Chapitre 5 — Fonctions polynômes du 2nd degré | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 17:00
Adel, jeune propriétaire à Bagnolet (latitude 48°50' N), envisage de poser 8 panneaux photovoltaïques de 400 Wc sur le toit de sa maison (3,2 kWc au total). L'installateur lui propose plusieurs orientations possibles selon l'angle d'inclinaison \(\alpha\) des panneaux par rapport à l'horizontale. Le constructeur SunPower fournit le modèle suivant pour la latitude de Paris :
Soit \(\alpha\) l'angle d'inclinaison du panneau (en °) par rapport à l'horizontale (toit plat = 0°, mur vertical = 90°). Le rendement effectif \(R\) (en % du rendement maximal théorique annuel) est :
\( R(\alpha) = -0{,}02\,\alpha^2 + 1{,}4\,\alpha + 75{,}5 \)
(R en %, α en °, modèle valide pour \(\alpha \in [0\,;\,90]\), orientation plein sud)
Identifier les coefficients \(a, b, c\) de \(R(\alpha) = a \alpha^2 + b \alpha + c\). Déduire l'orientation de la parabole et la nature du sommet.
Identification : \(a = -0{,}02\), \(b = 1{,}4\), \(c = 75{,}5\).
Comme \(a < 0\), parabole vers le bas → admet un maximum. Cohérent : il existe un angle optimal au-delà duquel le rendement diminue.
Calculer \(R(0)\) (toit plat), \(R(25)\) (toit d'Adel), \(R(35)\), \(R(45)\) et \(R(90)\) (mur vertical). Présenter dans un tableau.
| \(\alpha\) (°) | 0 | 25 | 35 | 45 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(R(\alpha)\) (%) |
\(R(0) = 0 + 0 + 75{,}5 = \mathbf{75{,}5}\) %.
\(R(25) = -0{,}02 \times 625 + 1{,}4 \times 25 + 75{,}5 = -12{,}5 + 35 + 75{,}5 = \mathbf{98}\) %.
\(R(35) = -0{,}02 \times 1\,225 + 1{,}4 \times 35 + 75{,}5 = -24{,}5 + 49 + 75{,}5 = \mathbf{100}\) %.
\(R(45) = -0{,}02 \times 2\,025 + 1{,}4 \times 45 + 75{,}5 = -40{,}5 + 63 + 75{,}5 = \mathbf{98}\) %.
\(R(90) = -0{,}02 \times 8\,100 + 1{,}4 \times 90 + 75{,}5 = -162 + 126 + 75{,}5 = \mathbf{39{,}5}\) %.
| \(\alpha\) (°) | 0 | 25 | 35 | 45 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(R(\alpha)\) (%) | 75,5 | 98 | 100 | 98 | 39,5 |
Dans le tableau de la question 2, \(R(25) = R(45)\) : ces deux points sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole. En déduire les coordonnées du sommet, puis l'angle d'inclinaison optimal.
\(R(25) = R(45) = 98\) % : l'axe de symétrie passe au milieu, \(\alpha_S = \dfrac{25 + 45}{2} = \mathbf{35}\) °.
\(R(35) = 100\) %.
Sommet : \(S(35\,;\,100)\). L'angle optimal pour Bagnolet est 35°, ce qui correspond ≈ à la latitude (48°) moins quelques degrés. Conforme à la règle empirique « inclinaison ≈ latitude − 10° pour l'optimum annuel ».
Le toit d'Adel est incliné à 25° (Doc 3). Quel rendement obtiendrait-il sans modifier l'inclinaison ? L'écart au maximum est-il significatif ?
\(R(25) = 98\) % (cf. Q2). Le toit existant est très proche de l'optimum.
Écart : \(100 - 98 = 2\) % de rendement.
Sur la production annuelle : \(2\% \times 4\,500 = 90\) kWh perdus, soit environ 19 €/an.
Conclusion : l'écart est très faible. Pas la peine de modifier l'inclinaison juste pour gagner 19 €/an, alors qu'un système inclinable coûte 3 000 € (amortissement > 150 ans !).
