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Chapitre 5 – Exercices par capacités

Fonctions polynômes de degré 2  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

Attention : le calcul des racines par le discriminant est hors programme en Première Bac Pro.

C1 — Visualiser graphiquement le nombre de solutions de \(f(x) = 0\)

Rappel de cours — Polynôme de degré 2 et nombre de solutions

Un polynôme de degré 2 est une fonction de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).

Sa représentation graphique est une parabole :

  • ouverte vers le haut si \(a > 0\)
  • ouverte vers le bas si \(a < 0\)
2 solutions x₁ x₂ 1 solution (double) x₀ 0 solution pas d'intersection
Les trois cas possibles pour \(f(x) = 0\) (\(a > 0\))

Le nombre de solutions de \(f(x) = 0\) correspond au nombre de points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses : 0, 1 ou 2.

Exercice 1

Pour chaque parabole ci-dessous, indiquer le nombre de solutions de \(f(x) = 0\) et les lire si possible.

a) −23 b) c) 1
  1. La parabole (ouverte vers le bas) coupe l'axe des abscisses en deux points : \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 3\). L'équation \(f(x) = 0\) a 2 solutions.
  2. La parabole (ouverte vers le haut) ne coupe pas l'axe des abscisses. L'équation \(f(x) = 0\) n'a aucune solution.
  3. La parabole (ouverte vers le bas) est tangente à l'axe des abscisses en \(x = 1\). L'équation \(f(x) = 0\) a une solution (double) : \(x = 1\).

Exercice 2

À l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, tracer la courbe de \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) et déterminer graphiquement le nombre de solutions de \(f(x) = 0\). Lire les solutions éventuelles.

La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points : \(x = 1\) et \(x = 3\).
Vérification : \(f(1) = 1 - 4 + 3 = 0\) et \(f(3) = 9 - 12 + 3 = 0\). Correct.
L'équation \(f(x) = 0\) a deux solutions : \(x = 1\) et \(x = 3\).

Exercice 3

Un menuisier modélise la section d'une arche parabolique par \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\), où \(x\) est en mètres. Combien de fois l'arche touche-t-elle le sol (\(f(x) = 0\)) ?

On cherche les valeurs de \(x\) telles que \(-x^2 + 6x - 5 = 0\).
On teste : \(f(1) = -1 + 6 - 5 = 0\) et \(f(5) = -25 + 30 - 5 = 0\).
L'arche touche le sol en deux points : \(x = 1\) m et \(x = 5\) m.
L'arche a donc une portée de \(5 - 1 = 4\) mètres.

C2 — Allure de la parabole sous forme factorisée

Rappel de cours — Forme factorisée

Si \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) avec \(x_1 \neq x_2\) :

  • Les racines (zéros) sont \(x_1\) et \(x_2\)
  • L'axe de symétrie passe par \(x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\)
  • Le sommet a pour abscisse \(x_S\) et pour ordonnée \(f(x_S)\)
  • L'ordonnée à l'origine est \(f(0) = a \cdot x_1 \cdot x_2\)
  • Si \(a > 0\) : parabole ouverte vers le haut (sommet = minimum)
  • Si \(a < 0\) : parabole ouverte vers le bas (sommet = maximum)

Exercice 4

Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x - 5)\). Déterminer :

  1. Les racines de \(f\).
  2. Le signe de \(a\) et le sens d'ouverture de la parabole.
  3. L'abscisse du sommet et les coordonnées du sommet.
  4. L'ordonnée à l'origine.
  1. Les racines sont \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\).
  2. \(a = 2 > 0\) : la parabole est ouverte vers le haut.
  3. \(x_S = \dfrac{1 + 5}{2} = 3\).
    \(f(3) = 2(3 - 1)(3 - 5) = 2 \times 2 \times (-2) = -8\).
    Le sommet est \(S(3\,;\,-8)\).
  4. \(f(0) = 2(0 - 1)(0 - 5) = 2 \times (-1) \times (-5) = 10\).

Exercice 5

Soit \(f(x) = -(x + 2)(x - 4)\). Tracer l'allure de la parabole en précisant les éléments caractéristiques.

  • Racines : \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 4\).
  • \(a = -1 < 0\) : parabole ouverte vers le bas.
  • Axe de symétrie : \(x_S = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1\).
  • Sommet : \(f(1) = -(1 + 2)(1 - 4) = -3 \times (-3) = 9\). Donc \(S(1\,;\,9)\).
  • Ordonnée à l'origine : \(f(0) = -(0 + 2)(0 - 4) = -2 \times (-4) = 8\).
La parabole passe par \((-2\,;\,0)\), monte jusqu'au sommet \((1\,;\,9)\), puis redescend vers \((4\,;\,0)\).

