Chapitre 5 — Polynômes degré 2 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, format manuel scolaire
Une scie projette un copeau qui décrit une trajectoire parabolique. La hauteur h en fonction de la distance x (en m) est : h(x) = −0,5x² + 2x + 0,8 (en m).
Identifier les coefficients a, b, c.
a = −0,5 (négatif → parabole tournée vers le bas).
b = 2 ; c = 0,8.
Calculer l'abscisse du sommet x_s = −b/(2a) et la hauteur maximale h(x_s).
x_s = −2/(2 × −0,5) = −2/−1 = 2 m.
h(2) = −0,5 × 4 + 2 × 2 + 0,8 = −2 + 4 + 0,8 = 2,8 m.
Le copeau atteint 2,8 m de haut à 2 m de la scie.
Trouver à quelle distance le copeau touche le sol (h(x) = 0).
−0,5 x² + 2 x + 0,8 = 0. Multiplie par −2 : x² − 4 x − 1,6 = 0.
Δ = 16 + 6,4 = 22,4. √Δ ≈ 4,73.
x = (4 ± 4,73)/2 → x ≈ 4,37 ou x ≈ −0,37 (rejeté).
Le copeau retombe à 4,37 m de la scie.
Pourquoi rejeter la solution négative ?
x représente une distance positive. Une valeur négative n'a pas de sens physique (le copeau ne va pas en arrière de la scie).
Pour quelle distance h(x) > 1,5 m (zone dangereuse pour un opérateur debout) ?
−0,5 x² + 2 x + 0,8 > 1,5 → −0,5 x² + 2 x − 0,7 > 0 → x² − 4 x + 1,4 < 0.
Δ = 16 − 5,6 = 10,4. x = (4 ± 3,22)/2 → x ≈ 0,39 ou x ≈ 3,61.
Zone : 0,39 m < x < 3,61 m. Soit ≈ 3,2 m de zone dangereuse.
Tracer le tableau de variations de h sur [0 ; 4,37].
h croissante de [0 ; 2] (de 0,8 à 2,8) puis décroissante de [2 ; 4,37] (de 2,8 à 0).
Pour assurer la sécurité, on installe un capot de protection sur la zone dangereuse + 50 cm de marge. Quelle est la longueur du capot nécessaire ?
Capot de 0 à 4,37 + 0,5 = 4,87 m de long (arrondi à 5 m).
Rédiger en 4 lignes la fiche de sécurité.
Sécurité scie projette-copeaux
• Trajectoire parabolique : h(x) = −0,5x² + 2x + 0,8.
• Hauteur max 2,8 m à 2 m, portée 4,37 m.
• Zone > 1,5 m : 0,4 à 3,6 m (3 m de zone à risque).
• Capot 5 m + signalisation. Pas d'opérateur dans cette zone.
Si la vitesse de coupe augmente, le coefficient b passe à 3. Recalculer la portée maximale.
−0,5 x² + 3 x + 0,8 = 0 → x² − 6 x − 1,6 = 0 → x = (6 + √(36+6,4))/2 = (6 + 6,51)/2 ≈ 6,25 m.
Augmentation forte de la portée : capot à étendre à 7 m.
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (Forme canonique) et §2 (Sommet, axe de symétrie) de la leçon Ch05.