Chapitre 5 — Fonctions polynômes du 2nd degré | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Lucas, installateur en chauffage chez ÉcoClim 93 à Bondy, doit dimensionner une pompe à chaleur (PAC) air-eau pour un petit immeuble de 3 logements en Île-de-France. Le constructeur Daikin lui fournit le modèle suivant pour la puissance thermique restituée selon la température extérieure :
Soit \(T\) la température extérieure en °C. La puissance thermique \(P\) (en kW) restituée par la PAC est modélisée par :
\( P(T) = -0{,}01\,T^2 + 0{,}4\,T + 12 \)
(P en kW thermiques, T en °C, modèle valide pour \(T \in [-15\,;\,30]\))
Identifier les coefficients \(a, b, c\) du polynôme \(P(T) = a T^2 + b T + c\). Déterminer l'orientation de la parabole et en déduire si la fonction admet un maximum ou un minimum.
Identification : \(a = -0{,}01\), \(b = 0{,}4\), \(c = 12\).
Comme \(a = -0{,}01 < 0\), la parabole est tournée vers le bas → admet un maximum. C'est cohérent avec le contexte physique (puissance optimale entre deux extrêmes).
Compléter le tableau de valeurs pour \(T \in \{-10\,;\,0\,;\,10\,;\,20\,;\,30\}\) °C. Calculs détaillés au moins pour \(T=-10\) et \(T=20\).
\(P(-10) = -0{,}01 \times 100 + 0{,}4 \times (-10) + 12 = -1 - 4 + 12 = \mathbf{7}\) kW.
\(P(0) = 0 + 0 + 12 = \mathbf{12}\) kW.
\(P(10) = -0{,}01 \times 100 + 0{,}4 \times 10 + 12 = -1 + 4 + 12 = \mathbf{15}\) kW.
\(P(20) = -0{,}01 \times 400 + 0{,}4 \times 20 + 12 = -4 + 8 + 12 = \mathbf{16}\) kW.
\(P(30) = -0{,}01 \times 900 + 0{,}4 \times 30 + 12 = -9 + 12 + 12 = \mathbf{15}\) kW.
| \(T\) (°C) | -10 | 0 | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(T)\) (kW) | 7 | 12 | 15 | 16 | 15 |
Calculer les coordonnées du sommet \(S\) de la parabole avec la formule \(T_S = -\dfrac{b}{2a}\), puis calculer \(P(T_S)\).
\(T_S = -\dfrac{0{,}4}{2 \times (-0{,}01)} = -\dfrac{0{,}4}{-0{,}02} = \mathbf{20}\) °C.
\(P(20) = -0{,}01 \times 400 + 0{,}4 \times 20 + 12 = -4 + 8 + 12 = \mathbf{16}\) kW.
Sommet : \(S(20\,;\,16)\). Maximum de puissance : 16 kW à 20 °C extérieurs.
Interpréter ce sommet dans le contexte d'un immeuble francilien. À quelle saison la PAC est-elle la plus efficace ? Est-ce un point fort ou un point faible pour le chauffage ?
La PAC restitue sa puissance maximale (16 kW) à T = 20 °C extérieurs — typiquement en demi-saison (printemps, automne).
Or, le chauffage est surtout utile en hiver (T ≤ 5 °C). Aux conditions hivernales, la PAC ne donne que 7 à 12 kW : elle est moins performante quand on en a le plus besoin. Limite physique des PAC air-eau.
En climat parisien (Bondy), la PAC est viable mais il faut bien dimensionner ou prévoir un appoint pour les périodes de grand froid (vagues de froid en janvier-février).
Résoudre l'équation \(P(T) = 10\) kW par la méthode du discriminant. Quelle interprétation physique des solutions ?
\(P(T) = 10\) ⇔ \(-0{,}01 T^2 + 0{,}4 T + 12 = 10\) ⇔ \(-0{,}01 T^2 + 0{,}4 T + 2 = 0\).
