Chapitre 5 — Fonctions polynômes du 2nd degré | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 23 mai 2026
Salomé, élève de 1ère Bac Pro, prépare son permis de conduire à l'auto-école « Conduite 93 » de Bagnolet. Le moniteur insiste sur la distance d'arrêt. Avec son cours de maths sur les polynômes du 2nd degré, Salomé veut comprendre pourquoi rouler vite est si dangereux. Voici la formule officielle de la Sécurité Routière :
La distance d'arrêt \(d\) (en m) en fonction de la vitesse \(v\) (en km/h) est :
\( d(v) = 0{,}005\,v^2 + 0{,}2\,v \)
(d en m, v en km/h, route sèche, freinage normal)
| État de la route | Distance freinage | Coef \(a\) |
|---|---|---|
| Sèche, pneus neufs | standard | 0,005 |
| Mouillée | ×2 | 0,010 |
| Verglas / neige | ×5 à ×10 | 0,025 à 0,05 |
Limites de vitesse pertinentes : 30 (zone scolaire), 50 (ville), 80 (route), 90 (route), 110 (autoroute pluie), 130 (autoroute sec).
Quelle est la nature de la fonction \(d(v)\) ? Identifier \(a, b, c\). Quelle est l'orientation de la parabole ?
Fonction polynôme du 2nd degré. \(a = 0{,}005\), \(b = 0{,}2\), \(c = 0\) (pas de constante : à vitesse nulle, on ne parcourt aucune distance).
Comme \(a > 0\), parabole vers le haut. Mais ici on ne s'intéresse qu'à \(v > 0\) (la branche montante) : la distance croît avec la vitesse.
Compléter le tableau pour \(v \in \{30\,;\,50\,;\,90\,;\,130\}\) km/h. Distinguer distance de réaction et distance de freinage.
Pour \(v = 30\) : réaction \(0{,}2 \times 30 = 6\) m ; freinage \(0{,}005 \times 900 = 4{,}5\) m ; total \(\mathbf{10{,}5}\) m.
Pour \(v = 50\) : réaction \(10\) m ; freinage \(12{,}5\) m ; total \(\mathbf{22{,}5}\) m.
Pour \(v = 90\) : réaction \(18\) m ; freinage \(40{,}5\) m ; total \(\mathbf{58{,}5}\) m.
Pour \(v = 130\) : réaction \(26\) m ; freinage \(84{,}5\) m ; total \(\mathbf{110{,}5}\) m.
| \(v\) (km/h) | Réaction (m) | Freinage (m) | Arrêt total (m) |
|---|---|---|---|
| 30 | 6 | 4,5 | 10,5 |
| 50 | 10 | 12,5 | 22,5 |
| 90 | 18 | 40,5 | 58,5 |
| 130 | 26 | 84,5 | 110,5 |
Observation : à grande vitesse, la distance de freinage dépasse largement la distance de réaction (à 130 km/h : 84,5 m vs 26 m).
De combien la distance d'arrêt est-elle multipliée quand la vitesse passe de 50 à 100 km/h (doublement) ? Et la distance de freinage seule ?
\(d(50) = 22{,}5\) m. \(d(100) = 0{,}005 \times 10\,000 + 0{,}2 \times 100 = 50 + 20 = \mathbf{70}\) m.
Rapport distance d'arrêt : \(70 / 22{,}5 \approx \mathbf{3{,}1}\). Multipliée par environ 3.
Distance de freinage seule : \(50 / 12{,}5 = \mathbf{4}\) (multipliée par 4 = effet quadratique pur).
Conclusion : doubler la vitesse quadruple la distance de freinage et triple la distance d'arrêt. L'intuition linéaire (« deux fois plus vite = deux fois plus loin ») est totalement trompeuse.
À partir de quelle vitesse la distance d'arrêt dépasse-t-elle 50 m ? Résoudre \(d(v) = 50\) par discriminant.
\(d(v) = 50\) ⇔ \(0{,}005 v^2 + 0{,}2 v - 50 = 0\). Multiplier par 200 : \(v^2 + 40 v - 10\,000 = 0\).
\(\Delta = 40^2 - 4 \times 1 \times (-10\,000) = 1\,600 + 40\,000 = 41\,600\). \(\sqrt{\Delta} \approx 203{,}96\).
\(v = \dfrac{-40 + 203{,}96}{2} \approx \mathbf{82}\) km/h (autre racine négative rejetée).
Conclusion : au-dessus de 82 km/h, on ne peut pas s'arrêter sur 50 m sur route sèche. C'est l'argument pour la limitation à 80 km/h sur les routes secondaires.
