🏀 Activité 8 – Trajectoire d'un tir au basket SPORT

Chapitre 5 — Fonctions polynômes du 2^nd degré | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 23 mai 2026

Objectifs :

Étudier une trajectoire parabolique d'un projectile
Calculer l'apogée (sommet) d'une parabole
Calculer la portée (racines de \(h(d) = 0\)) par discriminant
Comparer plusieurs tirs et conseiller un ajustement
Faire le lien sport ↔ modélisation mathématique

Situation — séance EPS en gymnase

Yanis, élève en 1ère Bac Pro à Hénaff, joue au basket en EPS le mercredi après-midi. Il s'est inscrit au club minimes de l'AS du lycée. Avec son prof d'EPS et l'aide de son cours de maths, il analyse son tir à mi-distance. La caméra de l'application HomeCourt a enregistré sa dernière trajectoire et fournit le modèle parabolique correspondant.

Document 1 – Modèle de trajectoire (HomeCourt)

Soit \(d\) la distance horizontale parcourue par le ballon depuis le tireur (en m). La hauteur \(h(d)\) du ballon au-dessus du sol (en m) est modélisée par :

\( h(d) = -0{,}1\,d^2 + d + 2 \)

(h en m, d en m, lâcher du ballon à 2 m de hauteur)

Document 2 – Données du terrain

Hauteur officielle du panier (FFBB) : 3,05 m.
Distance du tireur au panier : 6 m (zone de mi-distance, ni ligne à 3 pts ni lancer franc).
Diamètre du cercle : 45 cm. Pour rentrer, le ballon doit passer dans une fenêtre de ~15 cm au-dessus du cercle.
Trajectoire optimale : trajet en cloche avec une apogée 1 à 1,5 m au-dessus du cercle.

Document 3 – Physique du tir

Le coefficient \(-0{,}1\) dépend de l'angle et de la vitesse initiale du tir : plus \(|a|\) est grand, plus la trajectoire est tendue.
Le coefficient \(b = 1\) traduit la composante verticale initiale du tir.
\(c = 2\) est la hauteur de lâcher du ballon (mains au-dessus de la tête).

Problématique : Le ballon de Yanis atteint-il le panier à 6 m ? Si non, à quelle hauteur passe-t-il, et que devrait-il corriger ?

Question 1 APP

Identifier les coefficients \(a, b, c\) du polynôme \(h(d) = a d^2 + b d + c\). En déduire l'orientation de la parabole et la nature du sommet.

Identification : \(a = -0{,}1\), \(b = 1\), \(c = 2\).

Comme \(a < 0\), parabole tournée vers le bas → admet un maximum (apogée). Cohérent : le ballon monte puis redescend.

Question 2 REA

Calculer \(h(0)\), \(h(2)\), \(h(5)\), \(h(6)\), \(h(10)\). Présenter sous forme de tableau.

\(h(0) = 0 + 0 + 2 = \mathbf{2}\) m (hauteur de lâcher).

\(h(2) = -0{,}1 \times 4 + 2 + 2 = -0{,}4 + 4 = \mathbf{3{,}6}\) m.

\(h(5) = -0{,}1 \times 25 + 5 + 2 = -2{,}5 + 7 = \mathbf{4{,}5}\) m.

\(h(6) = -0{,}1 \times 36 + 6 + 2 = -3{,}6 + 8 = \mathbf{4{,}4}\) m.

\(h(10) = -0{,}1 \times 100 + 10 + 2 = -10 + 12 = \mathbf{2}\) m.

\(d\) (m)	0	2	5	6	10
\(h(d)\) (m)	2	3,6	4,5	4,4	2

Question 3 REA

Calculer les coordonnées du sommet de la parabole (apogée). \(d_S = -\dfrac{b}{2 a}\), puis \(h(d_S)\).

\(d_S = -\dfrac{1}{2 \times (-0{,}1)} = -\dfrac{1}{-0{,}2} = \mathbf{5}\) m.

\(h(5) = 4{,}5\) m (cf. Q2).

Apogée : \(S(5\,;\,4{,}5)\). Le ballon culmine à 4,5 m de hauteur, à 5 m devant Yanis.

Question 4 ANA

Le panier est à 6 m du tireur, à 3,05 m de hauteur. Le ballon passe-t-il dans le panier ? Si non, à quelle hauteur passe-t-il au-dessus du cercle ?

À \(d = 6\) m, \(h(6) = 4{,}4\) m.

Hauteur du panier : 3,05 m. Écart : \(4{,}4 - 3{,}05 = \mathbf{1{,}35}\) m.

Le ballon passe 1,35 m au-dessus du panier : tir raté (ballon trop haut). Le ballon va continuer sa course et retomber au sol après le panneau.

