Fonctions polynômes de degré 2 — 1ère Bac Pro
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00
Calculatrice autorisée | La durée est indiquée au début de chaque niveau.
Durée : 15 min | Barème : 20 points
Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) :
a) \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
b) \(g(x) = -x^2 + 4\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
c) La fonction \(h(x) = 2x + 7\) est-elle un polynôme de degré 2 ? Justifier.
a) \(a = \mathbf{3}\), \(b = \mathbf{-5}\), \(c = \mathbf{2}\)
b) \(a = \mathbf{-1}\), \(b = \mathbf{0}\), \(c = \mathbf{4}\)
c) Non. Il n'y a pas de terme en \(x^2\) (\(a = 0\)). C'est un polynôme de degré 1 (fonction affine).
Pour chaque fonction, indiquer le sens d'ouverture de la parabole et si le sommet est un minimum ou un maximum :
a) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) → \(a = 2\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
b) \(g(x) = -4x^2 + x\) → \(a = ...\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
a) \(a = 2 > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.
b) \(a = -4 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.
Soit \(f(x) = (x - 1)(x - 5)\), dont les racines sont 1 et 5. Ici \(a = 1\).
a) Calculer \(x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{...}{2} = ...\)
b) Calculer \(f(x_S) = (... - 1)(... - 5) = ...\)
c) Donner les coordonnées du sommet \(S(...\,;\,...)\).
a) \(x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}\)
b) \(f(3) = (3 - 1)(3 - 5) = 2 \times (-2) = \mathbf{-4}\)
c) Le sommet est \(S(\mathbf{3}\,;\,\mathbf{-4})\). Comme \(a = 1 > 0\), c'est un minimum.
Soit \(f(x) = x^2 - 5x + 6\).
a) Calculer \(f(2) = (2)^2 - 5 \times 2 + 6 = ...\). Le nombre 2 est-il racine ?
b) Calculer \(f(3) = (3)^2 - 5 \times 3 + 6 = ...\). Le nombre 3 est-il racine ?
c) Calculer \(f(0) = ...\). Le nombre 0 est-il racine ?
a) \(f(2) = 4 - 10 + 6 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 2\) est une racine.
b) \(f(3) = 9 - 15 + 6 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 3\) est une racine.
c) \(f(0) = 0 - 0 + 6 = \mathbf{6} \neq 0\). Non, \(x = 0\) n'est pas une racine.
Soit \(g(x) = x^2 - 8x + 15\). On sait que ses racines sont \(x_1 = 3\) et \(x_2 = 5\), et que \(a = 1\).
a) Écrire la forme factorisée : \(g(x) = 1 \times (x - ...)(x - ...) = ...\)
b) Vérifier en développant : \((x - 3)(x - 5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = ...\)
a) \(g(x) = (x - 3)(x - 5)\)
b) \((x-3)(x-5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15\) ✓
Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) :
a) \(f(x) = 5x^2 + 3x - 1\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
b) \(g(x) = -2x^2 + 9\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
c) La fonction \(h(x) = 4x - 3\) est-elle un polynôme de degré 2 ? Justifier.
a) \(a = \mathbf{5}\), \(b = \mathbf{3}\), \(c = \mathbf{-1}\)
b) \(a = \mathbf{-2}\), \(b = \mathbf{0}\), \(c = \mathbf{9}\)
c) Non. Il n'y a pas de terme en \(x^2\) (\(a = 0\)). C'est un polynôme de degré 1 (fonction affine).
Pour chaque fonction, indiquer le sens d'ouverture de la parabole et si le sommet est un minimum ou un maximum :
a) \(f(x) = 3x^2 + 2x - 4\) → \(a = 3\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
b) \(g(x) = -5x^2 + 7x\) → \(a = ...\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
a) \(a = 3 > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.
b) \(a = -5 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.
Soit \(f(x) = (x - 1)(x - 3)\), dont les racines sont 1 et 3. Ici \(a = 1\).
a) Calculer \(x_S = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{...}{2} = ...\)
b) Calculer \(f(x_S) = (... - 1)(... - 3) = ...\)
c) Donner les coordonnées du sommet \(S(...\,;\,...)\).
a) \(x_S = \dfrac{1 + 3}{2} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2}\)
b) \(f(2) = (2 - 1)(2 - 3) = 1 \times (-1) = \mathbf{-1}\)
c) Le sommet est \(S(\mathbf{2}\,;\,\mathbf{-1})\). Comme \(a = 1 > 0\), c'est un minimum.
