Fonctions polynômes de degré 2 | Première Bac Pro | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Attention : le calcul des racines par le discriminant est hors programme en Première Bac Pro. Le sommet s'obtient au milieu des racines de la forme factorisée : la formule \(x_S = -\dfrac{b}{2a}\) n'est pas au programme et n'est utilisée nulle part sur cette page.
Un polynôme de degré 2 est une fonction de la forme \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\). Sa représentation graphique est une parabole.
Le nombre de solutions de \(f(x) = 0\) est le nombre de points où la parabole touche ou traverse l'axe des abscisses : 0, 1 ou 2, jamais 3. On ne compte pas les branches : une parabole en a toujours deux.
Pour chaque parabole ci-dessous, indiquer le nombre de solutions de \(f(x) = 0\), puis lire ces solutions.
À l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, tracer la courbe de \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) et déterminer graphiquement le nombre de solutions de \(f(x) = 0\). Lire les solutions éventuelles.
Un paysagiste modélise la hauteur d'un jet d'eau, en mètres, par une fonction \(f\) de la distance horizontale \(x\), en mètres. Sa courbe est tracée ci-dessous. Le niveau du bassin correspond à \(f(x) = 0\).
1. Combien de fois le jet est-il au niveau du bassin ?
2. Lire les distances correspondantes, puis la distance entre ces deux points.
Karim regarde la parabole ci-dessous et affirme : « La courbe a deux branches, donc l'équation \(f(x) = 0\) a deux solutions. »
1. Karim a-t-il raison ? Justifier.
2. Combien l'équation \(f(x) = 0\) a-t-elle de solutions ?
Sur une feuille, tracer deux repères gradués de \(-4\) à \(6\) en abscisse.
a) Dans le premier, tracer l'allure d'une parabole tournée vers le haut pour laquelle l'équation \(f(x) = 0\) a exactement deux solutions : \(0\) et \(4\).
b) Dans le second, tracer l'allure d'une parabole tournée vers le bas pour laquelle l'équation \(f(x) = 0\) a une seule solution : \(-1\).
Les tracés ci-dessous sont des exemples : toute parabole qui respecte le sens et les points de rencontre avec l'axe convient.
a) La courbe est tournée vers le haut et traverse l'axe des abscisses en 0 et en 4, et nulle part ailleurs.
b) La courbe est tournée vers le bas et touche l'axe des abscisses en \(-1\) seulement : son sommet est le point \((-1\,;\,0)\).
À partir de \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) :
Soit \(f(x) = 2(x - 1)(x - 5)\). Déterminer :
Soit \(f(x) = -(x + 2)(x - 4)\). Donner les racines, l'ordonnée à l'origine et le sommet, puis tracer l'allure de la parabole.
Un scénographe conçoit une arche décorative pour une scène. Sa forme est modélisée par \(f(x) = -0{,}5x(x - 4)\), où \(x\) est en mètres. Donner l'allure de l'arche, sa hauteur maximale et sa largeur au sol.
Pour \(f(x) = ax^2 + bx + c\) :
Attention : \(a > 0\) ne veut pas dire « la courbe est au-dessus de l'axe ». La parabole de \(x^2 - 4\) est tournée vers le haut et passe pourtant par \((0\,;\,-4)\).
Associer chacune des trois courbes ci-dessous à l'une des expressions \(f(x) = x^2 + 2x - 3\), \(g(x) = -x^2 - 2x + 3\) et \(h(x) = x^2 + 2x + 2\). Justifier d'abord par le signe de \(a\), puis par l'ordonnée à l'origine.
Signe de \(a\) : seule \(g\) a un coefficient \(a = -1\) négatif, et seule la courbe c) est tournée vers le bas : c) ↔ \(g\).
Ordonnée à l'origine : \(f\) et \(h\) sont toutes deux tournées vers le haut. \(f(0) = -3\) et \(h(0) = 2\). La courbe b) coupe l'axe des ordonnées en \(-3\) : b) ↔ \(f\). La courbe a) le coupe en 2 : a) ↔ \(h\).
Contrôle : la courbe a) ne rencontre pas l'axe des abscisses ; la courbe b) le coupe en \(-3\) et en 1, et l'on vérifie \(f(1) = 1 + 2 - 3 = 0\).
La courbe ci-dessous représente l'une des trois fonctions \(p(x) = (x + 1)(x - 3)\), \(q(x) = -(x - 1)(x + 3)\) et \(r(x) = -(x + 1)(x - 3)\).
1. Laquelle ? Justifier par le sens de la courbe, puis par ses points de rencontre avec l'axe des abscisses.
2. Contrôler en calculant l'ordonnée à l'origine de la fonction choisie.
1. La courbe est tournée vers le bas : le coefficient \(a\) est négatif, ce qui écarte \(p\). Elle coupe l'axe des abscisses en \(-1\) et en 3 : les facteurs sont \((x + 1)\) et \((x - 3)\), ce qui écarte \(q\), dont les racines sont 1 et \(-3\). C'est donc \(r\).
