Fonctions polynômes de degré 2 — 1ère Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) :
a) \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
b) \(g(x) = -x^2 + 4\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
c) La fonction \(h(x) = 2x + 7\) est-elle un polynôme de degré 2 ? Justifier.
a) \(a = \mathbf{3}\), \(b = \mathbf{-5}\), \(c = \mathbf{2}\)
b) \(a = \mathbf{-1}\), \(b = \mathbf{0}\), \(c = \mathbf{4}\)
c) Non. Il n'y a pas de terme en \(x^2\) (\(a = 0\)). C'est un polynôme de degré 1 (fonction affine).
Pour chaque fonction, indiquer le sens d'ouverture de la parabole et si le sommet est un minimum ou un maximum :
a) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) → \(a = 2\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
b) \(g(x) = -4x^2 + x\) → \(a = ...\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
a) \(a = 2 > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.
b) \(a = -4 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). Ici \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\).
a) Calculer \(x_S = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = \dfrac{...}{...} = ...\)
b) Calculer \(f(x_S) = (...)^2 - 6 \times (...) + 5 = ...\)
c) Donner les coordonnées du sommet \(S(...\,;\,...)\).
a) \(x_S = -\dfrac{-6}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}\)
b) \(f(3) = 9 - 18 + 5 = \mathbf{-4}\)
c) Le sommet est \(S(\mathbf{3}\,;\,\mathbf{-4})\). Comme \(a = 1 > 0\), c'est un minimum.
Soit \(f(x) = x^2 - 5x + 6\).
a) Calculer \(f(2) = (2)^2 - 5 \times 2 + 6 = ...\). Le nombre 2 est-il racine ?
b) Calculer \(f(3) = (3)^2 - 5 \times 3 + 6 = ...\). Le nombre 3 est-il racine ?
c) Calculer \(f(0) = ...\). Le nombre 0 est-il racine ?
a) \(f(2) = 4 - 10 + 6 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 2\) est une racine.
b) \(f(3) = 9 - 15 + 6 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 3\) est une racine.
c) \(f(0) = 0 - 0 + 6 = \mathbf{6} \neq 0\). Non, \(x = 0\) n'est pas une racine.
On a trouvé que \(f(x) = x^2 - 5x + 6\) a pour racines \(x_1 = 2\) et \(x_2 = 3\), avec \(a = 1\).
a) Écrire la forme factorisée : \(f(x) = 1 \times (x - ...)(x - ...) = ...\)
b) Vérifier en développant : \((x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = ...\)
a) \(f(x) = (x - 2)(x - 3)\)
b) \((x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6\) ✓
Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) :
a) \(f(x) = 5x^2 + 3x - 1\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
b) \(g(x) = -2x^2 + 9\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
c) La fonction \(h(x) = 4x - 3\) est-elle un polynôme de degré 2 ? Justifier.
a) \(a = \mathbf{5}\), \(b = \mathbf{3}\), \(c = \mathbf{-1}\)
b) \(a = \mathbf{-2}\), \(b = \mathbf{0}\), \(c = \mathbf{9}\)
c) Non. Il n'y a pas de terme en \(x^2\) (\(a = 0\)). C'est un polynôme de degré 1 (fonction affine).
Pour chaque fonction, indiquer le sens d'ouverture de la parabole et si le sommet est un minimum ou un maximum :
a) \(f(x) = 3x^2 + 2x - 4\) → \(a = 3\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
b) \(g(x) = -5x^2 + 7x\) → \(a = ...\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
a) \(a = 3 > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.
b) \(a = -5 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Ici \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).
a) Calculer \(x_S = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = \dfrac{...}{...} = ...\)
b) Calculer \(f(x_S) = (...)^2 - 4 \times (...) + 3 = ...\)
c) Donner les coordonnées du sommet \(S(...\,;\,...)\).
a) \(x_S = -\dfrac{-4}{2} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2}\)
b) \(f(2) = 4 - 8 + 3 = \mathbf{-1}\)
c) Le sommet est \(S(\mathbf{2}\,;\,\mathbf{-1})\). Comme \(a = 1 > 0\), c'est un minimum.
Soit \(f(x) = x^2 - 7x + 12\).
a) Calculer \(f(3) = (3)^2 - 7 \times 3 + 12 = ...\). Le nombre 3 est-il racine ?
b) Calculer \(f(4) = (4)^2 - 7 \times 4 + 12 = ...\). Le nombre 4 est-il racine ?
c) Calculer \(f(1) = ...\). Le nombre 1 est-il racine ?
a) \(f(3) = 9 - 21 + 12 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 3\) est une racine.
b) \(f(4) = 16 - 28 + 12 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 4\) est une racine.
c) \(f(1) = 1 - 7 + 12 = \mathbf{6} \neq 0\). Non, \(x = 1\) n'est pas une racine.