Soit \(f(x) = x^2 - 7x + 12\).
a) Calculer \(f(3) = (3)^2 - 7 \times 3 + 12 = ...\). Le nombre 3 est-il racine ?
b) Calculer \(f(4) = (4)^2 - 7 \times 4 + 12 = ...\). Le nombre 4 est-il racine ?
c) Calculer \(f(1) = ...\). Le nombre 1 est-il racine ?
a) \(f(3) = 9 - 21 + 12 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 3\) est une racine.
b) \(f(4) = 16 - 28 + 12 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 4\) est une racine.
c) \(f(1) = 1 - 7 + 12 = \mathbf{6} \neq 0\). Non, \(x = 1\) n'est pas une racine.
Soit \(g(x) = x^2 - 9x + 20\). On sait que ses racines sont \(x_1 = 4\) et \(x_2 = 5\), et que \(a = 1\).
a) Écrire la forme factorisée : \(g(x) = 1 \times (x - ...)(x - ...) = ...\)
b) Vérifier en développant : \((x - 4)(x - 5) = x^2 - 5x - 4x + 20 = ...\)
a) \(g(x) = (x - 4)(x - 5)\)
b) \((x-4)(x-5) = x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 - 9x + 20\) ✓
Durée : 25 min | Barème : 20 points
Soit \(f(x) = -2(x - 1)(x - 3)\).
a) Donner les racines, le coefficient \(a\) et le sens d'ouverture de la parabole.
b) Calculer les coordonnées du sommet.
c) Préciser si le sommet est un minimum ou un maximum.
a) Racines 1 et 3 ; \(a = -2\). Comme \(a = -2 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas.
b) \(x_S = \dfrac{1 + 3}{2} = \mathbf{2}\)
\(f(2) = -2 \times (2 - 1) \times (2 - 3) = -2 \times 1 \times (-1) = \mathbf{2}\)
Le sommet est \(S(2\,;\,2)\).
c) Comme \(a < 0\), le sommet est un maximum. La valeur maximale de \(f\) est 2.
Soit \(f(x) = x^2 - 2x - 8\).
a) Vérifier que \(x_1 = 4\) est une racine de \(f\).
b) Trouver la seconde racine \(x_2\) en écrivant \(f(x) = (x - 4)(x - x_2)\) et en comparant le terme constant.
c) Écrire la forme factorisée de \(f(x)\).
d) Vérifier par développement.
a) \(f(4) = 16 - 8 - 8 = \mathbf{0}\) ✓. Oui, \(x_1 = 4\) est bien une racine.
b) Le terme constant de \((x - 4)(x - x_2)\) vaut \((-4) \times (-x_2) = 4x_2\) ; il doit valoir \(-8\). Donc \(x_2 = \mathbf{-2}\).
Vérification : \(f(-2) = 4 + 4 - 8 = 0\) ✓
c) \(f(x) = (x - 4)(x + 2)\)
d) \((x-4)(x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8\) ✓
Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x - 5)\).
a) Quelles sont les racines de \(f\) ?
b) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Les racines sont \(x_1 = \mathbf{1}\) et \(x_2 = \mathbf{5}\).
b) Comme \(a = 2 > 0\), le signe est celui de \(a\) en dehors des racines :
c) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{1}\,;\,\mathbf{5}]\).
La hauteur (en mètres) d'un ballon lancé est modélisée par \(h(x) = -0{,}5x(x - 8)\), où \(x\) est la distance horizontale (en m).
a) Calculer les coordonnées du sommet.
b) Interpréter : quelle est la hauteur maximale et à quelle distance ?
a) Les racines sont 0 et 8 : \(x_S = \dfrac{0 + 8}{2} = \mathbf{4}\) m
\(h(4) = -0{,}5 \times 4 \times (4 - 8) = -0{,}5 \times 4 \times (-4) = \mathbf{8}\) m
Le sommet est \(S(4\,;\,8)\).
b) Le ballon atteint sa hauteur maximale de 8 m à une distance horizontale de 4 m.