2. \(r(0) = -(0 + 1)(0 - 3) = -1 \times (-3) = 3\) : la courbe coupe bien l'axe des ordonnées en 3.
On donne \(f(x) = x^2 - 9\). Lina affirme : « \(a = 1\) est positif, donc la courbe de \(f\) est entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. »
1. Calculer \(f(0)\).
2. Lina a-t-elle raison ? Justifier.
3. Qu'indique vraiment le signe de \(a\) sur la courbe ?
1. \(f(0) = 0^2 - 9 = -9\).
2. Non. La courbe passe par le point \((0\,;\,-9)\), qui est au-dessous de l'axe des abscisses : elle n'est donc pas entièrement au-dessus.
3. Le signe de \(a\) donne le sens de la courbure : ici \(a > 0\), la parabole est tournée vers le haut. Il ne dit pas si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe.
1. Remplacer \(x\) par le nombre à tester, entre parenthèses s'il est négatif. 2. Calculer en respectant les priorités : le carré d'abord. 3. Conclure : si le résultat vaut 0, le nombre est une racine ; sinon, il n'en est pas une.
Le carré d'un nombre négatif est positif : \((-3)^2 = 9\), alors que \(-3^2 = -9\).
Un polynôme de degré 2 a au plus deux racines.
Soit \(f(x) = x^2 - 5x + 6\). Tester si \(2\), \(3\) et \(4\) sont des racines de \(f\). Peut-il exister d'autres racines ?
On donne \(g(x) = x^2 + 2x - 8\). Pour savoir si \(-4\) est une racine, Tom écrit :
\(g(-4) = -4^2 + 2 \times (-4) - 8 = -16 - 8 - 8 = -32\), donc \(-4\) n'est pas une racine.
1. Quelle erreur Tom a-t-il commise ?
2. Refaire le calcul correctement, puis conclure.
La hauteur d'un jet d'eau miniature, par rapport à un niveau de référence, est modélisée par \(f(x) = -3x^2 + 12x - 9\) (en cm). Un technicien affirme que le jet est au niveau de référence pour \(x = 1\) cm et \(x = 3\) cm. A-t-il raison ?
Une pile de force électromotrice \(E = 12\) V et de résistance interne \(r = 2\ \Omega\) alimente un moteur. La puissance reçue par le moteur est \(P(I) = I(12 - 2I)\), en watts, où \(I\) est l'intensité en ampères.
On cherche les intensités pour lesquelles le moteur reçoit 16 W. Cela revient à chercher les racines de \(k(I) = -2I^2 + 12I - 16\).
1. Tester si 2, 3 et 4 sont des racines de \(k\).
2. Pour quelles intensités le moteur reçoit-il 16 W ?
1. Relever le coefficient \(a\), celui de \(x^2\). 2. Écrire \(a(x - x_1)(x - x_2)\) avec les racines connues : à la racine \(-5\) correspond le facteur \(x - (-5) = x + 5\). 3. Contrôler en développant.
Le coefficient \(a\) ne s'invente pas et ne disparaît pas. Quand le polynôme n'a pas de terme constant, \(x\) se met en facteur : 0 est une racine évidente.
Soit \(f(x) = x^2 + x - 12\), dont les racines sont \(3\) et \(-4\). Écrire la forme factorisée de \(f\), puis contrôler en développant.
Soit \(g(x) = -3x^2 + 12x - 9\), dont les racines sont \(1\) et \(3\). Écrire la forme factorisée de \(g\), puis contrôler en développant.
Soit \(h(x) = 5x^2 - 15x\). Ce polynôme n'a pas de terme constant.
1. Mettre \(x\) en facteur.
2. Écrire \(h(x)\) sous la forme \(a(x - x_1)(x - x_2)\), en précisant \(a\), \(x_1\) et \(x_2\).
3. Contrôler en développant.
Les racines de \(k(x) = 2x^2 - 10x + 12\) sont 2 et 3. Léa écrit \(k(x) = (x - 2)(x - 3)\).
1. Développer la proposition de Léa. Est-ce bien \(k\) ?
2. Expliquer son erreur et donner la bonne forme factorisée.
Racines : \(a(x - x_1)(x - x_2) = 0\) exactement quand \(x = x_1\) ou \(x = x_2\). Le facteur \(x + 5\) s'annule pour \(x = -5\), pas pour 5.
Signe : si \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) avec \(x_1 < x_2\) :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Si \(a > 0\) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| Si \(a < 0\) | − | 0 | + | 0 | − |
Astuce : le signe de \(f\) est celui de \(a\) « à l'extérieur » des racines, et l'opposé « entre » les racines.
Donner les racines de chacune de ces fonctions, sans développer.
Déterminer les racines et dresser le tableau de signes de :
a) Racines : \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 4\). Ici \(a = 1 > 0\).
\(f(x) > 0\) pour \(x < 1\) ou \(x > 4\) ; \(f(x) < 0\) pour \(1 < x < 4\) ; \(f(x) = 0\) pour \(x = 1\) ou \(x = 4\).
b) Racines : \(x_1 = -3\) et \(x_2 = 2\). Ici \(a = -2 < 0\) : on ajoute une ligne pour le coefficient.