On a trouvé que \(f(x) = x^2 - 7x + 12\) a pour racines \(x_1 = 3\) et \(x_2 = 4\), avec \(a = 1\).
a) Écrire la forme factorisée : \(f(x) = 1 \times (x - ...)(x - ...) = ...\)
b) Vérifier en développant : \((x - 3)(x - 4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = ...\)
a) \(f(x) = (x - 3)(x - 4)\)
b) \((x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12\) ✓
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x - 6\).
a) Identifier \(a\), \(b\), \(c\) et le sens d'ouverture de la parabole.
b) Calculer les coordonnées du sommet.
c) Préciser si le sommet est un minimum ou un maximum.
a) \(a = -2\), \(b = 8\), \(c = -6\). Comme \(a = -2 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas.
b) \(x_S = -\dfrac{8}{2 \times (-2)} = -\dfrac{8}{-4} = \mathbf{2}\)
\(f(2) = -2 \times 4 + 8 \times 2 - 6 = -8 + 16 - 6 = \mathbf{2}\)
Le sommet est \(S(2\,;\,2)\).
c) Comme \(a < 0\), le sommet est un maximum. La valeur maximale de \(f\) est 2.
Soit \(f(x) = x^2 - 2x - 8\).
a) Vérifier que \(x_1 = 4\) est une racine de \(f\).
b) Trouver la seconde racine \(x_2\) en utilisant la relation : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\).
c) Écrire la forme factorisée de \(f(x)\).
d) Vérifier par développement.
a) \(f(4) = 16 - 8 - 8 = \mathbf{0}\) ✓. Oui, \(x_1 = 4\) est bien une racine.
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{-2}{1} = 2\). Donc \(x_2 = 2 - 4 = \mathbf{-2}\).
Vérification : \(f(-2) = 4 + 4 - 8 = 0\) ✓
c) \(f(x) = (x - 4)(x + 2)\)
d) \((x-4)(x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8\) ✓
Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x - 5)\).
a) Quelles sont les racines de \(f\) ?
b) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
c) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).
a) Les racines sont \(x_1 = \mathbf{1}\) et \(x_2 = \mathbf{5}\).
b) Comme \(a = 2 > 0\), le signe est celui de \(a\) en dehors des racines :
| \(x\) | \(-\infty\) | 1 | 5 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | + | 0 | − | 0 | + | ||
c) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{1}\,;\,\mathbf{5}]\).
La hauteur (en mètres) d'un ballon lancé est modélisée par \(h(x) = -0{,}5x^2 + 4x\), où \(x\) est la distance horizontale (en m).
a) Calculer les coordonnées du sommet.
b) Interpréter : quelle est la hauteur maximale et à quelle distance ?
a) \(x_S = -\dfrac{4}{2 \times (-0{,}5)} = -\dfrac{4}{-1} = \mathbf{4}\) m
\(h(4) = -0{,}5 \times 16 + 4 \times 4 = -8 + 16 = \mathbf{8}\) m
Le sommet est \(S(4\,;\,8)\).
b) Le ballon atteint sa hauteur maximale de 8 m à une distance horizontale de 4 m.
On cherche une racine de \(f(x) = x^2 - 3\) par balayage. On sait que \(f(1) = -2 < 0\) et \(f(2) = 1 > 0\).
a) Pourquoi y a-t-il une racine entre 1 et 2 ?
b) On teste \(f(1{,}7) = -0{,}11\) et \(f(1{,}8) = 0{,}24\). Encadrer la racine au dixième près.
a) \(f(1) < 0\) et \(f(2) > 0\) : il y a un changement de signe, donc il existe une racine dans \(]1\,;\,2[\).
b) \(f(1{,}7) < 0\) et \(f(1{,}8) > 0\) : la racine est dans \([\mathbf{1{,}7}\,;\,\mathbf{1{,}8}]\). On a \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).
Soit \(f(x) = -3x^2 + 12x - 9\).
a) Identifier \(a\), \(b\), \(c\) et le sens d'ouverture de la parabole.
b) Calculer les coordonnées du sommet.
c) Préciser si le sommet est un minimum ou un maximum.
a) \(a = -3\), \(b = 12\), \(c = -9\). Comme \(a = -3 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas.
b) \(x_S = -\dfrac{12}{2 \times (-3)} = -\dfrac{12}{-6} = \mathbf{2}\)
\(f(2) = -3 \times 4 + 12 \times 2 - 9 = -12 + 24 - 9 = \mathbf{3}\)
Le sommet est \(S(2\,;\,3)\).
c) Comme \(a < 0\), le sommet est un maximum. La valeur maximale de \(f\) est 3.