On cherche une racine de \(f(x) = x^2 - 3\) par balayage. On sait que \(f(1) = -2 < 0\) et \(f(2) = 1 > 0\).
a) Pourquoi y a-t-il une racine entre 1 et 2 ?
b) On teste \(f(1{,}7) = -0{,}11\) et \(f(1{,}8) = 0{,}24\). Encadrer la racine au dixième près.
a) \(f(1) < 0\) et \(f(2) > 0\) : il y a un changement de signe, donc il existe une racine dans \(]1\,;\,2[\).
b) \(f(1{,}7) < 0\) et \(f(1{,}8) > 0\) : la racine est dans \([\mathbf{1{,}7}\,;\,\mathbf{1{,}8}]\). On a \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).
Soit \(f(x) = -3(x - 1)(x - 3)\).
a) Donner les racines, le coefficient \(a\) et le sens d'ouverture de la parabole.
b) Calculer les coordonnées du sommet.
c) Préciser si le sommet est un minimum ou un maximum.
a) Racines 1 et 3 ; \(a = -3\). Comme \(a = -3 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas.
b) \(x_S = \dfrac{1 + 3}{2} = \mathbf{2}\)
\(f(2) = -3 \times (2 - 1) \times (2 - 3) = -3 \times 1 \times (-1) = \mathbf{3}\)
Le sommet est \(S(2\,;\,3)\).
c) Comme \(a < 0\), le sommet est un maximum. La valeur maximale de \(f\) est 3.
Soit \(f(x) = x^2 - x - 12\).
a) Vérifier que \(x_1 = 4\) est une racine de \(f\).
b) Trouver la seconde racine \(x_2\) en écrivant \(f(x) = (x - 4)(x - x_2)\) et en comparant le terme constant.
c) Écrire la forme factorisée de \(f(x)\).
d) Vérifier par développement.
a) \(f(4) = 16 - 4 - 12 = \mathbf{0}\) ✓. Oui, \(x_1 = 4\) est bien une racine.
b) Le terme constant de \((x - 4)(x - x_2)\) vaut \((-4) \times (-x_2) = 4x_2\) ; il doit valoir \(-12\). Donc \(x_2 = \mathbf{-3}\).
Vérification : \(f(-3) = 9 + 3 - 12 = 0\) ✓
c) \(f(x) = (x - 4)(x + 3)\)
d) \((x-4)(x+3) = x^2 + 3x - 4x - 12 = x^2 - x - 12\) ✓
Soit \(f(x) = 3(x - 2)(x - 6)\).
a) Quelles sont les racines de \(f\) ?
b) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Les racines sont \(x_1 = \mathbf{2}\) et \(x_2 = \mathbf{6}\).
b) Comme \(a = 3 > 0\), le signe est celui de \(a\) en dehors des racines :
c) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{2}\,;\,\mathbf{6}]\).
La hauteur (en mètres) d'une balle lancée est modélisée par \(h(x) = -x(x - 6)\), où \(x\) est la distance horizontale (en m).
a) Calculer les coordonnées du sommet.
b) Interpréter : quelle est la hauteur maximale et à quelle distance ?
a) Les racines sont 0 et 6 : \(x_S = \dfrac{0 + 6}{2} = \mathbf{3}\) m
\(h(3) = -3 \times (3 - 6) = \mathbf{9}\) m
Le sommet est \(S(3\,;\,9)\).
b) La balle atteint sa hauteur maximale de 9 m à une distance horizontale de 3 m.
On cherche une racine de \(f(x) = x^2 - 5\) par balayage. On sait que \(f(2) = -1 < 0\) et \(f(3) = 4 > 0\).
a) Pourquoi y a-t-il une racine entre 2 et 3 ?
b) On teste \(f(2{,}2) = -0{,}16\) et \(f(2{,}3) = 0{,}29\). Encadrer la racine au dixième près.
a) \(f(2) < 0\) et \(f(3) > 0\) : il y a un changement de signe, donc il existe une racine dans \(]2\,;\,3[\).
b) \(f(2{,}2) < 0\) et \(f(2{,}3) > 0\) : la racine est dans \([\mathbf{2{,}2}\,;\,\mathbf{2{,}3}]\). On a \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\).
