Chapitre 5 — Fonctions polynômes du 2nd degré | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Sophie, technicienne de maintenance énergétique chez ServiThermique 93 à Bagnolet, gère la consommation d'un bureau open-space de 500 m² (45 postes de travail). Le gestionnaire veut réduire la facture énergétique tout en gardant un confort acceptable. Sophie a établi le modèle annuel suivant à partir de l'historique de consommation :
Soit \(T\) la température de consigne (en °C) du système réversible (chauffage l'hiver + climatisation l'été). La consommation annuelle \(C\) par m² est modélisée par :
\( C(T) = 2\,T^2 - 80\,T + 900 \)
(C en kWh/m²/an, T en °C, modèle valide pour \(T \in [16\,;\,28]\))
Identifier les coefficients \(a, b, c\) du polynôme \(C(T) = a T^2 + b T + c\). En déduire l'orientation de la parabole et donc si \(C\) admet un minimum ou un maximum.
Identification : \(a = 2\), \(b = -80\), \(c = 900\).
Comme \(a = 2 > 0\), la parabole est tournée vers le haut → admet un minimum. C'est cohérent : la consommation doit être minimale pour une consigne optimale.
Calculer \(C(16)\), \(C(18)\), \(C(20)\), \(C(22)\), \(C(24)\). Présenter dans un tableau.
\(C(16) = 2 \times 256 - 80 \times 16 + 900 = 512 - 1\,280 + 900 = \mathbf{132}\) kWh/m².
\(C(18) = 2 \times 324 - 80 \times 18 + 900 = 648 - 1\,440 + 900 = \mathbf{108}\) kWh/m².
\(C(20) = 2 \times 400 - 80 \times 20 + 900 = 800 - 1\,600 + 900 = \mathbf{100}\) kWh/m².
\(C(22) = 2 \times 484 - 80 \times 22 + 900 = 968 - 1\,760 + 900 = \mathbf{108}\) kWh/m².
\(C(24) = 2 \times 576 - 80 \times 24 + 900 = 1\,152 - 1\,920 + 900 = \mathbf{132}\) kWh/m².
| \(T\) (°C) | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(C(T)\) (kWh/m²) | 132 | 108 | 100 | 108 | 132 |
Symétrie nette autour de \(T = 20\) °C.
Calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole : \(T_S = -\dfrac{b}{2 a}\) puis \(C(T_S)\).
\(T_S = -\dfrac{-80}{2 \times 2} = \dfrac{80}{4} = \mathbf{20}\) °C.
\(C(20) = 100\) kWh/m² (cf. Q2).
Sommet : \(S(20\,;\,100)\). Consommation minimale : 100 kWh/m² à 20 °C de consigne.
Pourquoi 20 °C est-elle la consigne la plus économique ? Comparer à la recommandation ADEME.
À 20 °C, il y a un équilibre entre chauffage (hivernal) et climatisation (estivale).
Plus bas (16 °C, 132 kWh/m²) : surconsommation côté climatisation et inconfort.
Plus haut (24 °C, 132 kWh/m²) : surconsommation côté chauffage et chaleur excessive en été.
20 °C est cohérent avec les recommandations ADEME / décret tertiaire. Ici, le modèle confirme par le calcul ce que la réglementation conseille empiriquement.
Pour quelles températures la consommation est-elle ≤ 200 kWh/m² ? Résoudre l'inéquation \(C(T) \leq 200\) par discriminant.
\(C(T) \leq 200\) ⇔ \(2 T^2 - 80 T + 900 \leq 200\) ⇔ \(2 T^2 - 80 T + 700 \leq 0\) ⇔ \(T^2 - 40 T + 350 \leq 0\) (divisé par 2).
\(\Delta = (-40)^2 - 4 \times 1 \times 350 = 1\,600 - 1\,400 = 200\). \(\sqrt{\Delta} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\).
Racines : \(T = \dfrac{40 \pm 14{,}14}{2}\) → \(T_1 \approx \mathbf{12{,}9}\) °C et \(T_2 \approx \mathbf{27{,}1}\) °C.
