Chapitre 5 — Polynômes degré 2 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Marc dispose de 80 m de grillage pour clôturer un terrain rectangulaire pour son atelier en plein air. Il veut maximiser la surface clôturée.
Notons L la longueur et l la largeur. Le périmètre vaut 80 m, donc 2L + 2l = 80 → L + l = 40, soit L = 40 − l.
Exprimer la surface S en fonction de l.
S(l) = L × l = (40 − l) × l = 40 l − l² = −l² + 40 l.
C'est un polynôme du 2nd degré en l avec a = −1, b = 40, c = 0.
Calculer S(5), S(10), S(15), S(20), S(25).
S(5) = 175 m². S(10) = 300. S(15) = 375. S(20) = 400. S(25) = 375.
Calculer le sommet de la parabole.
l_sommet = −b/(2a) = −40/(−2) = 20 m.
S(20) = −400 + 800 = 400 m².
Que vaut alors L ? Quelle forme géométrique a le terrain ?
L = 40 − 20 = 20 m. Le terrain est un carré de 20 m de côté.
Résultat général : à périmètre fixé, le rectangle de surface maximale est le carré.
Marc fait construire un terrain rectangulaire 30 × 10 m. Surface ? Pertes de surface par rapport à un carré ?
S(30 × 10) = 300 m². Carré : 400 m². Perte : 100 m² (25 % de surface en moins).
Si Marc adosse son terrain à un mur (pas besoin de clôture sur 1 côté), il économise du grillage. Avec 80 m, il peut alors clôturer 3 côtés.
Maximiser la surface dans ce cas.
2 l + L = 80 → L = 80 − 2 l. S(l) = (80 − 2l) × l = −2l² + 80 l.
l_sommet = −80/(−4) = 20 m. L = 40 m.
S(20) = 800 m². Soit le double du carré ! Le mur économise considérablement.
Si Marc veut une largeur minimum de 12 m (pour faire passer un camion), quelle surface maximale possible ?
l ≥ 12. Le sommet l_sommet = 20 ≥ 12 → la contrainte est respectée et la surface max reste 400 m² (carré 20 × 20).
Si le minimum était 22, la surface max serait à l = 22 (limite) : S(22) = 22 × 18 = 396 m². Légère perte.
Marc rédige le projet pour la mairie. 4 lignes max.
Projet atelier extérieur — clôture grillage
• Périmètre : 80 m de grillage. Terrain prévu : carré 20 × 20 m = 400 m².
• Si adossé au mur de la grange : forme rectangle 40 × 20 = 800 m² (avec mêmes 80 m).
• Optimisation par fonction polynôme du 2nd degré.
• Demande de permis de clôture déposée.
Si Marc dispose de 100 m de grillage à la place, recalculer la surface maximale (avec clôture 4 côtés et avec mur).
4 côtés : carré 25 × 25 = 625 m². Avec mur : rectangle 50 × 25 = 1 250 m².
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (Sommet d'une parabole) et §3 (Optimisation) de la leçon Ch05.