Fonctions polynômes de degré 2 — 1ère Bac Pro
Dernière mise à jour : 15 août 2026, 14:20
Calculatrice autorisée | La durée est indiquée au début de chaque niveau.
Durée : 15 min | Barème : 20 points
Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) :
a) \(f(x) = 3x^2 - 5x + 2\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
b) \(g(x) = -x^2 + 4\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
c) La fonction \(h(x) = 2x + 7\) est-elle un polynôme de degré 2 ? Justifier.
a) \(a = \mathbf{3}\), \(b = \mathbf{-5}\), \(c = \mathbf{2}\)
b) \(a = \mathbf{-1}\), \(b = \mathbf{0}\), \(c = \mathbf{4}\)
c) Non. Il n'y a pas de terme en \(x^2\) (\(a = 0\)). C'est un polynôme de degré 1 (fonction affine).
Pour chaque fonction, indiquer le sens d'ouverture de la parabole et si le sommet est un minimum ou un maximum :
a) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) → \(a = 2\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
b) \(g(x) = -4x^2 + x\) → \(a = ...\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
a) \(a = 2 > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.
b) \(a = -4 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\). Ici \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\).
a) Calculer \(x_S = -\dfrac{-6}{2 \times 1} = \dfrac{...}{...} = ...\)
b) Calculer \(f(x_S) = (...)^2 - 6 \times (...) + 5 = ...\)
c) Donner les coordonnées du sommet \(S(...\,;\,...)\).
a) \(x_S = -\dfrac{-6}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}\)
b) \(f(3) = 9 - 18 + 5 = \mathbf{-4}\)
c) Le sommet est \(S(\mathbf{3}\,;\,\mathbf{-4})\). Comme \(a = 1 > 0\), c'est un minimum.
Soit \(f(x) = x^2 - 5x + 6\).
a) Calculer \(f(2) = (2)^2 - 5 \times 2 + 6 = ...\). Le nombre 2 est-il racine ?
b) Calculer \(f(3) = (3)^2 - 5 \times 3 + 6 = ...\). Le nombre 3 est-il racine ?
c) Calculer \(f(0) = ...\). Le nombre 0 est-il racine ?
a) \(f(2) = 4 - 10 + 6 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 2\) est une racine.
b) \(f(3) = 9 - 15 + 6 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 3\) est une racine.
c) \(f(0) = 0 - 0 + 6 = \mathbf{6} \neq 0\). Non, \(x = 0\) n'est pas une racine.
Soit \(g(x) = x^2 - 8x + 15\). On sait que ses racines sont \(x_1 = 3\) et \(x_2 = 5\), et que \(a = 1\).
a) Écrire la forme factorisée : \(g(x) = 1 \times (x - ...)(x - ...) = ...\)
b) Vérifier en développant : \((x - 3)(x - 5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = ...\)
a) \(g(x) = (x - 3)(x - 5)\)
b) \((x-3)(x-5) = x^2 - 5x - 3x + 15 = x^2 - 8x + 15\) ✓
Pour chaque fonction, identifier les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) :
a) \(f(x) = 5x^2 + 3x - 1\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
b) \(g(x) = -2x^2 + 9\) → \(a = ...\), \(b = ...\), \(c = ...\)
c) La fonction \(h(x) = 4x - 3\) est-elle un polynôme de degré 2 ? Justifier.
a) \(a = \mathbf{5}\), \(b = \mathbf{3}\), \(c = \mathbf{-1}\)
b) \(a = \mathbf{-2}\), \(b = \mathbf{0}\), \(c = \mathbf{9}\)
c) Non. Il n'y a pas de terme en \(x^2\) (\(a = 0\)). C'est un polynôme de degré 1 (fonction affine).
Pour chaque fonction, indiquer le sens d'ouverture de la parabole et si le sommet est un minimum ou un maximum :
a) \(f(x) = 3x^2 + 2x - 4\) → \(a = 3\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
b) \(g(x) = -5x^2 + 7x\) → \(a = ...\), donc la parabole s'ouvre vers le ... et le sommet est un ...
a) \(a = 3 > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut et le sommet est un minimum.
b) \(a = -5 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas et le sommet est un maximum.