Multiplier par -100 : \(T^2 - 40 T - 200 = 0\).
\(\Delta = (-40)^2 - 4 \times 1 \times (-200) = 1\,600 + 800 = 2\,400\). \(\sqrt{\Delta} \approx 48{,}99\).
\(T = \dfrac{40 \pm 48{,}99}{2}\) → \(T_1 \approx \mathbf{-4{,}5}\) °C et \(T_2 \approx \mathbf{44{,}5}\) °C.
Dans le domaine valide \([-15\,;\,30]\) : seule \(T_1 \approx -4{,}5\) °C convient. Interprétation : en dessous de -4,5 °C, la PAC fournit moins de 10 kW.
L'immeuble a besoin de 8 kW à -10 °C (déperditions Doc 3). La PAC modèle A suffit-elle seule par grand froid ? Justifier.
D'après Q2 : \(P(-10) = 7\) kW. Or le besoin est 8 kW.
\(7 < 8\) → la PAC ne suffit pas seule en condition réglementaire (-10 °C).
Solutions : (1) ajouter un appoint électrique de 1-2 kW activé sous -5 °C ; (2) choisir une PAC plus puissante. À discuter avec le client selon budget et confort attendu.
Le constructeur propose un modèle B plus puissant : \(P_2(T) = -0{,}012 T^2 + 0{,}48 T + 14{,}4\). Calculer \(P_2(-10)\). Cette PAC convient-elle ?
\(P_2(-10) = -0{,}012 \times 100 + 0{,}48 \times (-10) + 14{,}4 = -1{,}2 - 4{,}8 + 14{,}4 = \mathbf{8{,}4}\) kW.
\(8{,}4 \geq 8\) → la PAC modèle B couvre les besoins même à -10 °C. Le modèle B est à privilégier.
Surcoût d'achat ≈ 1 200 € (Doc constructeur), mais évite la facture électrique d'appoint en hiver.
Rédiger la note technique de Lucas au syndicat de copropriété (6 lignes).
Note technique — Dimensionnement PAC immeuble Bondy
• Modèle de puissance A : \(P(T) = -0{,}01 T^2 + 0{,}4 T + 12\) (kW).
• Maximum à T = 20 °C → 16 kW. À -10 °C, seulement 7 kW (insuffisant).
• Besoin de l'immeuble : 8 kW à -10 °C. Le modèle A est sous-dimensionné en hiver.
• Modèle B (8,4 kW à -10 °C) : couvre les besoins seul.
• Recommandation : installer la PAC modèle B, +1 200 € à l'achat mais évite la résistance électrique d'appoint.
• Économie d'énergie estimée vs chaudière gaz : ~40 % grâce au COP 3,5.
Pour quelles températures extérieures la PAC modèle A restitue-t-elle au moins 14 kW ? Résoudre \(P(T) \geq 14\).
\(P(T) \geq 14\) ⇔ \(-0{,}01 T^2 + 0{,}4 T + 12 \geq 14\) ⇔ \(-0{,}01 T^2 + 0{,}4 T - 2 \geq 0\) ⇔ \(T^2 - 40 T + 200 \leq 0\) (mult. par -100).
\(\Delta = 1\,600 - 800 = 800\). \(\sqrt{\Delta} = 20\sqrt{2} \approx 28{,}3\).
Racines : \(T = \dfrac{40 \pm 28{,}3}{2}\) → \(T_1 \approx 5{,}9\) °C et \(T_2 \approx 34{,}1\) °C.
La parabole \(T^2 - 40T + 200\) (vers le haut) est \(\leq 0\) entre les racines : \(T \in [5{,}9\,;\,34{,}1]\). Limité au domaine valide : \(T \in [5{,}9\,;\,30]\) °C.
Conclusion : la PAC restitue ≥ 14 kW uniquement en demi-saison et été doux, jamais en hiver.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Forme développée), §II (Sommet) et §III (Résolution équations / inéquations) de la leçon Ch05 + filière ICCER.