Question 5 REA

À quelle distance le ballon touche-t-il le sol (\(h(d) = 0\)) ? Résoudre par discriminant.

\(h(d) = 0\) ⇔ \(-0{,}1 d^2 + d + 2 = 0\). Multiplier par -10 : \(d^2 - 10 d - 20 = 0\).

\(\Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 100 + 80 = 180\). \(\sqrt{\Delta} = 6\sqrt{5} \approx 13{,}42\).

\(d = \dfrac{10 \pm 13{,}42}{2}\) → \(d_1 \approx -1{,}71\) (rejeté car \(d > 0\)) ; \(d_2 \approx \mathbf{11{,}71}\) m.

Le ballon retombe à environ 11,7 m du tireur — bien au-delà du panier. Confirmation : tir beaucoup trop fort.

Question 6 ANA

Yanis ajuste son tir avec un peu moins de force. La nouvelle trajectoire est modélisée par \(h_2(d) = -0{,}15\,d^2 + 0{,}9\,d + 2\). Calculer \(h_2(6)\). Le panier est-il atteint cette fois ?

\(h_2(6) = -0{,}15 \times 36 + 0{,}9 \times 6 + 2 = -5{,}4 + 5{,}4 + 2 = \mathbf{2}\) m.

Le ballon arrive à 2 m de hauteur à la distance du panier — il est cette fois trop bas (panier à 3,05 m). Écart : -1,05 m. Tir court (toucherait le bord avant du panneau ou retomberait avant).

Question 7 VAL

Calculer l'apogée du nouveau tir \(h_2\). Comparer avec celle de \(h\). Que constate-t-on ?

Sommet de \(h_2\) : \(d_{S2} = -\dfrac{0{,}9}{2 \times (-0{,}15)} = -\dfrac{0{,}9}{-0{,}3} = \mathbf{3}\) m.

\(h_2(3) = -0{,}15 \times 9 + 0{,}9 \times 3 + 2 = -1{,}35 + 2{,}7 + 2 = \mathbf{3{,}35}\) m.

Tir	Apogée (m)	Hauteur à 6 m
\(h\) (1^er tir)	5 m / 4,5 m	4,4 m (trop haut)
\(h_2\) (2^e tir)	3 m / 3,35 m	2 m (trop bas)

Constat : on est passé de trop fort à trop mou. Le bon tir est entre les deux.

Question 8 COM

Rédiger un conseil de coach à Yanis (6 lignes) en s'appuyant sur l'analyse.

Analyse tir basket — Yanis
• Tir 1 (\(h\)) : apogée à 5 m, hauteur 4,5 m. À 6 m (panier) : 4,4 m → trop haut (passe 1,35 m au-dessus).
• Tir 2 (\(h_2\)) : apogée à 3 m, hauteur 3,35 m. À 6 m : 2 m → trop bas.
• Le tir parfait doit être entre les deux : viser une apogée vers 4 m de hauteur, située plutôt vers 4 m du tireur.
• Critère technique : à 6 m, on veut \(h(6) \approx 3{,}2\) m (juste au-dessus du cercle).
• Conseil mental : viser le carré du panneau (pas le cercle), bras tendu, poignet souple.
• À travailler en répétitions : 3 séries de 10 tirs en concentration sur la trajectoire en cloche.

Pour aller plus loin (bonus)

Un autre joueur, plus grand (taille 1,90 m, lâcher à 2,30 m), tire avec \(h_3(d) = -0{,}13\,d^2 + 0{,}95\,d + 2{,}3\). Calcule \(h_3(6)\) et conclus.

\(h_3(6) = -0{,}13 \times 36 + 0{,}95 \times 6 + 2{,}3 = -4{,}68 + 5{,}7 + 2{,}3 = \mathbf{3{,}32}\) m.

Hauteur du panier : 3,05 m. Écart : 0,27 m au-dessus → passage parfait dans le cercle (le ballon plonge dans le panier à la descente). ✓ Tir réussi.

Avantage du joueur grand : lâcher plus haut donne plus de marge. Mais la technique reste le facteur déterminant.

À retenir

Une trajectoire balistique se modélise par un polynôme du 2^nd degré \(h(d) = a d^2 + b d + c\) avec \(a < 0\) (gravité).
Apogée (point le plus haut) = sommet de la parabole, formule \(d_S = -\dfrac{b}{2 a}\).
Portée (où le ballon retombe) = racine positive de \(h(d) = 0\), résolue par discriminant.
Pour rentrer un panier, on doit ajuster \(a\) et \(b\) (angle, vitesse) pour que \(h(d_{\text{panier}}) = \text{hauteur panier}\).
La modélisation maths permet d'analyser ce que la vidéo seule ne quantifie pas.

📚 Cette activité s'appuie sur §II (Sommet) et §IV (Discriminant et racines) de la leçon Ch05 + lien Sport.