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Ici \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).
a) Calculer \(x_S = -\dfrac{-4}{2 \times 1} = \dfrac{...}{...} = ...\)
b) Calculer \(f(x_S) = (...)^2 - 4 \times (...) + 3 = ...\)
c) Donner les coordonnées du sommet \(S(...\,;\,...)\).
a) \(x_S = -\dfrac{-4}{2} = \dfrac{4}{2} = \mathbf{2}\)
b) \(f(2) = 4 - 8 + 3 = \mathbf{-1}\)
c) Le sommet est \(S(\mathbf{2}\,;\,\mathbf{-1})\). Comme \(a = 1 > 0\), c'est un minimum.
Soit \(f(x) = x^2 - 7x + 12\).
a) Calculer \(f(3) = (3)^2 - 7 \times 3 + 12 = ...\). Le nombre 3 est-il racine ?
b) Calculer \(f(4) = (4)^2 - 7 \times 4 + 12 = ...\). Le nombre 4 est-il racine ?
c) Calculer \(f(1) = ...\). Le nombre 1 est-il racine ?
a) \(f(3) = 9 - 21 + 12 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 3\) est une racine.
b) \(f(4) = 16 - 28 + 12 = \mathbf{0}\). Oui, \(x = 4\) est une racine.
c) \(f(1) = 1 - 7 + 12 = \mathbf{6} \neq 0\). Non, \(x = 1\) n'est pas une racine.
Soit \(g(x) = x^2 - 9x + 20\). On sait que ses racines sont \(x_1 = 4\) et \(x_2 = 5\), et que \(a = 1\).
a) Écrire la forme factorisée : \(g(x) = 1 \times (x - ...)(x - ...) = ...\)
b) Vérifier en développant : \((x - 4)(x - 5) = x^2 - 5x - 4x + 20 = ...\)
a) \(g(x) = (x - 4)(x - 5)\)
b) \((x-4)(x-5) = x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 - 9x + 20\) ✓
Durée : 25 min | Barème : 20 points
Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x - 6\).
a) Identifier \(a\), \(b\), \(c\) et le sens d'ouverture de la parabole.
b) Calculer les coordonnées du sommet.
c) Préciser si le sommet est un minimum ou un maximum.
a) \(a = -2\), \(b = 8\), \(c = -6\). Comme \(a = -2 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas.
b) \(x_S = -\dfrac{8}{2 \times (-2)} = -\dfrac{8}{-4} = \mathbf{2}\)
\(f(2) = -2 \times 4 + 8 \times 2 - 6 = -8 + 16 - 6 = \mathbf{2}\)
Le sommet est \(S(2\,;\,2)\).
c) Comme \(a < 0\), le sommet est un maximum. La valeur maximale de \(f\) est 2.
Soit \(f(x) = x^2 - 2x - 8\).
a) Vérifier que \(x_1 = 4\) est une racine de \(f\).
b) Trouver la seconde racine \(x_2\) en utilisant la relation : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\).
c) Écrire la forme factorisée de \(f(x)\).
d) Vérifier par développement.
a) \(f(4) = 16 - 8 - 8 = \mathbf{0}\) ✓. Oui, \(x_1 = 4\) est bien une racine.
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{-2}{1} = 2\). Donc \(x_2 = 2 - 4 = \mathbf{-2}\).
Vérification : \(f(-2) = 4 + 4 - 8 = 0\) ✓
c) \(f(x) = (x - 4)(x + 2)\)
d) \((x-4)(x+2) = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8\) ✓
Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x - 5)\).
a) Quelles sont les racines de \(f\) ?
b) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Les racines sont \(x_1 = \mathbf{1}\) et \(x_2 = \mathbf{5}\).
b) Comme \(a = 2 > 0\), le signe est celui de \(a\) en dehors des racines :
c) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{1}\,;\,\mathbf{5}]\).
La hauteur (en mètres) d'un ballon lancé est modélisée par \(h(x) = -0{,}5x^2 + 4x\), où \(x\) est la distance horizontale (en m).
a) Calculer les coordonnées du sommet.
b) Interpréter : quelle est la hauteur maximale et à quelle distance ?
a) \(x_S = -\dfrac{4}{2 \times (-0{,}5)} = -\dfrac{4}{-1} = \mathbf{4}\) m
\(h(4) = -0{,}5 \times 16 + 4 \times 4 = -8 + 16 = \mathbf{8}\) m
Le sommet est \(S(4\,;\,8)\).
b) Le ballon atteint sa hauteur maximale de 8 m à une distance horizontale de 4 m.