Pour quels angles le rendement atteint-il au moins 95 % ? Lire avec un outil graphique les intersections de \(R(\alpha)\) et de la droite \(y=95\), puis en déduire l’intervalle.
Le graphique de \(R(\alpha)=-0{,}02\alpha^2+1{,}4\alpha+75{,}5\) coupe la droite \(y=95\) vers \(\alpha\approx19{,}2^\circ\) et \(\alpha\approx50{,}8^\circ\).
Entre ces angles, la courbe est au-dessus de la droite : le rendement est au moins 95 %. Par exemple, \(R(35)=100\,\%\). L'intervalle est approximativement \([19{,}2^\circ\,;\,50{,}8^\circ]\).
Calcul du manque à gagner : si Adel installe ses panneaux à plat sur une terrasse (\(\alpha = 0\)) au lieu de son toit à 25°, combien perd-il par an en €?
Rendement à plat : \(R(0) = 75{,}5\) %. Au lieu de \(R(25) = 98\) %.
Production annuelle à plat : \(4\,500 \times 0{,}755 = 3\,397{,}5\) kWh.
Production annuelle à 25° : \(4\,500 \times 0{,}98 = 4\,410\) kWh.
Écart : \(4\,410 - 3\,397{,}5 = 1\,012{,}5\) kWh/an.
Manque à gagner : \(1\,012{,}5 \times 0{,}21 = \mathbf{\approx 213\,\text{€}}\) par an. Sur 25 ans (durée de vie d'un panneau) : 5 300 €. Significatif.
Pour Lyon (latitude 45°N), le modèle est légèrement différent : \(R_L(\alpha) = -0{,}02 \alpha^2 + 1{,}6 \alpha + 70\). Calculer \(R_L(30)\) et \(R_L(50)\), puis en déduire par symétrie l'angle optimal et le rendement maximal à Lyon.
\(R_L(30) = -18 + 48 + 70 = 100\) et \(R_L(50) = -50 + 80 + 70 = 100\) : l'axe de symétrie passe au milieu, \(\alpha_S = \dfrac{30 + 50}{2} = \mathbf{40}\) °.
\(R_L(40) = -0{,}02 \times 1\,600 + 1{,}6 \times 40 + 70 = -32 + 64 + 70 = \mathbf{102}\) %.
À Lyon, l'optimum est à 40° (latitude un peu plus faible mais ensoleillement supérieur). Le rendement maximal dépasse celui de Bagnolet (102 % vs 100 % en référence).
Plus on va vers le sud, plus l'ensoleillement annuel augmente, mais l'angle optimal varie peu (35-45°).
Rédiger la note de conseil d'Adel à son voisin qui hésite à installer le solaire (6 lignes).
Conseil — Inclinaison panneaux solaires Bagnolet
• Modèle de rendement : \(R(\alpha) = -0{,}02 \alpha^2 + 1{,}4 \alpha + 75{,}5\) (%).
• Angle optimal annuel : 35° (≈ latitude moins 10°).
• Tolérance large : \(R \geq 95\,\%\) pour \(\alpha \in [19\,;\,51]\) → la plupart des toits inclinés conviennent.
• Mon toit à 25° → 98 % → ne pas chercher à modifier (ROI ridicule).
• Toit plat ou orientation mauvaise → -213 €/an → là, il faut installer des supports.
• Règle pratique : si toit incliné plein sud entre 20° et 50°, foncer. Sinon, étudier d'abord.
Quel rendement à \(\alpha = 60°\) (panneau très incliné, montage spécifique anti-poussière) ? À \(\alpha = 75°\) ?
\(R(60) = -0{,}02 \times 3\,600 + 1{,}4 \times 60 + 75{,}5 = -72 + 84 + 75{,}5 = \mathbf{87{,}5}\) %.
\(R(75) = -0{,}02 \times 5\,625 + 1{,}4 \times 75 + 75{,}5 = -112{,}5 + 105 + 75{,}5 = \mathbf{68}\) %.
Hors plage des 95 % mais encore exploitable à 60°. À 75°, le rendement chute fortement → à éviter sauf cas particulier (montage en façade pour autoconso hiver).