Durée : 35 min | Barème : 20 points
Un menuisier agenceur modélise le coût de découpe (en €) d'une bande de bois de longueur \(x\) mètres par \(C(x) = 2x^2 - 12x + 16\).
a) Vérifier que \(x_1 = 2\) est une racine.
b) Compléter \(C(x)=2(x-2)(x+k)\) en comparant le terme constant, puis vérifier en développant. En déduire la seconde racine.
c) Écrire la forme factorisée.
d) Pour quelles longueurs le coût de découpe est-il négatif (ce qui n'a pas de sens) ?
a) \(C(2) = 2 \times 4 - 12 \times 2 + 16 = 8 - 24 + 16 = \mathbf{0}\) ✓
b) \(-4k=16\), donc \(k=-4\). On vérifie \(2(x-2)(x-4)=2x^2-12x+16\). La seconde racine est 4.
Vérification : \(C(4) = 2 \times 16 - 48 + 16 = 0\) ✓
c) \(C(x) = 2(x - 2)(x - 4)\)
d) Comme \(a = 2 > 0\), \(C(x) < 0\) entre les racines, soit pour \(x \in ]2\,;\,4[\). Le modèle n'est pas valide pour ces longueurs.
On considère \(f(x) = -3(x + 1)(x - 3)\).
a) Donner les racines de \(f\) et le signe de \(a\).
b) Dresser le tableau de signes complet de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \geqslant 0\).
d) Calculer les coordonnées du sommet à partir des racines.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Racines : \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 3\). Coefficient : \(a = -3 < 0\).
b) Quand \(a < 0\), le signe est positif entre les racines :
c) \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{-1}\,;\,\mathbf{3}]\).
d) Au milieu des racines : \(x_S = \dfrac{-1 + 3}{2} = \mathbf{1}\)
\(f(1) = -3(1+1)(1-3) = -3 \times 2 \times (-2) = \mathbf{12}\)
Le sommet est \(S(1\,;\,12)\). C'est un maximum car \(a < 0\).
Un métreur modélise l'aire \(A(x)\) (en m²) d'un panneau rectangulaire dont la largeur est \((x + 3)\) et la hauteur est \((x - 2)\), avec \(x \geqslant 2\).
a) Développer \(A(x) = (x+3)(x-2)\) sous la forme \(ax^2 + bx + c\).
b) Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle nulle ? (racine retenue dans le domaine, car \(x \geqslant 2\))
c) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole.
d) L'aire peut-elle valoir 10 m² ? Résoudre \(A(x) = 10\) par balayage entre \(x = 3\) et \(x = 5\).
a) \(A(x) = x^2 - 2x + 3x - 6 = \mathbf{x^2 + x - 6}\). Donc \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\).
b) Les racines sont celles de \((x+3)(x-2) = 0\), soit \(x = -3\) ou \(x = 2\). Comme \(x \geqslant 2\), seule \(x = \mathbf{2}\) appartient au domaine : l'aire est nulle pour \(x = 2\) (le panneau est alors de hauteur nulle). La racine \(x = -3\) n'a pas de sens physique.
c) Les racines sont \(-3\) et 2 : \(x_S = \dfrac{-3 + 2}{2} = -0{,}5\)
\(A(-0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25\)
Sommet : \(S(-0{,}5\,;\,-6{,}25)\). Mais ce sommet est hors du domaine \(x \geqslant 2\).
d) On résout \(x^2 + x - 6 = 10\), soit \(x^2 + x - 16 = 0\). Posons \(h(x) = x^2 + x - 16\).
Changement de signe entre 3 et 4. Balayage :
La solution est dans \([3{,}5\,;\,3{,}6]\), soit \(x \approx \mathbf{3{,}5}\) mètres.