On cherche une racine de \(f(x) = x^2 - 3\) par balayage. On sait que \(f(1) = -2 < 0\) et \(f(2) = 1 > 0\).
a) Pourquoi y a-t-il une racine entre 1 et 2 ?
b) On teste \(f(1{,}7) = -0{,}11\) et \(f(1{,}8) = 0{,}24\). Encadrer la racine au dixième près.
a) \(f(1) < 0\) et \(f(2) > 0\) : il y a un changement de signe, donc il existe une racine dans \(]1\,;\,2[\).
b) \(f(1{,}7) < 0\) et \(f(1{,}8) > 0\) : la racine est dans \([\mathbf{1{,}7}\,;\,\mathbf{1{,}8}]\). On a \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\).
Soit \(f(x) = -3x^2 + 12x - 9\).
a) Identifier \(a\), \(b\), \(c\) et le sens d'ouverture de la parabole.
b) Calculer les coordonnées du sommet.
c) Préciser si le sommet est un minimum ou un maximum.
a) \(a = -3\), \(b = 12\), \(c = -9\). Comme \(a = -3 < 0\), la parabole s'ouvre vers le bas.
b) \(x_S = -\dfrac{12}{2 \times (-3)} = -\dfrac{12}{-6} = \mathbf{2}\)
\(f(2) = -3 \times 4 + 12 \times 2 - 9 = -12 + 24 - 9 = \mathbf{3}\)
Le sommet est \(S(2\,;\,3)\).
c) Comme \(a < 0\), le sommet est un maximum. La valeur maximale de \(f\) est 3.
Soit \(f(x) = x^2 - x - 12\).
a) Vérifier que \(x_1 = 4\) est une racine de \(f\).
b) Trouver la seconde racine \(x_2\) en utilisant la relation : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\).
c) Écrire la forme factorisée de \(f(x)\).
d) Vérifier par développement.
a) \(f(4) = 16 - 4 - 12 = \mathbf{0}\) ✓. Oui, \(x_1 = 4\) est bien une racine.
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{-1}{1} = 1\). Donc \(x_2 = 1 - 4 = \mathbf{-3}\).
Vérification : \(f(-3) = 9 + 3 - 12 = 0\) ✓
c) \(f(x) = (x - 4)(x + 3)\)
d) \((x-4)(x+3) = x^2 + 3x - 4x - 12 = x^2 - x - 12\) ✓
Soit \(f(x) = 3(x - 2)(x - 6)\).
a) Quelles sont les racines de \(f\) ?
b) Dresser le tableau de signes de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Les racines sont \(x_1 = \mathbf{2}\) et \(x_2 = \mathbf{6}\).
b) Comme \(a = 3 > 0\), le signe est celui de \(a\) en dehors des racines :
c) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{2}\,;\,\mathbf{6}]\).
La hauteur (en mètres) d'une balle lancée est modélisée par \(h(x) = -x^2 + 6x\), où \(x\) est la distance horizontale (en m).
a) Calculer les coordonnées du sommet.
b) Interpréter : quelle est la hauteur maximale et à quelle distance ?
a) \(x_S = -\dfrac{6}{2 \times (-1)} = -\dfrac{6}{-2} = \mathbf{3}\) m
\(h(3) = -9 + 18 = \mathbf{9}\) m
Le sommet est \(S(3\,;\,9)\).
b) La balle atteint sa hauteur maximale de 9 m à une distance horizontale de 3 m.
On cherche une racine de \(f(x) = x^2 - 5\) par balayage. On sait que \(f(2) = -1 < 0\) et \(f(3) = 4 > 0\).
a) Pourquoi y a-t-il une racine entre 2 et 3 ?
b) On teste \(f(2{,}2) = -0{,}16\) et \(f(2{,}3) = 0{,}29\). Encadrer la racine au dixième près.
a) \(f(2) < 0\) et \(f(3) > 0\) : il y a un changement de signe, donc il existe une racine dans \(]2\,;\,3[\).
b) \(f(2{,}2) < 0\) et \(f(2{,}3) > 0\) : la racine est dans \([\mathbf{2{,}2}\,;\,\mathbf{2{,}3}]\). On a \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\).