Soit \(f(x) = x^2 - x - 12\).
a) Vérifier que \(x_1 = 4\) est une racine de \(f\).
b) Trouver la seconde racine \(x_2\) en utilisant la relation : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\).
c) Écrire la forme factorisée de \(f(x)\).
d) Vérifier par développement.
a) \(f(4) = 16 - 4 - 12 = \mathbf{0}\) ✓. Oui, \(x_1 = 4\) est bien une racine.
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{-1}{1} = 1\). Donc \(x_2 = 1 - 4 = \mathbf{-3}\).
Vérification : \(f(-3) = 9 + 3 - 12 = 0\) ✓
c) \(f(x) = (x - 4)(x + 3)\)
d) \((x-4)(x+3) = x^2 + 3x - 4x - 12 = x^2 - x - 12\) ✓
Soit \(f(x) = 3(x - 2)(x - 6)\).
a) Quelles sont les racines de \(f\) ?
b) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\).
c) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).
a) Les racines sont \(x_1 = \mathbf{2}\) et \(x_2 = \mathbf{6}\).
b) Comme \(a = 3 > 0\), le signe est celui de \(a\) en dehors des racines :
| \(x\) | \(-\infty\) | 2 | 6 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | + | 0 | − | 0 | + | ||
c) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{2}\,;\,\mathbf{6}]\).
La hauteur (en mètres) d'une balle lancée est modélisée par \(h(x) = -x^2 + 6x\), où \(x\) est la distance horizontale (en m).
a) Calculer les coordonnées du sommet.
b) Interpréter : quelle est la hauteur maximale et à quelle distance ?
a) \(x_S = -\dfrac{6}{2 \times (-1)} = -\dfrac{6}{-2} = \mathbf{3}\) m
\(h(3) = -9 + 18 = \mathbf{9}\) m
Le sommet est \(S(3\,;\,9)\).
b) La balle atteint sa hauteur maximale de 9 m à une distance horizontale de 3 m.
On cherche une racine de \(f(x) = x^2 - 5\) par balayage. On sait que \(f(2) = -1 < 0\) et \(f(3) = 4 > 0\).
a) Pourquoi y a-t-il une racine entre 2 et 3 ?
b) On teste \(f(2{,}2) = -0{,}16\) et \(f(2{,}3) = 0{,}29\). Encadrer la racine au dixième près.
a) \(f(2) < 0\) et \(f(3) > 0\) : il y a un changement de signe, donc il existe une racine dans \(]2\,;\,3[\).
b) \(f(2{,}2) < 0\) et \(f(2{,}3) > 0\) : la racine est dans \([\mathbf{2{,}2}\,;\,\mathbf{2{,}3}]\). On a \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\).
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur modélise le coût de découpe (en €) d'une bande de bois de longueur \(x\) mètres par \(C(x) = 2x^2 - 12x + 16\).
a) Vérifier que \(x_1 = 2\) est une racine.
b) Trouver la seconde racine par la méthode de la somme des racines.
c) Écrire la forme factorisée.
d) Pour quelles longueurs le coût de découpe est-il négatif (ce qui n'a pas de sens) ?
a) \(C(2) = 2 \times 4 - 12 \times 2 + 16 = 8 - 24 + 16 = \mathbf{0}\) ✓
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-12}{2} = 6\). Donc \(x_2 = 6 - 2 = \mathbf{4}\).
Vérification : \(C(4) = 2 \times 16 - 48 + 16 = 0\) ✓
c) \(C(x) = 2(x - 2)(x - 4)\)
d) Comme \(a = 2 > 0\), \(C(x) < 0\) entre les racines, soit pour \(x \in ]2\,;\,4[\). Le modèle n'est pas valide pour ces longueurs.
On considère \(f(x) = -3(x + 1)(x - 3)\).
a) Donner les racines de \(f\) et le signe de \(a\).
b) Dresser le tableau de signes complet de \(f(x)\).
c) Résoudre \(f(x) \geqslant 0\).
d) Calculer les coordonnées du sommet. Développer d'abord \(f(x)\) pour identifier \(b\).
a) Racines : \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 3\). Coefficient : \(a = -3 < 0\).
b) Quand \(a < 0\), le signe est positif entre les racines :
| \(x\) | \(-\infty\) | −1 | 3 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | − | 0 | + | 0 | − | ||
c) \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{-1}\,;\,\mathbf{3}]\).
d) Développement : \(f(x) = -3(x^2 - 2x - 3) = -3x^2 + 6x + 9\). Donc \(a = -3\), \(b = 6\).