Vérification : \(A(3{,}5) = 6{,}5 \times 1{,}5 = 9{,}75\) m² et \(A(3{,}6) = 6{,}6 \times 1{,}6 = 10{,}56\) m² : l'aire de 10 m² est bien atteinte entre ces deux valeurs. ✓
La trajectoire d'un objet lancé est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 15t + 2\) où \(h\) est la hauteur en mètres et \(t\) le temps en secondes.
a) Calculer \(h(0)\) et \(h(3)\). Que représente \(h(0)\) ?
b) Les points d'abscisses 0 et 3 ont la même hauteur : ils sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole. En déduire l'abscisse du sommet, puis la hauteur maximale. Interpréter.
c) Quand l'objet retouche-t-il le sol ? Utiliser le balayage entre \(t = 3\) et \(t = 4\) pour encadrer la solution au dixième.
d) Pendant combien de temps (environ) l'objet est-il au-dessus de 10 m ? Résoudre \(h(t) = 10\) par balayage.
a) \(h(0) = 0 + 0 + 2 = \mathbf{2}\) m et \(h(3) = -45 + 45 + 2 = \mathbf{2}\) m. \(h(0)\) est la hauteur initiale de l'objet au moment du lancer.
b) L'axe de symétrie passe au milieu de 0 et 3 : \(t_S = \dfrac{0 + 3}{2} = \mathbf{1{,}5}\) s.
\(h(1{,}5) = -5 \times 2{,}25 + 15 \times 1{,}5 + 2 = -11{,}25 + 22{,}5 + 2 = \mathbf{13{,}25}\) m
L'objet atteint sa hauteur maximale de 13,25 m après 1,5 seconde.
c) On cherche \(t > 0\) tel que \(h(t) = 0\) :
L'objet touche le sol entre \(t = 3{,}1\) et \(t = 3{,}2\) s, soit environ \(t \approx \mathbf{3{,}1}\) s.
d) On cherche les deux instants où \(h(t) = 10\). La courbe monte puis descend : il y a une traversée du seuil à la montée, une autre à la descente.
Première traversée (à la montée) :
Seconde traversée (à la descente) :
L'objet dépasse 10 m à un instant compris entre 0,6 s et 0,7 s, et repasse sous 10 m à un instant compris entre 2,3 s et 2,4 s : la durée passée au-dessus de 10 m est donc comprise entre 1,6 s et 1,8 s, soit environ 1,6 seconde.
Un installateur thermique modélise le coût de maintenance (en €) d'une chaudière en fonction de son âge \(x\) (en années) par \(C(x) = 3x^2 - 24x + 45\).
a) Vérifier que \(x_1 = 3\) est une racine.
b) Compléter \(C(x)=3(x-3)(x+k)\) en comparant le terme constant, puis vérifier en développant. En déduire la seconde racine.
c) Écrire la forme factorisée.
d) Pour quels âges le coût de maintenance serait-il négatif (ce qui n'a pas de sens) ?
a) \(C(3) = 3 \times 9 - 24 \times 3 + 45 = 27 - 72 + 45 = \mathbf{0}\) ✓
b) \(-9k=45\), donc \(k=-5\). On vérifie \(3(x-3)(x-5)=3x^2-24x+45\). La seconde racine est 5.
Vérification : \(C(5) = 3 \times 25 - 120 + 45 = 75 - 120 + 45 = 0\) ✓
c) \(C(x) = 3(x - 3)(x - 5)\)
d) Comme \(a = 3 > 0\), \(C(x) < 0\) entre les racines, soit pour \(x \in ]3\,;\,5[\). Le modèle n'est pas valide pour ces âges.
On considère \(f(x) = -2(x + 2)(x - 4)\).
a) Donner les racines de \(f\) et le signe de \(a\).
b) Dresser le tableau de signes complet de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \geqslant 0\).
d) Calculer les coordonnées du sommet à partir des racines.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Racines : \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 4\). Coefficient : \(a = -2 < 0\).
b) Quand \(a < 0\), le signe est positif entre les racines :
c) \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{-2}\,;\,\mathbf{4}]\).
d) Au milieu des racines : \(x_S = \dfrac{-2 + 4}{2} = \mathbf{1}\)
\(f(1) = -2(1+2)(1-4) = -2 \times 3 \times (-3) = \mathbf{18}\)
Le sommet est \(S(1\,;\,18)\). C'est un maximum car \(a < 0\).
