Fonctions polynômes de degré 2 – QCM

Question 1

Reconnaître une fonction polynôme de degré 2

Laquelle de ces expressions est une fonction polynôme de degré 2 ?

\(f(x) = 3x + 5\) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) \(f(x) = x^3 + 2x\) \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\)

Question 2

Identifier les coefficients

Dans \(f(x) = 4x^2 - 7x + 3\), le coefficient \(a\) vaut :

\(-7\) \(3\) \(4\) \(-4\)

Question 3

Sens d'ouverture de la parabole

Pour \(f(x) = -3x^2 + 2x - 1\), la parabole est :

tournée vers le bas (forme ∩) tournée vers le haut (forme U) une droite horizontale impossible à déterminer

Question 4

Ordonnée à l'origine

Pour \(f(x) = 5x^2 - 2x + 7\), on a \(f(0) =\) :

\(5\) \(-2\) \(0\) \(7\)

Question 5

Calcul d'une image

Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). On cherche \(f(2)\). Le résultat est :

\(7\) \(-1\) \(3\) \(4\)

Question 6

Tester une racine

Soit \(f(x) = x^2 - x - 6\). On calcule \(f(3)\). Le résultat est :

\(-4\) \(6\) \(0\) \(3\)

Question 7

Définition d'une racine

Un nombre \(x_0\) est une racine de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) si :

\(f(x_0) = 0\) \(f(x_0) = 1\) \(x_0 = 0\) \(f(x_0) = x_0\)

Question 8

Axe de symétrie

Pour \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\), l'équation de l'axe de symétrie est :

\(x = x_1 \times x_2\) \(x = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) \(x = x_2 - x_1\) \(x = a\)

Question 9

Sens de la parabole – a > 0

Si \(a > 0\), le sommet de la parabole est :

un maximum un point d'inflexion la valeur de \(c\) un minimum

Question 10

Nombre de racines

Graphiquement, une parabole peut couper l'axe des abscisses :

0, 1 ou 2 fois exactement 1 fois exactement 2 fois 0 ou 3 fois

Question 11

Calcul de l'axe de symétrie

Pour \(f(x) = 2(x - 1)(x - 3)\), l'abscisse du sommet \(x_S\) vaut :

\(-2\) \(3\) \(2\) \(4\)

Question 12

Forme factorisée

Si \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\) sont les racines de \(f(x) = x^2 - 4x + 3\), la forme factorisée est :

\((x + 1)(x + 3)\) \((x - 1)(x - 3)\) \((x - 1)(x + 3)\) \(x(x - 4)\)

Question 13

Terme constant

Pour \(f(x) = 3x^2 + 5x - 8\), le terme constant \(c\) vaut :

\(3\) \(5\) \(0\) \(-8\)

Question 14

Vérifier une racine – Calcul guidé

Soit \(f(x) = x^2 + x - 2\). On calcule \(f(1)\) :

\(0\) — donc 1 est une racine \(2\) — donc 1 n'est pas une racine \(-2\) — donc 1 est une racine \(4\) — donc 1 n'est pas une racine

Question 15

Signe de a et forme de la parabole

Pour \(g(x) = -x^2 + 4\), le sommet de la parabole est :

un minimum car \(a = -1 < 0\) un minimum car \(a = 1 > 0\) un maximum car \(a = -1 < 0\) indéterminé

Question 1

Identifier les coefficients et la forme

Pour \(f(x) = -2x^2 + 6x - 4\), quel est le coefficient dominant \(a\) et quel est le sens d'ouverture de la parabole ?

\(a = 6\), parabole vers le haut \(a = -2\), parabole vers le bas \(a = -4\), parabole vers le bas \(a = 2\), parabole vers le haut

Question 2

Calcul du sommet

Pour \(f(x) = (x - 1)(x - 5)\), l'abscisse du sommet est :

\(x_S = -3\) \(x_S = 6\) \(x_S = 3\) \(x_S = -6\)

Question 3

Coordonnées du sommet

Pour \(f(x) = (x - 1)(x - 5)\) (avec \(x_S = 3\)), l'ordonnée du sommet \(f(3)\) vaut :

\(-4\) \(5\) \(0\) \(14\)

Question 4

Racines par test de valeurs

Soit \(f(x) = x^2 - 5x + 6\). Parmi les valeurs proposées, lesquelles sont les deux racines ?

