Chapitre 5 — Fonctions polynômes du 2nd degré | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Inès, installatrice en chauffage, remplace le circulateur d'une maison chauffée par radiateurs. Le circulateur est la pompe qui fait tourner l'eau chaude dans le circuit. Elle doit vérifier que le nouveau modèle fera circuler assez d'eau.
Un circulateur « 25-60 » fournit au plus 6 m de hauteur manométrique : c'est la « poussée » qu'il donne à l'eau, exprimée en mètres de colonne d'eau. Plus le débit est grand, plus cette hauteur diminue. Pour ce modèle, la hauteur \(H\) (en m) en fonction du débit \(Q\) (en m³/h) est modélisée par :
\( H(Q) = -0{,}25\,Q^2 - 0{,}5\,Q + 6 \)
(modèle valide pour \(Q \in [0\,;\,4]\))
Identifier les coefficients \(a\), \(b\), \(c\) du polynôme \(H(Q) = aQ^2 + bQ + c\). La parabole est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ?
\(a = -0{,}25\), \(b = -0{,}5\), \(c = 6\).
Comme \(a < 0\), la parabole est tournée vers le bas.
Compléter le tableau de valeurs. Détailler au moins les calculs pour \(Q = 1\) et \(Q = 3\).
| \(Q\) (m³/h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(H(Q)\) (m) |
\(H(1) = -0{,}25 - 0{,}5 + 6 = \mathbf{5{,}25}\) m ; \(H(3) = -0{,}25 \times 9 - 1{,}5 + 6 = -2{,}25 - 1{,}5 + 6 = \mathbf{2{,}25}\) m.
| \(Q\) (m³/h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(H(Q)\) (m) | 6 | 5,25 | 4 | 2,25 | 0 |
a. Vérifier que 4 est une racine de \(H\).
b. Développer \(-0{,}25\,(Q - 4)(Q + 6)\) et vérifier qu'on retrouve \(H(Q)\).
c. Que représente le débit de 4 m³/h pour le circulateur ?
a. \(H(4) = -0{,}25 \times 16 - 0{,}5 \times 4 + 6 = -4 - 2 + 6 = 0\) : 4 est une racine.
b. \((Q - 4)(Q + 6) = Q^2 + 6Q - 4Q - 24 = Q^2 + 2Q - 24\), donc \(-0{,}25\,(Q^2 + 2Q - 24) = -0{,}25\,Q^2 - 0{,}5\,Q + 6 = H(Q)\).
c. À 4 m³/h, le circulateur ne fournit plus aucune hauteur : c'est son débit maximal, atteint seulement si le circuit ne freinait pas du tout.
Les racines de \(H\) sont 4 et −6. En déduire l'abscisse du sommet de la parabole. Comment varie \(H\) sur le domaine \([0\,;\,4]\) ? Quelle est la hauteur maximale fournie ?
Le sommet est au milieu des racines : \(Q_S = \dfrac{4 + (-6)}{2} = -1\).
Le sommet est hors du domaine, à gauche de 0. Sur \([0\,;\,4]\), on est sur la partie descendante de la parabole : \(H\) est décroissante. La hauteur maximale est \(H(0) = \mathbf{6}\) m, à débit nul : c'est bien le « 60 » du modèle 25-60.
Le point de fonctionnement vérifie \(H(Q) = H_r(Q)\).
a. Montrer que cette équation s'écrit \(-1{,}25\,Q^2 - 0{,}5\,Q + 6 = 0\).
b. Vérifier que 2 est une solution.
c. En déduire le débit et la hauteur au point de fonctionnement.
a. \(-0{,}25\,Q^2 - 0{,}5\,Q + 6 = Q^2 \iff -0{,}25\,Q^2 - Q^2 - 0{,}5\,Q + 6 = 0 \iff -1{,}25\,Q^2 - 0{,}5\,Q + 6 = 0\).
b. \(-1{,}25 \times 4 - 0{,}5 \times 2 + 6 = -5 - 1 + 6 = 0\) : 2 est solution.
c. L'autre solution est négative, hors du domaine. Le circulateur tourne à \(Q = \mathbf{2}\) m³/h, avec une hauteur \(H(2) = \mathbf{4}\) m, égale aux pertes de charge \(2^2 = 4\) m.
Le débit obtenu couvre-t-il le besoin de la maison (Document 3) ? Justifier.
Oui : \(2 \geqslant 1{,}2\). Le circulateur fait circuler 2 m³/h, plus que les 1,2 m³/h nécessaires. En pratique, l'installatrice pourra régler une vitesse plus faible pour économiser de l'électricité.
Après l'ajout de deux radiateurs, les pertes de charge deviennent \(H_r(Q) = 1{,}5\,Q^2\). À l'aide d'un outil graphique, chercher le nouveau point de fonctionnement. Le besoin, qui passe à 1,4 m³/h, est-il encore couvert ?
On trace \(y = -0{,}25\,x^2 - 0{,}5\,x + 6\) et \(y = 1{,}5\,x^2\) sur \([0\,;\,4]\). Les courbes se coupent vers \(Q \approx 1{,}71\) m³/h, pour une hauteur d'environ 4,4 m.
Vérification : \(H(1{,}71) \approx -0{,}73 - 0{,}86 + 6 \approx 4{,}41\) et \(1{,}5 \times 1{,}71^2 \approx 4{,}39\). Comme \(1{,}71 \geqslant 1{,}4\), le besoin reste couvert.
Rédiger la note d'Inès pour le client (5 lignes) : ce que fournit le circulateur, le point de fonctionnement, et sa conclusion.
Note — Remplacement du circulateur
• Le circulateur 25-60 donne au plus 6 m de hauteur, et au plus 4 m³/h de débit.
• Sur votre circuit, il tourne à 2 m³/h, pour 4 m de hauteur.
• Le besoin calculé est de 1,2 m³/h : il est couvert.
• Même avec deux radiateurs de plus (1,4 m³/h), le débit reste suffisant (environ 1,7 m³/h).
• Je règle le circulateur sur une vitesse réduite pour limiter la consommation.
Pour quels débits le circulateur fournit-il au moins 5 m de hauteur ? Résoudre graphiquement \(H(Q) \geqslant 5\) sur \([0\,;\,4]\).
La courbe de \(H\) coupe la droite \(y = 5\) vers \(Q \approx 1{,}24\) m³/h. Comme \(H\) est décroissante sur \([0\,;\,4]\), on a \(H(Q) \geqslant 5\) pour \(Q \in [0\,;\,1{,}24]\) environ.