\(x_S = -\dfrac{6}{2 \times (-3)} = -\dfrac{6}{-6} = \mathbf{1}\)
\(f(1) = -3(1+1)(1-3) = -3 \times 2 \times (-2) = \mathbf{12}\)
Le sommet est \(S(1\,;\,12)\). C'est un maximum car \(a < 0\).
Un métreur modélise l'aire \(A(x)\) (en m²) d'un panneau rectangulaire dont la largeur est \((x + 3)\) et la hauteur est \((x - 2)\), avec \(x > 2\).
a) Développer \(A(x) = (x+3)(x-2)\) sous la forme \(ax^2 + bx + c\).
b) Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle nulle ? (racine positive uniquement, car \(x > 2\))
c) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole.
d) L'aire peut-elle valoir 10 m² ? Résoudre \(A(x) = 10\) par balayage entre \(x = 3\) et \(x = 5\).
a) \(A(x) = x^2 - 2x + 3x - 6 = \mathbf{x^2 + x - 6}\). Donc \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\).
b) Les racines sont celles de \((x+3)(x-2) = 0\), soit \(x = -3\) ou \(x = 2\). Comme \(x > 2\), l'aire est nulle pour \(x = \mathbf{2}\) (et la racine \(x = -3\) n'a pas de sens physique).
c) \(x_S = -\dfrac{1}{2 \times 1} = -0{,}5\)
\(A(-0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25\)
Sommet : \(S(-0{,}5\,;\,-6{,}25)\). Mais ce sommet est hors du domaine \(x > 2\).
d) On résout \(x^2 + x - 6 = 10\), soit \(x^2 + x - 16 = 0\). Posons \(h(x) = x^2 + x - 16\).
Changement de signe entre 3 et 4. Balayage :
La solution est dans \([3{,}5\,;\,3{,}6]\), soit \(x \approx \mathbf{3{,}5}\) mètres.
La trajectoire d'un objet lancé est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 15t + 2\) où \(h\) est la hauteur en mètres et \(t\) le temps en secondes.
a) Calculer les coordonnées du sommet. Interpréter physiquement.
b) Vérifier que \(h(0) = 2\). Que représente cette valeur ?
c) Quand l'objet retouche-t-il le sol ? Utiliser le balayage entre \(t = 3\) et \(t = 4\) pour encadrer la solution au dixième.
d) Pendant combien de temps (environ) l'objet est-il au-dessus de 10 m ? Tester \(h(t) = 10\).
a) \(t_S = -\dfrac{15}{2 \times (-5)} = -\dfrac{15}{-10} = \mathbf{1{,}5}\) s
\(h(1{,}5) = -5 \times 2{,}25 + 15 \times 1{,}5 + 2 = -11{,}25 + 22{,}5 + 2 = \mathbf{13{,}25}\) m
L'objet atteint sa hauteur maximale de 13,25 m après 1,5 seconde.
b) \(h(0) = 0 + 0 + 2 = \mathbf{2}\) m. C'est la hauteur initiale de l'objet au moment du lancer.
c) On cherche \(t > 0\) tel que \(h(t) = 0\) :
L'objet touche le sol entre \(t = 3{,}1\) et \(t = 3{,}2\) s, soit environ \(t \approx \mathbf{3{,}1}\) s.
d) On résout \(-5t^2 + 15t + 2 = 10\), soit \(-5t^2 + 15t - 8 = 0\).
L'objet est au-dessus de 10 m entre \(t \approx 0{,}7\) s et \(t \approx 2{,}3\) s, soit pendant environ 1,6 seconde.
Un installateur thermique modélise le coût de maintenance (en €) d'une chaudière en fonction de son âge \(x\) (en années) par \(C(x) = 3x^2 - 18x + 24\).
a) Vérifier que \(x_1 = 2\) est une racine.
b) Trouver la seconde racine par la méthode de la somme des racines.
c) Écrire la forme factorisée.
d) Pour quels âges le coût de maintenance serait-il négatif (ce qui n'a pas de sens) ?
a) \(C(2) = 3 \times 4 - 18 \times 2 + 24 = 12 - 36 + 24 = \mathbf{0}\) ✓
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-18}{3} = 6\). Donc \(x_2 = 6 - 2 = \mathbf{4}\).
