🪂 Activité 10 – Tir vertical d'un projectile : dérivée comme vitesse instantanée SCIENCES

Chapitre 6 — Dérivée et étude des variations | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 23 mai 2026

Objectifs :

Interpréter la dérivée d'une fonction position comme la vitesse instantanée
Trouver l'apogée d'une trajectoire verticale via la vitesse nulle
Calculer la durée totale de vol (résolution \(h(t) = 0\))
Calculer l'accélération comme dérivée de la vitesse
Faire le lien cinématique entre maths et physique

Situation — TP physique au lycée

En TP de physique au laboratoire du lycée, Sofiane et son binôme étudient le tir vertical d'un objet. Avec un système de capteurs ultrason, ils mesurent la hauteur de l'objet en fonction du temps après le lancer. Le professeur leur a fourni le modèle théorique correspondant à leur expérience :

Document 1 – Modèle cinématique

Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis une plate-forme à 1 m du sol, avec une vitesse initiale de 20 m/s. La hauteur \(h\) (en m) de la balle au-dessus du sol au temps \(t\) (en s) est :

\( h(t) = -5\,t^2 + 20\,t + 1 \)

(h en m, t en s)

Document 2 – Origine physique du modèle

Coefficient \(-5\) : c'est \(-g/2\) avec \(g = 10\) m/s² (accélération de la pesanteur sur Terre, valeur arrondie).
Coefficient \(20\) : c'est la vitesse initiale \(v_0 = 20\) m/s (≈ 72 km/h).
Constante \(1\) : c'est la hauteur initiale \(h_0 = 1\) m (plate-forme).
Forme générale : \(h(t) = -\dfrac{g}{2} t^2 + v_0 t + h_0\) (mouvement uniformément accéléré).

Document 3 – Vocabulaire de cinématique

Position : \(h(t)\), en mètres.
Vitesse instantanée : \(v(t) = h'(t)\), en m/s. Signe positif si on monte, négatif si on descend.
Accélération : \(a(t) = v'(t)\), en m/s². Constante en chute libre (= -g).
Apogée : point le plus haut, atteint quand \(v(t) = 0\).

Problématique : Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle, à quel instant, et quand touche-t-elle le sol ?

Question 1 APP

Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Décrire en français le mouvement de la balle.

\(t\) (s)	0	1	2	3	4
\(h(t)\) (m)	…	…	…	…	…

\(t\) (s)	0	1	2	3	4
\(h(t)\) (m)	1	16	21	16	1

Calculs : \(h(0)=1\), \(h(1)=-5+20+1=16\), \(h(2)=-20+40+1=21\), \(h(3)=-45+60+1=16\), \(h(4)=-80+80+1=1\).

Le mouvement : la balle monte de \(t=0\) à \(t=2\) (de 1 m à 21 m), puis redescend de \(t=2\) à \(t=4\) (de 21 m à 1 m). Trajectoire symétrique autour de \(t=2\).

Question 2 REA

Calculer la dérivée \(v(t) = h'(t)\). Donner l'unité et expliquer ce qu'elle représente physiquement.

En appliquant les règles de dérivation : \(h(t) = -5 t^2 + 20 t + 1\) :

\(\mathbf{v(t) = h'(t) = -10\,t + 20}\) (en m/s).

Interprétation : c'est la vitesse instantanée de la balle. La dérivée d'une fonction position donne la vitesse à chaque instant.

Question 3 REA

Calculer \(v(0), v(1), v(2), v(3), v(4)\). Interpréter le signe et la valeur de chaque vitesse.

\(t\) (s)	0	1	2	3	4
\(v(t)\) (m/s)	+20	+10	0	-10	-20

\(t=0\) : vitesse +20 m/s (montée rapide, vitesse de lancer).
\(t=1\) : vitesse +10 m/s (montée plus lente).
\(t=2\) : vitesse 0 (balle immobile en l'air un instant : apogée).
\(t=3\) : vitesse -10 m/s (descente, sens opposé).
\(t=4\) : vitesse -20 m/s (descente rapide, retour à la plate-forme).

Question 4 ANA

Résoudre \(v(t) = 0\). Que représente cette solution physiquement ? Calculer la hauteur correspondante.

\(v(t) = 0 \Leftrightarrow -10 t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = \mathbf{2}\) s.

C'est l'instant où la balle est à son point le plus haut (apogée) : elle a fini de monter mais n'a pas encore commencé à redescendre.

Hauteur correspondante : \(h(2) = -20 + 40 + 1 = \mathbf{21}\) m.

Donc la balle atteint son apogée à 21 m du sol, soit 20 m au-dessus de la plate-forme de lancer.

Question 5 ANA

Étudier le signe de \(v(t)\) sur l'intervalle de vol, et dresser le tableau de variations de \(h(t)\).

