Chapitre 5 — Fonctions polynômes du 2nd degré | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:50
Mohammed, dessinateur en bureau d'études bâtiment chez BâtiPlan 93 à Pantin, prépare un plan d'aménagement extérieur pour une école primaire. Le client souhaite installer un jardin pédagogique rectangulaire entièrement clôturé. Le rouleau de grillage rigide commandé fait 100 m de long, à 18 €/m, et il faut maximiser l'aire utilisable.
On note \(x\) la longueur d'un côté du jardin (en m) et \(y\) la largeur. Le périmètre vaut :
\( 2 x + 2 y = 100 \) m
L'aire à maximiser est : \(A = x \times y\) (en m²).
Sachant que \(2 x + 2 y = 100\), exprimer \(y\) en fonction de \(x\).
\(2 x + 2 y = 100\) ⇔ \(x + y = 50\) ⇔ \(\mathbf{y = 50 - x}\).
Conditions de validité : \(x > 0\) et \(50 - x > 0\), soit \(x \in \;]0\,;\,50[\).
Exprimer l'aire \(A(x)\) du jardin en fonction de \(x\) seul. Identifier les coefficients \(a, b, c\).
\(A(x) = x \times y = x \times (50 - x) = 50 x - x^2\), soit :
\(\mathbf{A(x) = -x^2 + 50 x}\) (fonction polynôme du 2nd degré).
Coefficients : \(a = -1\), \(b = 50\), \(c = 0\). Comme \(a < 0\), parabole vers le bas → admet un maximum.
Compléter le tableau de valeurs pour \(x \in \{5\,;\,10\,;\,15\,;\,20\,;\,25\,;\,30\,;\,40\,;\,45\}\).
| \(x\) (m) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) (m²) |
\(A(5) = -25 + 250 = 225\), \(A(10) = -100 + 500 = 400\), \(A(15) = -225 + 750 = 525\), \(A(20) = -400 + 1\,000 = 600\), \(A(25) = -625 + 1\,250 = 625\), \(A(30) = -900 + 1\,500 = 600\), \(A(40) = -1\,600 + 2\,000 = 400\), \(A(45) = -2\,025 + 2\,250 = 225\).
| \(x\) (m) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 40 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) (m²) | 225 | 400 | 525 | 600 | 625 | 600 | 400 | 225 |
Symétrie autour de \(x = 25\).
\(A(x) = x(50 - x)\) s'annule pour \(x = 0\) et \(x = 50\). Calculer les coordonnées du sommet de la parabole, au milieu de ces racines, puis \(A(x_S)\).
\(x_S = \dfrac{0 + 50}{2} = \mathbf{25}\) m, ce que confirme la symétrie du tableau autour de 25.
\(A(25) = -25^2 + 50 \times 25 = -625 + 1\,250 = \mathbf{625}\) m².
Sommet : \(S(25\,;\,625)\). Aire maximale : 625 m².
Quelles sont les dimensions du jardin optimal ? Quel type de rectangle obtient-on ? Énoncer un résultat général.
Pour \(x = 25\) m, \(y = 50 - 25 = 25\) m. Rectangle 25 × 25 m, donc un carré.
Résultat général à retenir : à périmètre fixé, le rectangle d'aire maximale est le carré. Ce résultat se généralise : à périmètre fixé, la figure d'aire maximale est le cercle.
Application en BTP : pour minimiser le grillage (ou la matière première) à surface donnée, ou pour maximiser la surface à grillage donné, choisir la forme la plus régulière possible.
Le client exige une aire d’au moins 400 m². Utiliser la forme factorisée de \(A(x)-400\) pour déterminer les longueurs \(x\) possibles.
\(A(x)-400=-x^2+50x-400=-(x-10)(x-40)\). Ce produit est positif ou nul entre ses deux racines, 10 et 40.
La contrainte est donc satisfaite pour \(x\in[10\,;\,40]\) m. Vérification : \(A(10)=A(40)=400\) m² et \(A(25)=625\) m².
Le client commande finalement 120 m de grillage (rallonge). Calculer la nouvelle aire maximale et les nouvelles dimensions. Combien gagne-t-on en surface ?
Nouveau périmètre : \(2 x + 2 y = 120\) ⇔ \(y = 60 - x\). Donc \(A(x) = x(60 - x) = -x^2 + 60 x\).
Racines 0 et 60, sommet au milieu : \(x_S = \dfrac{0 + 60}{2} = \mathbf{30}\) m. \(A(30) = -900 + 1\,800 = \mathbf{900}\) m². Carré 30 × 30.
Gain : \(900 - 625 = \mathbf{275}\) m² (soit +44 %). Coût supplémentaire : 20 m × 18 € = 360 €.
Bonne affaire : 1,3 €/m² supplémentaire. À conseiller au client.
Rédiger la note explicative de Mohammed à destination de l'école (6 lignes).
Étude d'aménagement — Jardin pédagogique École
• Données : 100 m de grillage, jardin rectangulaire à clôturer entièrement.
• Modèle d'aire : \(A(x) = -x^2 + 50 x\) (m²).
• Forme optimale : carré 25 × 25 m, aire de 625 m².
• Plage de tolérance (aire ≥ 400 m²) : longueurs de 10 à 40 m.
• Avec 20 m de grillage supplémentaire (360 € de plus), aire optimale 900 m² (carré 30 × 30) → +275 m² pour +44 %.
• Recommandation : opter pour le carré 25 × 25 ou commander 20 m supplémentaires si l'espace le permet.
Si l'un des côtés du jardin est appuyé contre un mur existant (pas besoin de grillage sur ce côté), comment se modifie le modèle ? Quelle est la nouvelle aire maximale avec les 100 m de grillage ?
Le côté contre le mur ne demande pas de grillage. Si \(x\) est la longueur parallèle au mur et \(y\) la largeur perpendiculaire, on grillage \(x + 2 y = 100\) → \(y = \dfrac{100 - x}{2}\).
Aire : \(A(x) = x \times \dfrac{100 - x}{2} = \dfrac{100 x - x^2}{2} = -\dfrac{1}{2} x^2 + 50 x\).
\(A(x) = \dfrac{x(100 - x)}{2}\) s'annule pour \(x = 0\) et \(x = 100\). Sommet au milieu : \(x_S = \mathbf{50}\) m, \(y = (100 - 50)/2 = 25\) m. Rectangle 50 × 25.
\(A(50) = -1\,250 + 2\,500 = \mathbf{1\,250}\) m². Aire doublée par rapport au cas sans mur !
Morale : toujours exploiter les contraintes existantes. Penser à inventorier ce qui est déjà là avant de chiffrer.