Exercice 6

Un agenceur conçoit un arc de porte parabolique. La forme est modélisée par \(f(x) = -0{,}5(x - 0)(x - 4) = -0{,}5x(x - 4)\), où \(x\) est en mètres. Donner l'allure de l'arc, sa hauteur maximale et sa largeur.

  • Racines : \(x_1 = 0\) et \(x_2 = 4\). L'arc repose sur le sol entre 0 m et 4 m.
    Largeur de l'arc : 4 m.
  • \(a = -0{,}5 < 0\) : parabole ouverte vers le bas (forme d'arc).
  • Sommet : \(x_S = \dfrac{0 + 4}{2} = 2\). \(f(2) = -0{,}5 \times 2 \times (2 - 4) = -0{,}5 \times 2 \times (-2) = 2\).
    Hauteur maximale : 2 m (au milieu de l'arc).

C3 — Tester si un réel est racine ; factoriser

Rappel de cours

Tester une racine : un réel \(r\) est racine de \(f(x) = ax^2 + bx + c\) si et seulement si \(f(r) = 0\).

Factoriser : si \(x_1\) et \(x_2\) sont les racines, alors \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\).

Exercice 7

Soit \(f(x) = x^2 - 5x + 6\). Tester si \(x = 2\) et \(x = 3\) sont des racines de \(f\). En déduire la forme factorisée.

\(f(2) = 4 - 10 + 6 = 0\) : oui, \(x = 2\) est racine.
\(f(3) = 9 - 15 + 6 = 0\) : oui, \(x = 3\) est racine.

Forme factorisée (avec \(a = 1\)) :
\(\boxed{f(x) = (x - 2)(x - 3)}\)

Exercice 8

Soit \(g(x) = 2x^2 + 6x - 8\). Vérifier que \(x = 1\) est racine. En déduire la factorisation.

\(g(1) = 2 + 6 - 8 = 0\) : oui, \(x = 1\) est racine.

On cherche la deuxième racine \(x_2\). On sait que \(g(x) = 2(x - 1)(x - x_2)\).
En développant : \(2(x - 1)(x - x_2) = 2x^2 - 2(1 + x_2)x + 2x_2\).
Par identification avec \(2x^2 + 6x - 8\) : \(2x_2 = -8\), donc \(x_2 = -4\).

\(\boxed{g(x) = 2(x - 1)(x + 4)}\)
Vérification : \(g(-4) = 2 \times 16 - 24 - 8 = 32 - 32 = 0\). Correct.

Exercice 9

La hauteur d'une planche coupée en arc est modélisée par \(f(x) = -3x^2 + 12x - 9\) (en cm). Un apprenti affirme que la planche touche le bord à \(x = 1\) cm et \(x = 3\) cm. A-t-il raison ? Factoriser \(f\).

\(f(1) = -3 + 12 - 9 = 0\) et \(f(3) = -27 + 36 - 9 = 0\).
Oui, l'apprenti a raison : les bords sont bien à \(x = 1\) et \(x = 3\).

Forme factorisée (avec \(a = -3\)) :
\(\boxed{f(x) = -3(x - 1)(x - 3)}\)
Vérification : \(-3(x - 1)(x - 3) = -3(x^2 - 4x + 3) = -3x^2 + 12x - 9\). Correct.

C4 — Racines et signe d'un polynôme sous forme factorisée

Rappel de cours — Signe d'un polynôme factorisé

Si \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) avec \(x_1 < x_2\), le signe de \(f(x)\) suit la règle :

\(x\)\(-\infty\)\(x_1\)\(x_2\)\(+\infty\)
Si \(a > 0\)+0−0+
Si \(a < 0\)−0+0−

Astuce : le signe de \(f\) est celui de \(a\) « à l'extérieur » des racines, et l'opposé « entre » les racines.

Exercice 10

Déterminer les racines et dresser le tableau de signes de :

  1. \(f(x) = (x - 1)(x - 4)\)
  2. \(g(x) = -2(x + 3)(x - 2)\)
  1. Racines : \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\). Ici \(a = 1 > 0\).
    \(f(x) > 0\) pour \(x < 1\) ou \(x > 4\) ; \(f(x) < 0\) pour \(1 < x < 4\).
    \(f(x) = 0\) pour \(x = 1\) ou \(x = 4\).
  2. Racines : \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\). Ici \(a = -2 < 0\).
    \(g(x) < 0\) pour \(x < -3\) ou \(x > 2\) ; \(g(x) > 0\) pour \(-3 < x < 2\).
    \(g(x) = 0\) pour \(x = -3\) ou \(x = 2\).