\(g(x) < 0\) pour \(x < -3\) ou \(x > 2\) ; \(g(x) > 0\) pour \(-3 < x < 2\) ; \(g(x) = 0\) pour \(x = -3\) ou \(x = 2\).
Résoudre les inéquations suivantes :
Le bénéfice (en euros) d'une association en fonction du nombre \(x\) de stands installés lors d'un événement est modélisé par \(B(x) = -2(x - 5)(x - 25)\).
Par l'écriture factorisée : si \(x_1\) est une racine de \(f(x) = ax^2 + bx + c\), on écrit \(f(x) = a(x - x_1)(x - r)\). En développant, le terme constant vaut \(a \times x_1 \times r\) ; il doit être égal à \(c\). On en déduit \(r\), puis on le contrôle en calculant \(f(r)\).
Par la courbe : si l'axe de symétrie \(x = x_S\) est connu, la seconde racine est le symétrique de la première : elle est à la même distance de l'axe, de l'autre côté.
Soit \(f(x) = x^2 - 7x + 10\). On sait que \(x_1 = 2\) est solution de \(f(x) = 0\). Trouver la seconde solution.
Ici \(a = 1\). On écrit \(f(x) = (x - 2)(x - r)\). Le terme constant du développement vaut \((-2) \times (-r) = 2r\) ; il doit valoir 10. Donc \(2r = 10\) et \(r = 5\).
Contrôle : \(f(5) = 25 - 35 + 10 = 0\). La seconde solution est 5, et \(f(x) = (x - 2)(x - 5)\).
Soit \(g(x) = 2x^2 + 6x - 8\). On sait que \(x = 1\) est une racine. Trouver la seconde racine.
Ici \(a = 2\). On écrit \(g(x) = 2(x - 1)(x - r)\). Le terme constant du développement vaut \(2 \times (-1) \times (-r) = 2r\) ; il doit valoir \(-8\). Donc \(2r = -8\) et \(r = -4\).
Contrôle : \(g(-4) = 2 \times 16 - 24 - 8 = 32 - 32 = 0\). La seconde racine est \(-4\), et \(g(x) = 2(x - 1)(x + 4)\).
Soit \(h(x) = 3x^2 + 3x - 18\). On sait que \(x_1 = -3\) est une racine. Trouver la seconde racine.
Ici \(a = 3\). On écrit \(h(x) = 3(x + 3)(x - r)\). Le terme constant du développement vaut \(3 \times 3 \times (-r) = -9r\) ; il doit valoir \(-18\). Donc \(-9r = -18\) et \(r = 2\).
Contrôle : \(h(2) = 12 + 6 - 18 = 0\). La seconde racine est 2, et \(h(x) = 3(x + 3)(x - 2)\).
On sait que 2 est une racine de \(k(x) = 2x^2 - 10x + 12\). Pour trouver la seconde, Noé divise le terme constant 12 par la racine connue 2 et trouve 6.
1. Calculer \(k(6)\). Noé a-t-il raison ?
2. Expliquer son erreur, puis trouver la bonne seconde racine.
1. \(k(6) = 2 \times 36 - 60 + 12 = 24 \neq 0\) : 6 n'est pas une racine. Noé se trompe.
2. Il a oublié le coefficient \(a = 2\). En écrivant \(k(x) = 2(x - 2)(x - r)\), le terme constant vaut \(2 \times (-2) \times (-r) = 4r\). Il doit valoir 12 : \(4r = 12\), donc \(r = 3\). Contrôle : \(k(3) = 18 - 30 + 12 = 0\).
La hauteur d'un jet d'eau est modélisée par \(f(x) = -x^2 + 8x - 12\), où \(x\) est une distance horizontale en mètres. On sait que le jet atteint le niveau du bassin pour \(x = 6\) m. Trouver l'autre valeur de \(x\) correspondante et donner la forme factorisée.
Ici \(a = -1\). On écrit \(f(x) = -(x - 6)(x - r)\). Le terme constant du développement vaut \(-1 \times (-6) \times (-r) = -6r\) ; il doit valoir \(-12\). Donc \(-6r = -12\) et \(r = 2\).
Contrôle : \(f(2) = -4 + 16 - 12 = 0\). Le jet est aussi au niveau du bassin pour \(x = 2\) m, et \(f(x) = -(x - 6)(x - 2)\).
La courbe d'un polynôme \(f\) de degré 2 est tracée en partie ci-dessous, avec son axe de symétrie. On connaît une racine de \(f\) : \(-1\).
1. Lire l'équation de l'axe de symétrie.
2. En déduire l'autre racine de \(f\), en justifiant.
1. L'axe de symétrie est la droite d'équation \(x = 2\).
2. Les deux racines sont symétriques par rapport à l'axe : 2 est au milieu. La racine \(-1\) est à 3 unités à gauche de l'axe ; l'autre est à 3 unités à droite : \(2 + 3 = 5\). On peut aussi calculer \(2 \times 2 - (-1) = 5\). L'autre racine est 5.