Chapitre 6 — Dérivée et étude des variations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 12 juillet 2026, 10:15
Une question de cette activité (Q7) fait intervenir une dérivée seconde (accélération = dérivée de la vitesse), qui relève de la Terminale. Le programme de Première porte sur la dérivée première et l'étude des variations. Traiter Q7 en approfondissement (ou de façon qualitative).
En TP de physique au laboratoire du lycée, Sofiane et son binôme étudient le tir vertical d'un objet. Avec un système de capteurs ultrason, ils mesurent la hauteur de l'objet en fonction du temps après le lancer. Le professeur leur a fourni le modèle théorique correspondant à leur expérience :
Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis une plate-forme à 1 m du sol, avec une vitesse initiale de 20 m/s. La hauteur \(h\) (en m) de la balle au-dessus du sol au temps \(t\) (en s) est :
\( h(t) = -5\,t^2 + 20\,t + 1 \)
(h en m, t en s)
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Décrire en français le mouvement de la balle.
| \(t\) (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(t)\) (m) | … | … | … | … | … |
| \(t\) (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(t)\) (m) | 1 | 16 | 21 | 16 | 1 |
Calculs : \(h(0)=1\), \(h(1)=-5+20+1=16\), \(h(2)=-20+40+1=21\), \(h(3)=-45+60+1=16\), \(h(4)=-80+80+1=1\).
Le mouvement : la balle monte de \(t=0\) à \(t=2\) (de 1 m à 21 m), puis redescend de \(t=2\) à \(t=4\) (de 21 m à 1 m). Trajectoire symétrique autour de \(t=2\).
Calculer la dérivée \(v(t) = h'(t)\). Donner l'unité et expliquer ce qu'elle représente physiquement.
En appliquant les règles de dérivation : \(h(t) = -5 t^2 + 20 t + 1\) :
\(\mathbf{v(t) = h'(t) = -10\,t + 20}\) (en m/s).
Interprétation : c'est la vitesse instantanée de la balle. La dérivée d'une fonction position donne la vitesse à chaque instant.
Calculer \(v(0), v(1), v(2), v(3), v(4)\). Interpréter le signe et la valeur de chaque vitesse.
| \(t\) (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(v(t)\) (m/s) | +20 | +10 | 0 | -10 | -20 |
Résoudre \(v(t) = 0\). Que représente cette solution physiquement ? Calculer la hauteur correspondante.
\(v(t) = 0 \Leftrightarrow -10 t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = \mathbf{2}\) s.
C'est l'instant où la balle est à son point le plus haut (apogée) : elle a fini de monter mais n'a pas encore commencé à redescendre.
Hauteur correspondante : \(h(2) = -20 + 40 + 1 = \mathbf{21}\) m.
Donc la balle atteint son apogée à 21 m du sol, soit 20 m au-dessus de la plate-forme de lancer.
Étudier le signe de \(v(t)\) sur l'intervalle de vol, et dresser le tableau de variations de \(h(t)\).
Signe de \(v(t) = -10 t + 20\) :
Tableau de variations :
Maximum atteint à \(t=2\) s : \(h(2) = 21\) m.
À quel instant la balle touche-t-elle le sol (\(h(t) = 0\)) ? Quelle est alors sa vitesse ? Convertir en km/h.
Résoudre \(h(t) = 0\) : \(-5 t^2 + 20 t + 1 = 0\) ⇔ \(5 t^2 - 20 t - 1 = 0\).
Discriminant : \(\Delta = 400 + 20 = 420\), \(\sqrt{\Delta} \approx 20{,}49\).
Racines : \(t = \dfrac{20 \pm 20{,}49}{10}\). On retient \(t_2 = \dfrac{40{,}49}{10} = \mathbf{4{,}05}\) s (l'autre racine, négative, est rejetée).
Vitesse à l'impact : \(v(4{,}05) = -10 \times 4{,}05 + 20 = -40{,}5 + 20 = \mathbf{-20{,}5}\) m/s.
En valeur absolue : 20,5 m/s = \(20{,}5 \times 3{,}6 \approx \mathbf{73{,}8}\) km/h (vitesse d'impact, importante).
Calculer la dérivée seconde \(a(t) = v'(t)\). Interpréter physiquement. Vérifier la cohérence avec la valeur de \(g\).
\(v(t) = -10 t + 20\) → \(\mathbf{a(t) = v'(t) = -10}\) m/s² (constante).
Interprétation physique : c'est l'accélération de la pesanteur \(-g\), dirigée vers le bas (signe négatif car axe orienté vers le haut). Cette accélération est :
Cohérence : on a utilisé \(g = 10\) m/s² (valeur arrondie). La valeur exacte est 9,81 m/s² à Paris. ✓
Rédiger le compte rendu de TP de Sofiane (6 lignes).
Compte rendu TP – Tir vertical d'une balle
• Modèle : \(h(t) = -5 t² + 20 t + 1\) (m, t en s).
• Vitesse instantanée : \(v(t) = -10 t + 20\) (m/s).
• Apogée : \(v(t) = 0\) à \(t = 2\) s, hauteur \(h(2) = 21\) m.
• Retour au sol : \(t \approx 4{,}05\) s, vitesse d'impact ≈ 20,5 m/s soit 74 km/h.
• Accélération : \(a = -10\) m/s² constante, conforme à \(-g\) (pesanteur).
• Lien maths-physique : la dérivée d'une fonction position donne directement la vitesse, et la dérivée seconde donne l'accélération. La cinématique illustre concrètement la notion de dérivée.
Si on lançait la balle deux fois plus vite (40 m/s au lieu de 20), la balle monterait-elle deux fois plus haut ? Calculer la nouvelle apogée et comparer.
Nouveau modèle : \(h(t) = -5 t^2 + 40 t + 1\). Vitesse : \(v(t) = -10 t + 40\).
\(v(t) = 0\) à \(t = 4\) s. Apogée : \(h(4) = -80 + 160 + 1 = \mathbf{81}\) m.
Avec une vitesse ×2, l'apogée passe de 21 à 81 m (gain de 80 m, soit ≈ ×4 sur la partie utile au-dessus de la plate-forme). Effet quadratique : \(h_{max} \approx \dfrac{v_0^2}{2 g}\). Doubler \(v_0\) quadruple la hauteur — c'est pourquoi en sécurité (chute) on raisonne en énergie cinétique : \(\frac{1}{2} m v^2\).
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Dérivée) et §II (Signe de la dérivée et variations) de la leçon Ch06 + liens PC Ch05 (Mouvement) et Ch06 (Énergies mécaniques).