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Activité 2 – Coût marginal de production COMPLÉMENT GROUPEMENT C

Chapitre 6 — Dérivée | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Public visé Cette activité relève du module « Calculs commerciaux et financiers », réservé aux spécialités sans physique-chimie (groupement C). Elle constitue un complément et n'est pas exigible dans la progression du groupement B.
Objectifs :

Situation – production de fenêtres en bois

Hugo, gérant de FenêtresBois à Tours, modélise le coût total de production de x fenêtres par : C(x) = 0,1 x² + 50 x + 800 (en €). Le prix de vente unitaire est 80 €.

Problématique : Quel volume de production maximise le profit de Hugo ?

Question 1 REA

Calculer la fonction dérivée C'(x), utilisée ici pour approcher le coût marginal.

C'(x) = 0,2 x + 50.

(Dérivée de 0,1x² = 0,2x ; dérivée de 50x = 50 ; dérivée de 800 = 0.)

Pour une production importante, C'(x) approche le coût d'une unité supplémentaire.

Question 2 REA

Calculer C'(50), C'(100), C'(150).

C'(50) = 60 €. C'(100) = 70 €. C'(150) = 80 €.

Le coût marginal augmente avec la quantité produite.

Question 3 ANA

Que signifie « C'(100) = 70 € » dans ce modèle ?

Autour de 100 fenêtres produites, une unité supplémentaire augmente le coût total d'environ 70 €. Plus précisément, C(101) − C(100) = 70,1 € dans ce modèle.

Question 4 REA

Profit = recettes − coûts = 80 x − C(x). Calculer P(x) et P'(x).

P(x) = 80 x − (0,1 x² + 50 x + 800) = −0,1 x² + 30 x − 800.

P'(x) = −0,2 x + 30.

Question 5 ANA

Pour quelle valeur de x le profit est-il maximal ? (P'(x) = 0)

P'(x) = 0 → −0,2 x + 30 = 0 → x = 150.

Le profit est maximal pour 150 fenêtres produites.

P(150) = −2 250 + 4 500 − 800 = 1 450 €.

Question 6 ANA

Vérifier que x = 150 correspond à C'(x) = 80 (coût marginal approché = prix de vente). Pourquoi est-ce logique ?

C'(150) = 0,2 × 150 + 50 = 80 € ✔

Logique : tant que le coût marginal approché est inférieur au prix de vente, produire une unité de plus augmente le profit. L'égalité repère ici l'optimum du modèle continu.

Question 7 VAL

Tracer le tableau de signe de P'(x) et en déduire le tableau de variations de P sur [0 ; 200].

x
signe de P'(x)
variations de P

P'(x) > 0 si x < 150 ; P'(x) < 0 si x > 150.

P croissante sur [0 ; 150], décroissante sur [150 ; 200]. Maximum en x = 150 : P(150) = 1 450 €.

Question 8 COM

Hugo rédige sa stratégie de production. 4 lignes max.

Stratégie production — FenêtresBois
• Coût total : C(x) = 0,1 x² + 50 x + 800. Prix de vente : 80 €/unité.
• Profit max : x = 150 fenêtres → P = 1 450 €.
• Au-delà, la productivité diminue (coût marginal > prix de vente).
• Stratégie : viser 130-150 fenêtres/mois, ne pas surproduire.

Pour aller plus loin (bonus)

Si le prix de vente augmente à 90 €, recalculer le volume optimal.

P(x) = 90 x − C(x) = −0,1 x² + 40 x − 800. P'(x) = −0,2 x + 40 = 0 → x = 200.

Augmenter le prix permet de produire plus avec la même rentabilité marginale.

À retenir

📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Dérivée) et §3 (Variations) de la leçon Ch06.