Durée : 35 min | Barème : 20 points
Un menuisier agenceur modélise le coût de découpe (en €) d'une bande de bois de longueur \(x\) mètres par \(C(x) = 2x^2 - 12x + 16\).
a) Vérifier que \(x_1 = 2\) est une racine.
b) Trouver la seconde racine par la méthode de la somme des racines, en utilisant la relation : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\).
c) Écrire la forme factorisée.
d) Pour quelles longueurs le coût de découpe est-il négatif (ce qui n'a pas de sens) ?
a) \(C(2) = 2 \times 4 - 12 \times 2 + 16 = 8 - 24 + 16 = \mathbf{0}\) ✓
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-12}{2} = 6\). Donc \(x_2 = 6 - 2 = \mathbf{4}\).
Vérification : \(C(4) = 2 \times 16 - 48 + 16 = 0\) ✓
c) \(C(x) = 2(x - 2)(x - 4)\)
d) Comme \(a = 2 > 0\), \(C(x) < 0\) entre les racines, soit pour \(x \in ]2\,;\,4[\). Le modèle n'est pas valide pour ces longueurs.
On considère \(f(x) = -3(x + 1)(x - 3)\).
a) Donner les racines de \(f\) et le signe de \(a\).
b) Dresser le tableau de signes complet de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \geqslant 0\).
d) Calculer les coordonnées du sommet. Développer d'abord \(f(x)\) pour identifier \(b\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Racines : \(x_1 = -1\) et \(x_2 = 3\). Coefficient : \(a = -3 < 0\).
b) Quand \(a < 0\), le signe est positif entre les racines :
c) \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{-1}\,;\,\mathbf{3}]\).
d) Développement : \(f(x) = -3(x^2 - 2x - 3) = -3x^2 + 6x + 9\). Donc \(a = -3\), \(b = 6\).
\(x_S = -\dfrac{6}{2 \times (-3)} = -\dfrac{6}{-6} = \mathbf{1}\)
\(f(1) = -3(1+1)(1-3) = -3 \times 2 \times (-2) = \mathbf{12}\)
Le sommet est \(S(1\,;\,12)\). C'est un maximum car \(a < 0\).
Un métreur modélise l'aire \(A(x)\) (en m²) d'un panneau rectangulaire dont la largeur est \((x + 3)\) et la hauteur est \((x - 2)\), avec \(x \geqslant 2\).
a) Développer \(A(x) = (x+3)(x-2)\) sous la forme \(ax^2 + bx + c\).
b) Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle nulle ? (racine retenue dans le domaine, car \(x \geqslant 2\))
c) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole.
d) L'aire peut-elle valoir 10 m² ? Résoudre \(A(x) = 10\) par balayage entre \(x = 3\) et \(x = 5\).
a) \(A(x) = x^2 - 2x + 3x - 6 = \mathbf{x^2 + x - 6}\). Donc \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\).
b) Les racines sont celles de \((x+3)(x-2) = 0\), soit \(x = -3\) ou \(x = 2\). Comme \(x \geqslant 2\), seule \(x = \mathbf{2}\) appartient au domaine : l'aire est nulle pour \(x = 2\) (le panneau est alors de hauteur nulle). La racine \(x = -3\) n'a pas de sens physique.
c) \(x_S = -\dfrac{1}{2 \times 1} = -0{,}5\)
\(A(-0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25\)
Sommet : \(S(-0{,}5\,;\,-6{,}25)\). Mais ce sommet est hors du domaine \(x \geqslant 2\).
d) On résout \(x^2 + x - 6 = 10\), soit \(x^2 + x - 16 = 0\). Posons \(h(x) = x^2 + x - 16\).
Changement de signe entre 3 et 4. Balayage :
La solution est dans \([3{,}5\,;\,3{,}6]\), soit \(x \approx \mathbf{3{,}5}\) mètres.