Un artisan menuisier modélise l'aire \(A(x)\) (en m²) d'un cadre rectangulaire dont la largeur est \((x + 2)\) et la hauteur est \((x - 3)\), avec \(x \geqslant 3\).
a) Développer \(A(x) = (x+2)(x-3)\) sous la forme \(ax^2 + bx + c\).
b) Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle nulle ? (racine retenue dans le domaine, car \(x \geqslant 3\))
c) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole.
d) L'aire peut-elle valoir 16 m² ? Résoudre \(A(x) = 16\) par balayage entre \(x = 4\) et \(x = 6\).
a) \(A(x) = x^2 - 3x + 2x - 6 = \mathbf{x^2 - x - 6}\). Donc \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\).
b) Les racines sont celles de \((x+2)(x-3) = 0\), soit \(x = -2\) ou \(x = 3\). Comme \(x \geqslant 3\), seule \(x = \mathbf{3}\) appartient au domaine : l'aire est nulle pour \(x = 3\) (le cadre est alors de hauteur nulle). La racine \(x = -2\) n'a pas de sens physique.
c) Les racines sont \(-2\) et 3 : \(x_S = \dfrac{-2 + 3}{2} = 0{,}5\)
\(A(0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25\)
Sommet : \(S(0{,}5\,;\,-6{,}25)\). Mais ce sommet est hors du domaine \(x \geqslant 3\).
d) On résout \(x^2 - x - 6 = 16\), soit \(x^2 - x - 22 = 0\). Posons \(h(x) = x^2 - x - 22\).
Changement de signe entre 4 et 6. On resserre : \(h(5) = 25 - 5 - 22 = -2 < 0\), donc la solution est entre 5 et 6. Balayage au dixième :
La solution est dans \([5{,}2\,;\,5{,}3]\), soit \(x \approx \mathbf{5{,}2}\) mètres.
Vérification : \(A(5{,}2) = 7{,}2 \times 2{,}2 = 15{,}84\) m² et \(A(5{,}3) = 7{,}3 \times 2{,}3 = 16{,}79\) m² : l'aire de 16 m² est bien atteinte entre ces deux valeurs. ✓
La trajectoire d'un projectile est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 20t + 3\) où \(h\) est la hauteur en mètres et \(t\) le temps en secondes.
a) Calculer \(h(0)\) et \(h(4)\). Que représente \(h(0)\) ?
b) Les points d'abscisses 0 et 4 ont la même hauteur : ils sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole. En déduire l'abscisse du sommet, puis la hauteur maximale. Interpréter.
c) Quand le projectile retouche-t-il le sol ? Utiliser le balayage entre \(t = 4\) et \(t = 5\) pour encadrer la solution au dixième.
d) Pendant combien de temps (environ) le projectile est-il au-dessus de 20 m ? Résoudre \(h(t) = 20\) par balayage.
a) \(h(0) = 0 + 0 + 3 = \mathbf{3}\) m et \(h(4) = -80 + 80 + 3 = \mathbf{3}\) m. \(h(0)\) est la hauteur initiale du projectile au moment du lancer.
b) L'axe de symétrie passe au milieu de 0 et 4 : \(t_S = \dfrac{0 + 4}{2} = \mathbf{2}\) s.
\(h(2) = -5 \times 4 + 20 \times 2 + 3 = -20 + 40 + 3 = \mathbf{23}\) m
Le projectile atteint sa hauteur maximale de 23 m après 2 secondes.
c) On cherche \(t > 0\) tel que \(h(t) = 0\) :
Le projectile touche le sol entre \(t = 4{,}1\) et \(t = 4{,}2\) s, soit environ \(t \approx \mathbf{4{,}1}\) s.
d) On cherche les deux instants où \(h(t) = 20\). La courbe monte puis descend : il y a une traversée du seuil à la montée, une autre à la descente.
Première traversée (à la montée) :
Seconde traversée (à la descente) :
Le projectile dépasse 20 m à un instant compris entre 1,2 s et 1,3 s, et repasse sous 20 m à un instant compris entre 2,7 s et 2,8 s : la durée passée au-dessus de 20 m est donc comprise entre 1,4 s et 1,6 s, soit environ 1,5 seconde.