Chapitre 5 — Polynômes degré 2 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:40
Une scie projette un copeau qui décrit une trajectoire parabolique. La hauteur h en fonction de la distance x (en m) est : h(x) = −0,5x² + 2x + 0,8 (en m).
Identifier les coefficients a, b, c.
a = −0,5 (négatif → parabole tournée vers le bas).
b = 2 ; c = 0,8.
Calculer h(0) et h(4). Ces deux points ont la même hauteur : ils sont symétriques par rapport à l'axe de la parabole. En déduire l'abscisse du sommet x_s, puis la hauteur maximale h(x_s).
h(0) = 0,8 et h(4) = −0,5 × 16 + 2 × 4 + 0,8 = −8 + 8 + 0,8 = 0,8. L'axe de symétrie passe au milieu de 0 et 4 : x_s = (0 + 4)/2 = 2 m.
h(2) = −0,5 × 4 + 2 × 2 + 0,8 = −2 + 4 + 0,8 = 2,8 m.
Le copeau atteint 2,8 m de haut à 2 m de la scie.
À l'aide du mode graphique, d'un solveur ou d'un tableau de valeurs de la calculatrice, résoudre h(x) = 0 pour x ≥ 0. Arrondir la solution au centième.
Le solveur, ou l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, donne x ≈ 4,366.
On peut vérifier l'encadrement : h(4,36) ≈ 0,015 > 0 et h(4,37) ≈ −0,008 < 0. La solution est donc comprise entre 4,36 et 4,37.
Le copeau retombe à 4,37 m de la scie.
Pourquoi impose-t-on la condition x ≥ 0 dans cette situation ?
x représente la distance parcourue vers l'avant à partir de la scie. Une valeur négative n'appartient donc pas au domaine physique étudié.
À l'aide du graphique ou du solveur de la calculatrice, déterminer les distances x pour lesquelles h(x) > 1,5 m (zone dangereuse pour un opérateur debout).
La droite d'équation y = 1,5 coupe la parabole pour x ≈ 0,39 et x ≈ 3,61.
Entre ces deux valeurs, la courbe de h est au-dessus de la droite y = 1,5.
Zone dangereuse : 0,39 m < x < 3,61 m, soit environ 3,22 m de longueur.
Repérer le sommet, l’axe de symétrie et la hauteur maximale du profil h(x) = −0,5x² + 2x + 0,8. On fournit l’abscisse du sommet : x = 2.
h(2) = 2,8. Le sommet est S(2 ; 2,8), l’axe est x = 2 et la hauteur maximale du modèle est de 2,8 m.
Pour assurer la sécurité, on installe un capot sur toute la portée du copeau, de la scie jusqu'au point de chute, puis on ajoute 50 cm de marge. Quelle est la longueur du capot nécessaire ?
Capot de 0 à 4,37 + 0,5 = 4,87 m de long (arrondi à 5 m).
Rédiger en 4 lignes la fiche de sécurité.
Sécurité scie projette-copeaux
• Trajectoire parabolique : h(x) = −0,5x² + 2x + 0,8.
• Hauteur max 2,8 m à 2 m, portée 4,37 m.
• Zone > 1,5 m : 0,4 à 3,6 m (environ 3,2 m de zone à risque).
• Capot 5 m + signalisation. Pas d'opérateur dans cette zone.
Si la vitesse de coupe augmente, le coefficient b passe à 3. À l'aide du mode graphique, d'un solveur ou d'un tableau de valeurs, déterminer la nouvelle portée au centième.
Le solveur donne x ≈ 6,256 pour la solution positive. De plus, h(6,25) ≈ 0,019 et h(6,26) ≈ −0,014 : la portée est donc d'environ 6,26 m.
Augmentation forte de la portée : capot à étendre à 7 m.