Vérification : \(A(3{,}5) = 6{,}5 \times 1{,}5 = 9{,}75\) m² et \(A(3{,}6) = 6{,}6 \times 1{,}6 = 10{,}56\) m² : l'aire de 10 m² est bien atteinte entre ces deux valeurs. ✓
La trajectoire d'un objet lancé est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 15t + 2\) où \(h\) est la hauteur en mètres et \(t\) le temps en secondes.
a) Calculer les coordonnées du sommet. Interpréter physiquement.
b) Vérifier que \(h(0) = 2\). Que représente cette valeur ?
c) Quand l'objet retouche-t-il le sol ? Utiliser le balayage entre \(t = 3\) et \(t = 4\) pour encadrer la solution au dixième.
d) Pendant combien de temps (environ) l'objet est-il au-dessus de 10 m ? Résoudre \(h(t) = 10\) par balayage.
a) \(t_S = -\dfrac{15}{2 \times (-5)} = -\dfrac{15}{-10} = \mathbf{1{,}5}\) s
\(h(1{,}5) = -5 \times 2{,}25 + 15 \times 1{,}5 + 2 = -11{,}25 + 22{,}5 + 2 = \mathbf{13{,}25}\) m
L'objet atteint sa hauteur maximale de 13,25 m après 1,5 seconde.
b) \(h(0) = 0 + 0 + 2 = \mathbf{2}\) m. C'est la hauteur initiale de l'objet au moment du lancer.
c) On cherche \(t > 0\) tel que \(h(t) = 0\) :
L'objet touche le sol entre \(t = 3{,}1\) et \(t = 3{,}2\) s, soit environ \(t \approx \mathbf{3{,}1}\) s.
d) On cherche les deux instants où \(h(t) = 10\). La courbe monte puis descend : il y a une traversée du seuil à la montée, une autre à la descente.
Première traversée (à la montée) :
Seconde traversée (à la descente) :
L'objet dépasse 10 m à un instant compris entre 0,6 s et 0,7 s, et repasse sous 10 m à un instant compris entre 2,3 s et 2,4 s : la durée passée au-dessus de 10 m est donc comprise entre 1,6 s et 1,8 s, soit environ 1,6 seconde.
Un installateur thermique modélise le coût de maintenance (en €) d'une chaudière en fonction de son âge \(x\) (en années) par \(C(x) = 3x^2 - 24x + 45\).
a) Vérifier que \(x_1 = 3\) est une racine.
b) Trouver la seconde racine par la méthode de la somme des racines, en utilisant la relation : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\).
c) Écrire la forme factorisée.
d) Pour quels âges le coût de maintenance serait-il négatif (ce qui n'a pas de sens) ?
a) \(C(3) = 3 \times 9 - 24 \times 3 + 45 = 27 - 72 + 45 = \mathbf{0}\) ✓
b) \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-24}{3} = 8\). Donc \(x_2 = 8 - 3 = \mathbf{5}\).
Vérification : \(C(5) = 3 \times 25 - 120 + 45 = 75 - 120 + 45 = 0\) ✓
c) \(C(x) = 3(x - 3)(x - 5)\)
d) Comme \(a = 3 > 0\), \(C(x) < 0\) entre les racines, soit pour \(x \in ]3\,;\,5[\). Le modèle n'est pas valide pour ces âges.
On considère \(f(x) = -2(x + 2)(x - 4)\).
a) Donner les racines de \(f\) et le signe de \(a\).
b) Dresser le tableau de signes complet de \(f(x)\) en complétant le tableau ci-dessous.
c) Résoudre \(f(x) \geqslant 0\).
d) Calculer les coordonnées du sommet. Développer d'abord \(f(x)\) pour identifier \(b\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ldots\) | \(\ldots\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f(x)\) |
a) Racines : \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 4\). Coefficient : \(a = -2 < 0\).
b) Quand \(a < 0\), le signe est positif entre les racines :
c) \(f(x) \geqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{-2}\,;\,\mathbf{4}]\).
d) Développement : \(f(x) = -2(x^2 - 2x - 8) = -2x^2 + 4x + 16\). Donc \(a = -2\), \(b = 4\).