\(x_1 = 1\) et \(x_2 = 6\) \(x_1 = -2\) et \(x_2 = -3\) \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\) \(x_1 = 2\) et \(x_2 = 3\)

Question 5

Forme factorisée

Les racines de \(f(x) = 2x^2 - 10x + 12\) sont \(x_1 = 2\) et \(x_2 = 3\). La forme factorisée est :

\((x - 2)(x - 3)\) \(2(x - 2)(x - 3)\) \(2(x + 2)(x + 3)\) \(2(x - 2)(x + 3)\)

Question 6

Trouver la seconde racine

Pour \(f(x) = x^2 - 5x + 4\), on sait que \(x_1 = 1\) est une racine. La seconde racine est :

\(x_2 = 1\) \(x_2 = -4\) \(x_2 = 4\) \(x_2 = 5\)

Question 7

Associer une parabole à une expression

Une parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,-3)\). Laquelle de ces expressions peut lui correspondre ?

\(x^2 + 2x - 3\) \(-x^2 + 2x - 3\) \(x^2 + 2x + 3\) \(-x^2 - 2x + 3\)

Question 8

Application – Trajectoire d'un objet

La hauteur d'une balle est modélisée par \(h(x) = -0{,}5x(x - 6)\). L'abscisse du point le plus haut est :

\(x = -3\) \(x = 1\) \(x = 6\) \(x = 3\)

Question 9

Signe d'un polynôme – a > 0

Pour \(f(x) = (x - 1)(x - 4)\) (avec \(a > 0\)), le signe de \(f(x)\) sur \(]1\,;\,4[\) est :

positif négatif nul impossible à déterminer

Question 10

Lire deux racines

Pour \(f(x)=(x-2)(x-5)\), additionner les deux racines donne :

\(10\) \(-7\) \(7\) \(-10\)

Question 11

Lire deux racines

Pour \(f(x)=(x-2)(x-5)\), multiplier les deux racines donne :

\(10\) \(-7\) \(7\) \(-10\)

Question 12

Application – Surface d'un panneau

Un menuisier modélise l'aire d'un panneau par \(A(x) = (x+2)(x-1) = x^2 + x - 2\). Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(A(x) = 0\) sont :

\(x = 1\) uniquement, car une aire ne peut pas être négative \(x = 2\) et \(x = -1\) \(x = 0\) uniquement \(x = -2\) et \(x = 1\), ce sont les racines

Question 13

Signe – En dehors des racines

Pour \(f(x) = 2(x-1)(x-4)\) (avec \(a = 2 > 0\)), le signe de \(f(x)\) sur \(]-\infty\,;\,1[\) est :

négatif positif nul égal à \(2\)

Question 14

Maximum – Contexte sport

La hauteur (en m) d'un ballon est modélisée par \(h(x) = -0{,}5x(x - 6)\). La hauteur maximale atteinte est :

\(3\) m \(6\) m \(4{,}5\) m \(9\) m

Question 15

Racine double

Le polynôme \(f(x) = (x - 3)^2\) admet :

une racine double \(x_0 = 3\) deux racines distinctes : \(x_1 = 3\) et \(x_2 = -3\) aucune racine réelle une racine \(x_0 = 9\)

Question 1

Une racine connue – trouver la seconde

Pour \(f(x) = x^2 - 5x + 4\), on vérifie que \(f(1) = 0\). On donne \(f(x)=(x-1)(x-4)\). La seconde racine est :

\(x_2 = -4\) \(x_2 = 5\) \(x_2 = 4\) \(x_2 = -1\)

Question 2

Nombre de racines – lecture du sommet

Pour \(f(x) = x^2 + 2x + 5\), le sommet de la parabole est \(S(-1\;;\;4)\) et \(a = 1 > 0\). Combien de racines réelles a ce polynôme ?

