Chapitre 5 — Polynômes de degré 2 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Une ébéniste utilise \(f(x)=x^2-5x+4\), pour \(x\) entre 0 et 5 cm, afin de décrire l'écart vertical signé d'un profil par rapport à une ligne de référence.
Une valeur négative indique que le profil est sous la ligne de référence.
Calculer \(f(1)\) et \(f(4)\). Que peut-on dire des nombres 1 et 4 ?
\(f(1)=1-5+4=0\) et \(f(4)=16-20+4=0\). Les nombres 1 et 4 sont deux racines.
À partir des deux racines, proposer une forme factorisée de \(f(x)\), puis vérifier en développant.
\(f(x)=(x-1)(x-4)\), car le coefficient de \(x^2\) est 1 et \((x-1)(x-4)=x^2-5x+4\).
Pour quelles positions le profil rencontre-t-il la ligne de référence ? Quelle est la distance entre ces positions ?
Aux positions \(x=1\) cm et \(x=4\) cm. Elles sont distantes de 3 cm.
Sur \([0\,;\,5]\), indiquer où \(f(x)\) est positive, nulle ou négative en utilisant la forme factorisée.
\(f(x)>0\) sur \([0\,;\,1[\) et \(]4\,;\,5]\) ; \(f(x)=0\) en 1 et 4 ; \(f(x)<0\) sur \(]1\,;\,4[\).
Les deux racines étant 1 et 4, l'axe de symétrie passe au milieu. Déterminer son abscisse, calculer \(f\) à cette abscisse, puis décrire la position la plus basse du profil.
L'axe est en \(x=(1+4)/2=2{,}5\). \(f(2{,}5)=6{,}25-12{,}5+4=-2{,}25\) cm. Le profil est au plus bas 2,25 cm sous la ligne de référence.
Si le profil est relevé de 5 cm, on obtient \(g(x)=f(x)+5\). Le nouveau profil coupe-t-il la ligne de référence ? Justifier à partir du minimum de \(f\).
Le minimum de \(g\) est \(-2{,}25+5=2{,}75>0\). Le nouveau profil reste au-dessus de la ligne : aucune racine sur \([0\,;\,5]\).
On teste une racine en calculant \(f(x)\). Lorsque les racines sont connues, la forme factorisée permet de retrouver leurs positions et le signe du polynôme. Le nombre de racines se lit aussi sur la position de la parabole par rapport à l'axe horizontal.