\(x_S = -\dfrac{4}{2 \times (-2)} = -\dfrac{4}{-4} = \mathbf{1}\)
\(f(1) = -2(1+2)(1-4) = -2 \times 3 \times (-3) = \mathbf{18}\)
Le sommet est \(S(1\,;\,18)\). C'est un maximum car \(a < 0\).
Un artisan menuisier modélise l'aire \(A(x)\) (en m²) d'un cadre rectangulaire dont la largeur est \((x + 2)\) et la hauteur est \((x - 3)\), avec \(x \geqslant 3\).
a) Développer \(A(x) = (x+2)(x-3)\) sous la forme \(ax^2 + bx + c\).
b) Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle nulle ? (racine retenue dans le domaine, car \(x \geqslant 3\))
c) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole.
d) L'aire peut-elle valoir 16 m² ? Résoudre \(A(x) = 16\) par balayage entre \(x = 4\) et \(x = 6\).
a) \(A(x) = x^2 - 3x + 2x - 6 = \mathbf{x^2 - x - 6}\). Donc \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\).
b) Les racines sont celles de \((x+2)(x-3) = 0\), soit \(x = -2\) ou \(x = 3\). Comme \(x \geqslant 3\), seule \(x = \mathbf{3}\) appartient au domaine : l'aire est nulle pour \(x = 3\) (le cadre est alors de hauteur nulle). La racine \(x = -2\) n'a pas de sens physique.
c) \(x_S = -\dfrac{-1}{2 \times 1} = 0{,}5\)
\(A(0{,}5) = 0{,}25 - 0{,}5 - 6 = -6{,}25\)
Sommet : \(S(0{,}5\,;\,-6{,}25)\). Mais ce sommet est hors du domaine \(x \geqslant 3\).
d) On résout \(x^2 - x - 6 = 16\), soit \(x^2 - x - 22 = 0\). Posons \(h(x) = x^2 - x - 22\).
Changement de signe entre 4 et 6. On resserre : \(h(5) = 25 - 5 - 22 = -2 < 0\), donc la solution est entre 5 et 6. Balayage au dixième :
La solution est dans \([5{,}2\,;\,5{,}3]\), soit \(x \approx \mathbf{5{,}2}\) mètres.
Vérification : \(A(5{,}2) = 7{,}2 \times 2{,}2 = 15{,}84\) m² et \(A(5{,}3) = 7{,}3 \times 2{,}3 = 16{,}79\) m² : l'aire de 16 m² est bien atteinte entre ces deux valeurs. ✓
La trajectoire d'un projectile est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 20t + 3\) où \(h\) est la hauteur en mètres et \(t\) le temps en secondes.
a) Calculer les coordonnées du sommet. Interpréter physiquement.
b) Vérifier que \(h(0) = 3\). Que représente cette valeur ?
c) Quand le projectile retouche-t-il le sol ? Utiliser le balayage entre \(t = 4\) et \(t = 5\) pour encadrer la solution au dixième.
d) Pendant combien de temps (environ) le projectile est-il au-dessus de 20 m ? Résoudre \(h(t) = 20\) par balayage.
a) \(t_S = -\dfrac{20}{2 \times (-5)} = -\dfrac{20}{-10} = \mathbf{2}\) s
\(h(2) = -5 \times 4 + 20 \times 2 + 3 = -20 + 40 + 3 = \mathbf{23}\) m
Le projectile atteint sa hauteur maximale de 23 m après 2 secondes.
b) \(h(0) = 0 + 0 + 3 = \mathbf{3}\) m. C'est la hauteur initiale du projectile au moment du lancer.
c) On cherche \(t > 0\) tel que \(h(t) = 0\) :
Le projectile touche le sol entre \(t = 4{,}1\) et \(t = 4{,}2\) s, soit environ \(t \approx \mathbf{4{,}1}\) s.
d) On cherche les deux instants où \(h(t) = 20\). La courbe monte puis descend : il y a une traversée du seuil à la montée, une autre à la descente.
Première traversée (à la montée) :
Seconde traversée (à la descente) :
Le projectile dépasse 20 m à un instant compris entre 1,2 s et 1,3 s, et repasse sous 20 m à un instant compris entre 2,7 s et 2,8 s : la durée passée au-dessus de 20 m est donc comprise entre 1,4 s et 1,6 s, soit environ 1,5 seconde.