Deux racines réelles distinctes Aucune racine réelle Une racine double Exactement une racine positive

Question 3

Racines et forme factorisée

Pour \(f(x) = x^2 - 5x + 6\), on vérifie que \(f(2) = 0\). On donne \(f(x)=(x-2)(x-3)\). Les deux racines sont :

\(x_1 = 1\) et \(x_2 = 6\) \(x_1 = -2\) et \(x_2 = -3\) \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\) \(x_1 = 2\) et \(x_2 = 3\)

Question 4

Inéquation – Résoudre f(x) ≥ 0

Pour \(f(x) = (x - 2)(x - 5)\) (\(a = 1 > 0\)), résoudre \(f(x) \geq 0\) donne :

\(x \leq 2\) ou \(x \geq 5\) \(2 \leq x \leq 5\) \(x \leq -2\) ou \(x \geq -5\) \(x \geq 0\)

Question 5

Inéquation – f(x) ≤ 0

Pour \(f(x) = (x - 1)(x - 4)\) (\(a = 1 > 0\)), résoudre \(f(x) \leq 0\) donne :

\(x \leq 1\) ou \(x \geq 4\) \(x < 0\) \(1 \leq x \leq 4\) \(-4 \leq x \leq -1\)

Question 6

Optimisation – Profit maximal

Le profit d'un artisan menuisier est modélisé par \(P(x) = -2(x - 1)(x - 9)\) (en centaines d'euros), où \(x\) est le nombre de meubles vendus. Le nombre de meubles qui maximise le profit est :

\(x = 10\) \(x = 5\) \(x = 20\) \(x = -5\)

Question 7

Optimisation – Valeur maximale

Pour \(P(x) = -2(x - 1)(x - 9)\) (avec le sommet en \(x = 5\)), le profit maximal vaut, en centaines d'euros :

\(16\) \(-32\) \(5\) \(32\)

Question 8

Signe – a < 0

Pour \(f(x) = -(x - 2)(x - 6)\) (\(a = -1 < 0\)), le signe de \(f(x)\) sur \(]2\,;\,6[\) est :

positif négatif nul impossible à déterminer

Question 9

Seconde racine – coefficient a

Pour \(f(x) = 3x^2 - 3x - 18\), on sait que 3 est une racine. En écrivant \(f(x) = 3(x - 3)(x - r)\), la seconde racine \(r\) est :

\(r = -6\) \(r = 2\) \(r = -2\) \(r = 6\)

Question 10

Application – Dimensions d'un enclos

Un installateur d'agencement veut clôturer un espace rectangulaire avec 20 m de clôture. Si la largeur est \(x\), la longueur est \(10 - x\) et l'aire est \(A(x) = x(10-x)\). La largeur qui maximise l'aire est :

\(x = 10\) \(x = 5\) \(x = 2{,}5\) \(x = 20\)

Question 11

Inéquation de degré 2 – Contexte

L'aire d'un panneau vérifie \(A(x) = x^2 + x - 2 \geq 0\). Les racines de \(A\) sont \(x = 1\) et \(x = -2\) (\(a = 1 > 0\)). L'ensemble des solutions est :

\(-2 \leq x \leq 1\) \(x \leq -2\) \(x \leq 1\) \(x \leq -2\) ou \(x \geq 1\)

Question 12

Racine double – forme factorisée

Pour \(f(x) = x^2 - 4x + 4\), la forme factorisée est \(f(x) = (x - 2)^2\). La racine double est :

\(x_0 = 2\) \(x_0 = 4\) \(x_0 = -2\) \(x_0 = 0\)

Question 13

Résoudre f(x) = k

Pour \(f(x) = x^2 - 4\), résoudre \(f(x) = 0\) revient à trouver les racines. Elles sont :

\(x = 4\) uniquement \(x = 0\) uniquement \(x = -2\) et \(x = 2\) Aucune racine réelle

Question 14

Problème – Optimisation

Le bénéfice d'un fabricant de meubles est modélisé par \(B(x) = -3(x - 1)(x - 5)\) (en k€). Quel est le bénéfice maximal ?

\(B = 18\) k€ \(B = 12\) k€ \(B = 15\) k€ \(B = 3\) k€

Question 15

Signe et inéquation – Problème ouvert

Pour \(f(x) = -2(x - 1)(x - 5)\), résoudre \(f(x) < 0\) donne :

\(1 < x < 5\) \(x \leq 1\) ou \(x \geq 5\) \(x < 0\) \(x < 1\) ou \(x > 5\)