 36) − 0 = 4 cm.
Total : 4 + 4 + 4 = 12 cm parcourus. (Position finale : 4 cm.)
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Nombre dérivé) et §2 (Tangente) de la leçon Ch06.