Vérification : \(C(4) = 3 \times 16 - 72 + 24 = 0\) ✓
c) \(C(x) = 3(x - 2)(x - 4)\)
d) Comme \(a = 3 > 0\), \(C(x) < 0\) entre les racines, soit pour \(x \in ]2\,;\,4[\). Le modèle n'est pas valide pour ces âges.
On considère \(f(x) = -2(x + 2)(x - 4)\).
a) Donner les racines de \(f\) et le signe de \(a\).
b) Dresser le tableau de signes complet de \(f(x)\).
c) Résoudre \(f(x) \geqslant 0\).
d) Calculer les coordonnées du sommet. Développer d'abord \(f(x)\) pour identifier \(b\).
a) Racines : \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 4\). Coefficient : \(a = -2 < 0\).
b) Quand \(a < 0\), le signe est positif entre les racines :
| \(x\) | \(-\infty\) | −2 | 4 | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | − | 0 | + | 0 | − | ||
c) \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{-2}\,;\,\mathbf{4}]\).
d) Développement : \(f(x) = -2(x^2 - 2x - 8) = -2x^2 + 4x + 16\). Donc \(a = -2\), \(b = 4\).
\(x_S = -\dfrac{4}{2 \times (-2)} = -\dfrac{4}{-4} = \mathbf{1}\)
\(f(1) = -2(1+2)(1-4) = -2 \times 3 \times (-3) = \mathbf{18}\)
Le sommet est \(S(1\,;\,18)\). C'est un maximum car \(a < 0\).
Un artisan menuisier modélise l'aire \(A(x)\) (en m²) d'un cadre rectangulaire dont la largeur est \((x + 2)\) et la hauteur est \((x - 3)\), avec \(x > 3\).
a) Développer \(A(x) = (x+2)(x-3)\) sous la forme \(ax^2 + bx + c\).
b) Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle nulle ? (racine positive uniquement, car \(x > 3\))
c) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole.
d) L'aire peut-elle valoir 14 m² ? Résoudre \(A(x) = 14\) par balayage entre \(x = 4\) et \(x = 6\).
a) \(A(x) = x^2 - 3x + 2x - 6 = \mathbf{x^2 - x - 6}\). Donc \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\).
b) Les racines sont celles de \((x+2)(x-3) = 0\), soit \(x = -2\) ou \(x = 3\). Comme \(x > 3\), l'aire est nulle pour \(x = \mathbf{3}\) (et la racine \(x = -2\) n'a pas de sens physique).
c) \(x_S = -\dfrac{-1}{2 \times 1} = 0{,}5\)
\(A(0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25\)
Sommet : \(S(0{,}5\,;\,-6{,}25)\). Mais ce sommet est hors du domaine \(x > 3\).
d) On résout \(x^2 - x - 6 = 14\), soit \(x^2 - x - 20 = 0\). Posons \(h(x) = x^2 - x - 20\).
\(h(5) = 0\) exactement. La solution est \(x = \mathbf{5}\) mètres.
Vérification : \(A(5) = (5+2)(5-3) = 7 \times 2 = 14\) m² ✓
La trajectoire d'un projectile est modélisée par \(h(t) = -4t^2 + 20t + 3\) où \(h\) est la hauteur en mètres et \(t\) le temps en secondes.
a) Calculer les coordonnées du sommet. Interpréter physiquement.
b) Vérifier que \(h(0) = 3\). Que représente cette valeur ?
c) Quand le projectile retouche-t-il le sol ? Utiliser le balayage entre \(t = 5\) et \(t = 6\) pour encadrer la solution au dixième.
d) Pendant combien de temps (environ) le projectile est-il au-dessus de 20 m ? Tester \(h(t) = 20\).
a) \(t_S = -\dfrac{20}{2 \times (-4)} = -\dfrac{20}{-8} = \mathbf{2{,}5}\) s
\(h(2{,}5) = -4 \times 6{,}25 + 20 \times 2{,}5 + 3 = -25 + 50 + 3 = \mathbf{28}\) m
Le projectile atteint sa hauteur maximale de 28 m après 2,5 secondes.
b) \(h(0) = 0 + 0 + 3 = \mathbf{3}\) m. C'est la hauteur initiale du projectile au moment du lancer.
c) On cherche \(t > 0\) tel que \(h(t) = 0\) :
Le projectile touche le sol entre \(t = 5{,}1\) et \(t = 5{,}2\) s, soit environ \(t \approx \mathbf{5{,}1}\) s.
d) On résout \(-4t^2 + 20t + 3 = 20\), soit \(-4t^2 + 20t - 17 = 0\).
Le projectile est au-dessus de 20 m entre \(t \approx 1{,}1\) s et \(t \approx 3{,}9\) s, soit pendant environ 2,8 secondes.