Exercice 11

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. \((x - 2)(x - 6) \leqslant 0\)
  2. \(-3(x + 1)(x - 5) > 0\)
  1. Racines : 2 et 6. \(a = 1 > 0\) : négatif entre les racines.
    \((x-2)(x-6) \leqslant 0\) pour \(\boxed{2 \leqslant x \leqslant 6}\).
  2. Racines : \(-1\) et 5. \(a = -3 < 0\) : positif entre les racines (strictement).
    \(-3(x+1)(x-5) > 0\) pour \(\boxed{-1 < x < 5}\).

Exercice 12

Le bénéfice (en euros) d'un atelier de menuiserie en fonction du nombre \(x\) de pièces produites est modélisé par \(B(x) = -2(x - 5)(x - 25)\).

  1. Pour quelles valeurs de \(x\) le bénéfice est-il positif ?
  2. Quel est le nombre de pièces qui maximise le bénéfice ?
  1. Racines : 5 et 25. \(a = -2 < 0\) : positif entre les racines.
    Le bénéfice est positif pour \(\boxed{5 < x < 25}\), soit entre 5 et 25 pièces (exclues).
    L'atelier est rentable en produisant entre 6 et 24 pièces.
  2. Le maximum est atteint au sommet : \(x_S = \dfrac{5 + 25}{2} = 15\).
    \(B(15) = -2(15 - 5)(15 - 25) = -2 \times 10 \times (-10) = 200\) €.
    Le bénéfice maximal est de 200 € pour 15 pièces.

C5 — Déterminer la 2e solution lorsqu'une solution est connue

Rappel de cours — Trouver la deuxième racine

Si \(x_1\) est une racine connue de \(f(x) = ax^2 + bx + c\), on peut trouver \(x_2\) en utilisant la propriété :

\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\)   et   \(x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}\)

On peut aussi factoriser par \((x - x_1)\) et résoudre le facteur restant.

Exercice 13

Soit \(f(x) = x^2 - 7x + 10\). On sait que \(x_1 = 2\) est solution de \(f(x) = 0\). Trouver \(x_2\).

Méthode 1 (somme des racines) :
\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-7}{1} = 7\)
Donc \(x_2 = 7 - x_1 = 7 - 2 = 5\).

Méthode 2 (produit des racines) :
\(x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{10}{1} = 10\)
Donc \(x_2 = \dfrac{10}{2} = 5\).

Vérification : \(f(5) = 25 - 35 + 10 = 0\). Correct.
\(\boxed{x_2 = 5}\)

Exercice 14

Soit \(g(x) = 3x^2 + 3x - 18\). Vérifier que \(x_1 = -3\) est racine et trouver \(x_2\).

Vérification : \(g(-3) = 3 \times 9 + 3 \times (-3) - 18 = 27 - 9 - 18 = 0\). Oui, \(x_1 = -3\) est racine.

Produit des racines : \(x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-18}{3} = -6\)
Donc \(x_2 = \dfrac{-6}{-3} = 2\).

Vérification : \(g(2) = 12 + 6 - 18 = 0\). Correct.
\(\boxed{x_2 = 2}\)

Exercice 15

La surface au sol d'un meuble d'angle est modélisée par \(f(x) = 2x^2 - 10x + 12\), où \(x\) est une dimension en décimètres. On sait que \(f(x) = 0\) pour \(x = 2\). Pour quelle autre valeur de \(x\) la surface est-elle nulle ?

Vérification : \(f(2) = 8 - 20 + 12 = 0\). Correct.

Somme des racines : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-10}{2} = 5\)
Donc \(x_2 = 5 - 2 = 3\).

Vérification : \(f(3) = 18 - 30 + 12 = 0\). Correct.
La surface est nulle pour \(x = 2\) dm et \(\boxed{x = 3}\) dm.

Forme factorisée : \(f(x) = 2(x - 2)(x - 3)\).

Exercice 16

Un charpentier calcule que la charge admissible d'une poutre vérifie \(f(x) = -x^2 + 8x - 12 = 0\) pour \(x = 6\) m. Trouver l'autre valeur de \(x\) et donner la forme factorisée.

Vérification : \(f(6) = -36 + 48 - 12 = 0\). Correct.

Somme des racines : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{8}{-1} = 8\)
Donc \(x_2 = 8 - 6 = 2\).

Vérification : \(f(2) = -4 + 16 - 12 = 0\). Correct.
\(\boxed{x_2 = 2}\) m.

Forme factorisée : \(f(x) = -(x - 2)(x - 6)\).