La parabole \(T^2 - 40 T + 350\) (vers le haut) est \(\leq 0\) entre les racines : \(T \in [12{,}9\,;\,27{,}1]\).
Conclusion : la plage de consigne acceptable est très large, de 13 à 27 °C. La contrainte de 200 kWh/m² n'est donc pas restrictive — il faut viser plus bas (objectif 120 kWh/m² par exemple) pour vraiment optimiser.
Sur 500 m² de bureaux, quelle économie annuelle entre une consigne optimale (20 °C) et une consigne mal réglée (24 °C) ? À 0,18 €/kWh.
Écart par m² : \(C(24) - C(20) = 132 - 100 = \mathbf{32}\) kWh/m²/an.
Sur 500 m² : \(32 \times 500 = \mathbf{16\,000}\) kWh/an d'écart.
Économie monétaire : \(16\,000 \times 0{,}18 = \mathbf{2\,880\,€}\) par an.
Sur 5 ans : ≈ 14 400 €. Sur la durée d'amortissement d'une rénovation énergétique, c'est significatif.
Sophie envisage un nouveau système plus moderne, modélisé par \(C_2(T) = 1{,}5 T^2 - 60 T + 700\). Calculer son minimum et comparer la courbure avec le modèle initial. Quel système est le plus tolérant ?
Sommet de \(C_2\) : \(T_S = -\dfrac{-60}{2 \times 1{,}5} = \dfrac{60}{3} = \mathbf{20}\) °C.
\(C_2(20) = 1{,}5 \times 400 - 60 \times 20 + 700 = 600 - 1\,200 + 700 = \mathbf{100}\) kWh/m². Même minimum !
Mais le coefficient \(a = 1{,}5 < 2\) : la parabole est moins « creuse », donc moins sensible aux variations de température. Exemple à 24 °C : \(C_2(24) = 1{,}5 \times 576 - 60 \times 24 + 700 = 864 - 1\,440 + 700 = 124\) kWh/m² (vs 132 pour le premier modèle).
Système plus tolérant aux écarts de réglage = plus de marge sans surconsommation. Utile dans les bureaux où la consigne change selon les occupants.
Rédiger un mémo de Sophie au gestionnaire (6 lignes).
Mémo — Plan de sobriété énergétique bureau open-space
• Modèle de consommation : \(C(T) = 2 T^2 - 80 T + 900\) kWh/m²/an.
• Consigne optimale : 20 °C → 100 kWh/m² (sommet de la parabole).
• Plage acceptable (≤ 200 kWh/m²) : 12,9 à 27,1 °C — très large.
• Sur 500 m², chauffer/climatiser à 20 °C plutôt qu'à 24 °C économise 2 880 €/an.
• Le décret tertiaire 2020 impose -40 % en 2030 — il faut viser 120 kWh/m².
• Recommandation : verrouiller la consigne à 20 °C + remplacer le système actuel par un modèle plus tolérant (courbe \(C_2\), \(a = 1{,}5\)).
Si on baisse la consigne à 19 °C (l'hiver, recommandation ADEME), quelle conso ? Combien gagne-t-on sur 500 m² par rapport à 20 °C ?
\(C(19) = 2 \times 361 - 80 \times 19 + 900 = 722 - 1\,520 + 900 = \mathbf{102}\) kWh/m².
Écart par rapport au minimum (20 °C, 100 kWh/m²) : +2 kWh/m².
Sur 500 m² : \(2 \times 500 = 1\,000\) kWh/an, soit 180 €/an de surcoût.
À noter : le modèle est annuel — il intègre déjà hiver + été. La recommandation ADEME 19 °C est saisonnière (hiver seul). Pour une analyse fine, il faudrait des modèles séparés hiver/été.
📚 Cette activité s'appuie sur §II (Sommet) et §III (Inéquations 2nd degré) de la leçon Ch05 + filière MEE.