Sur route mouillée, la distance de freinage est doublée (Doc 3). Donner la nouvelle formule \(d_2(v)\) et calculer \(d_2(50)\) et \(d_2(90)\). Comparer avec la route sèche.
Sur route mouillée, on double seulement le terme de freinage (le temps de réaction reste le même) :
\(d_2(v) = 0{,}01 v^2 + 0{,}2 v\).
\(d_2(50) = 0{,}01 \times 2\,500 + 10 = 25 + 10 = \mathbf{35}\) m (vs 22,5 sur sec → +56 %).
\(d_2(90) = 0{,}01 \times 8\,100 + 18 = 81 + 18 = \mathbf{99}\) m (vs 58,5 → +69 %).
Conclusion : sur route mouillée, la distance d'arrêt est 60 à 70 % plus longue. D'où la limitation à 110 km/h au lieu de 130 sur autoroute par temps de pluie.
Salomé veut respecter la règle des « 2 secondes » de distance de sécurité. À 50 km/h sur route sèche, quelle distance représente 2 secondes ? Suffisante pour s'arrêter ?
50 km/h = \(\dfrac{50\,000}{3\,600} \approx 13{,}9\) m/s. En 2 s : \(13{,}9 \times 2 \approx \mathbf{27{,}8}\) m.
Or \(d(50) = 22{,}5\) m sur sec : ✓ la règle des 2 s couvre la distance d'arrêt (avec 5 m de marge).
Mais sur route mouillée, \(d_2(50) = 35\) m → 2 s (28 m) ne suffit plus. Recommandation : passer à 3 secondes de distance sur route mouillée (~ 42 m, marge OK).
Un piéton apparaît à 30 m. À quelle vitesse maximale (sur route sèche) peut-on rouler pour pouvoir s'arrêter avant l'impact ? Résoudre \(d(v) = 30\).
\(d(v) = 30\) ⇔ \(0{,}005 v^2 + 0{,}2 v - 30 = 0\). Multiplier par 200 : \(v^2 + 40 v - 6\,000 = 0\).
\(\Delta = 1\,600 + 24\,000 = 25\,600\). \(\sqrt{\Delta} = 160\).
\(v = \dfrac{-40 + 160}{2} = \mathbf{60}\) km/h.
Conclusion : au-delà de 60 km/h sur route sèche, un piéton à 30 m est en grand danger. C'est l'argument réglementaire pour les zones 50 km/h en ville (\(d(50) = 22{,}5\) m, marge de 7,5 m sur 30 m) et les zones 30 km/h près des écoles (\(d(30) = 10{,}5\) m, marge très confortable).
Rédiger l'encart pédagogique de Salomé pour un cours de Sécurité Routière en EMC au lycée (6 lignes).
Vitesse et distance d'arrêt — Cours EMC sécurité routière
• Modèle officiel (route sèche) : \(d(v) = 0{,}005 v^2 + 0{,}2 v\) (m, v en km/h).
• Effet quadratique : doubler la vitesse multiplie la distance de freinage par 4 (et la distance d'arrêt par 3).
• 30 km/h → 10,5 m | 50 km/h → 22,5 m | 90 km/h → 58,5 m | 130 km/h → 110,5 m.
• Sur route mouillée : ces distances sont 60-70 % plus longues. Conséquence : limitation à 110 km/h sur autoroute.
• Au-delà de 60 km/h en ville, un piéton à 30 m est en danger → zones 50, zones 30, zones piétonnes.
• La leçon mathématique de la sécurité routière, c'est le terme en \(v^2\). Notre intuition de la distance est linéaire ; la réalité est quadratique.
Sur verglas, la distance de freinage est multipliée par 5 (Doc 3). Quelle est la distance d'arrêt à 50 km/h ? À 90 km/h ?
Sur verglas : \(d_3(v) = 0{,}025 v^2 + 0{,}2 v\).
\(d_3(50) = 0{,}025 \times 2\,500 + 10 = 62{,}5 + 10 = \mathbf{72{,}5}\) m (3,2× la route sèche !).
\(d_3(90) = 0{,}025 \times 8\,100 + 18 = 202{,}5 + 18 = \mathbf{220{,}5}\) m (presque 4× la route sèche).
Conclusion : sur verglas, une voie de campagne à 90 km/h devient un piège mortel. Réduire drastiquement la vitesse en hiver.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Forme développée) et §IV (Équations 2nd degré) de la leçon Ch05 + éducation à la sécurité routière (EMC).