Signe de \(v(t) = -10 t + 20\) :

Si \(t < 2\) : \(v(t) > 0\) → \(h\) croît (la balle monte).
Si \(t > 2\) : \(v(t) < 0\) → \(h\) décroît (la balle descend).

Tableau de variations :

\(t\) (s)	0	2	4,05
\(v(t)\)	+	0	−
\(h(t)\)	1 ↗	21	↘ 0

Maximum atteint à \(t=2\) s : \(h(2) = 21\) m.

Question 6 REA

À quel instant la balle touche-t-elle le sol (\(h(t) = 0\)) ? Quelle est alors sa vitesse ? Convertir en km/h.

Résoudre \(h(t) = 0\) : \(-5 t^2 + 20 t + 1 = 0\) ⇔ \(5 t^2 - 20 t - 1 = 0\).

Discriminant : \(\Delta = 400 + 20 = 420\), \(\sqrt{\Delta} \approx 20{,}49\).

Racines : \(t = \dfrac{20 \pm 20{,}49}{10}\). On retient \(t_2 = \dfrac{40{,}49}{10} = \mathbf{4{,}05}\) s (l'autre racine, négative, est rejetée).

Vitesse à l'impact : \(v(4{,}05) = -10 \times 4{,}05 + 20 = -40{,}5 + 20 = \mathbf{-20{,}5}\) m/s.

En valeur absolue : 20,5 m/s = \(20{,}5 \times 3{,}6 \approx \mathbf{73{,}8}\) km/h (vitesse d'impact, importante).

Question 7 VAL

Calculer la dérivée seconde \(a(t) = v'(t)\). Interpréter physiquement. Vérifier la cohérence avec la valeur de \(g\).

\(v(t) = -10 t + 20\) → \(\mathbf{a(t) = v'(t) = -10}\) m/s² (constante).

Interprétation physique : c'est l'accélération de la pesanteur \(-g\), dirigée vers le bas (signe négatif car axe orienté vers le haut). Cette accélération est :

indépendante du temps,
indépendante de la vitesse,
indépendante de la masse de la balle (Galilée).

Cohérence : on a utilisé \(g = 10\) m/s² (valeur arrondie). La valeur exacte est 9,81 m/s² à Paris. ✓

Question 8 COM

Rédiger le compte rendu de TP de Sofiane (6 lignes).

Compte rendu TP – Tir vertical d'une balle
• Modèle : \(h(t) = -5 t² + 20 t + 1\) (m, t en s).
• Vitesse instantanée : \(v(t) = -10 t + 20\) (m/s).
• Apogée : \(v(t) = 0\) à \(t = 2\) s, hauteur \(h(2) = 21\) m.
• Retour au sol : \(t \approx 4{,}05\) s, vitesse d'impact ≈ 20,5 m/s soit 74 km/h.
• Accélération : \(a = -10\) m/s² constante, conforme à \(-g\) (pesanteur).
• Lien maths-physique : la dérivée d'une fonction position donne directement la vitesse, et la dérivée seconde donne l'accélération. La cinématique illustre concrètement la notion de dérivée.

Pour aller plus loin (bonus)

Si on lançait la balle deux fois plus vite (40 m/s au lieu de 20), la balle monterait-elle deux fois plus haut ? Calculer la nouvelle apogée et comparer.

Nouveau modèle : \(h(t) = -5 t^2 + 40 t + 1\). Vitesse : \(v(t) = -10 t + 40\).

\(v(t) = 0\) à \(t = 4\) s. Apogée : \(h(4) = -80 + 160 + 1 = \mathbf{81}\) m.

Avec une vitesse ×2, l'apogée passe de 21 à 81 m (gain de 80 m, soit ≈ ×4 sur la partie utile au-dessus de la plate-forme). Effet quadratique : \(h_{max} \approx \dfrac{v_0^2}{2 g}\). Doubler \(v_0\) quadruple la hauteur — c'est pourquoi en sécurité (chute) on raisonne en énergie cinétique : \(\frac{1}{2} m v^2\).

À retenir

Si \(h(t)\) est la position, alors \(v(t) = h'(t)\) est la vitesse instantanée.
Si \(v(t)\) est la vitesse, alors \(a(t) = v'(t)\) est l'accélération.
L'apogée d'une trajectoire verticale est trouvée en résolvant \(v(t) = 0\) (changement de sens du mouvement).
Le retour au sol s'obtient en résolvant \(h(t) = 0\) (équation du 2^nd degré).
En chute libre, l'accélération est constante : \(a = -g \approx -9{,}81\) m/s² (souvent arrondi à -10 m/s²).
La dérivée a une interprétation cinématique concrète : maths et physique se rejoignent.

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Dérivée) et §II (Signe de la dérivée et variations) de la leçon Ch06 + liens PC Ch05 (Mouvement) et Ch06 (Énergies mécaniques).