Chapitre 4 | 1ère Bac Pro | Mathématiques
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Vocabulaire – Solution d'une équation
Résoudre graphiquement \(f(x) = k\), c'est trouver :
Lecture graphique – Image
Sur une courbe, le point \(A(3\,;\,5)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\). Quelle est la valeur de \(f(3)\) ?
Lecture graphique – Nombre de solutions
La droite \(y = 2\) ne coupe pas la courbe \(\mathcal{C}_f\). Combien \(f(x) = 2\) a-t-elle de solutions ?
Équation – Lire les solutions
La droite \(y = 4\) coupe la courbe \(\mathcal{C}_f\) aux points d'abscisses \(x = 1\) et \(x = 3\). Les solutions de \(f(x) = 4\) sont :
Inéquation – Sens du signe
\(f(x) > k\) signifie que la courbe \(\mathcal{C}_f\) est :
Inéquation – Lecture graphique
La courbe \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de la droite \(y = 1\) pour \(x \in [2\,;\,6]\). L'ensemble solution de \(f(x) \geq 1\) est :
Intersection de courbes – Vocabulaire
Les solutions de l'équation \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des :
Inéquation – Signe de la comparaison
\(f(x) \leq g(x)\) signifie que la courbe \(\mathcal{C}_f\) est :
Courbe représentative – Définition
La courbe \(\mathcal{C}_f\) est l'ensemble des points de coordonnées :
Lecture graphique – Antécédent
Pour résoudre \(f(x) = 3\) graphiquement, on trace :
Inéquation – Bornes incluses
L'ensemble solution de \(f(x) \geq k\) est noté avec des crochets :
Algorithme de balayage – Principe
L'algorithme de balayage permet d'approcher une solution en :
Balayage – Changement de signe
Pour \(h(x) = f(x) - g(x)\), on trouve \(h(1) = 0{,}5\) et \(h(2) = -0{,}3\). Une solution de \(f(x) = g(x)\) se trouve :
Position relative – Tableau
Quand \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\), cela se traduit par :
Solutions – Valeurs approchées
Quand on lit une solution graphiquement, le résultat est :
Équation – Résolution graphique
Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) se coupent en \(x = -1\) et \(x = 4\). L'ensemble solution de \(f(x) = g(x)\) est :
Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) se coupent en \(x = 2\) et \(x = 7\). Entre ces valeurs, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\). L'ensemble solution de \(f(x) \geq g(x)\) est :
Contexte pro – Seuil de rentabilité
Un menuisier agenceur a un coût \(C(x) = 0{,}5x^2 + 10\) et un revenu \(R(x) = 8x\). Les courbes se coupent en \(x \approx 1{,}4\) et \(x \approx 14{,}6\). Il fait des bénéfices (\(R(x) > C(x)\)) quand :
Inéquation stricte – Bornes
L'ensemble solution de l'inéquation \(f(x) > g(x)\) (inéquation stricte) sur \([x_1\,;\,x_2]\) est noté :
Équation – Point d'appartenance
Si le point \(B(2\,;\,7)\) appartient à la fois à \(\mathcal{C}_f\) et à \(\mathcal{C}_g\), alors :
Inéquation – Contexte thermique
La température d'un local est modélisée par \(T(t)\). La droite \(y = 20\) coupe la courbe en \(t = 8\) et \(t = 18\). La période de confort (\(T(t) \geq 20\)) est :
Position relative – Inéquation
Pour \(x \in [-3\,;\,0]\), la courbe \(\mathcal{C}_f\) est en-dessous de \(\mathcal{C}_g\). Cela signifie que sur \([-3\,;\,0]\) :
Balayage – Précision
Un balayage au pas \(0{,}1\) localise une solution entre \(x = 1{,}3\) et \(x = 1{,}4\). Pour affiner, on recommence avec un pas de :
Équation – Nombre de solutions
La droite \(y = 5\) est tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\). L'équation \(f(x) = 5\) admet :
Inéquation – Ensemble solution complémentaire
Les courbes se coupent en \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\). Pour \(x < 1\) et \(x > 5\), \(\mathcal{C}_f\) est en-dessous de \(\mathcal{C}_g\). L'ensemble solution de \(f(x) > g(x)\) est :
Contexte pro – Coût et seuil
Un installateur thermique modélise le coût d'une pompe à chaleur par \(f(x)\) et d'une chaudière gaz par \(g(x)\). Les courbes se croisent en \(x \approx 3\) ans. Avant \(x = 3\), \(f(x) > g(x)\). La pompe à chaleur est plus économique :
Résolution graphique – Méthode
Pour résoudre \(f(x) = g(x)\) graphiquement, la 3e étape consiste à :
Balayage – Interprétation du changement de signe
Pour \(h(x) = f(x) - g(x)\) : \(h(2) = 0{,}8\) et \(h(3) = -0{,}4\). Que peut-on conclure ?
Contexte – Bénéfice et perte
Un artisan menuisier vend \(x\) meubles. Le revenu est \(R(x) = 150x\) et le coût est \(C(x) = 0{,}8x^2 + 50\). D'après le graphique, les courbes se coupent en \(x \approx 2\) et \(x \approx 185\). Il réalise un bénéfice (\(R(x) > C(x)\)) pour :
Équation – Point d'intersection et valeur commune
Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) se coupent au point \(P(3\,;\,6)\). Quelle affirmation est correcte ?
Équation – Résolution algébrique et graphique
On cherche les solutions de \(f(x) = g(x)\) avec \(f(x) = x^2 - 2\) et \(g(x) = x\). Cela revient à résoudre :
Inéquation – Système graphique
On considère trois fonctions : \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \([1\,;\,5]\) et au-dessus de \(\mathcal{C}_h\) sur \([2\,;\,6]\). Sur quel intervalle \(f(x)\) est-elle simultanément supérieure aux deux autres ?
Balayage – Encadrement à 0,01 près
Un balayage au pas \(0{,}01\) sur \([1{,}3\,;\,1{,}4]\) donne : \(h(1{,}36) = 0{,}02\) et \(h(1{,}37) = -0{,}01\). La solution est approchée à \(0{,}01\) près par :
Optimisation – Maximum graphique
La courbe \(\mathcal{C}_f\) atteint son maximum en \(x = 4\) avec \(f(4) = 9\). L'inéquation \(f(x) \geq 9\) admet :
Inéquation – Deux intersections, deux zones
Les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) se coupent en \(x_1 = -2\) et \(x_2 = 3\). Pour \(x < -2\) et \(x > 3\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus. L'ensemble solution de \(f(x) \geq g(x)\) est :
Paramètre – Nombre de solutions selon k
Pour \(f(x) = x^2 - 4\) (parabole), combien l'équation \(f(x) = k\) a-t-elle de solutions si \(k > -4\) ?
Problème à plusieurs étapes – Contexte pro
Un technicien chauffagiste compare deux offres : offre A à \(f(x) = 200x + 3\,000\) (euros sur \(x\) ans) et offre B à \(g(x) = 300x + 1\,500\). Les courbes se coupent en \(x = 15\). Pour faire des économies avec l'offre A (\(f(x) < g(x)\)), il faut :
Paramètre – Tangence
La droite \(y = k\) est tangente à la parabole \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) en son sommet. Le maximum de \(f\) est en \(x = 3\) avec \(f(3) = 4\). Pour quelle valeur de \(k\) l'équation \(f(x) = k\) a-t-elle une unique solution ?
Balayage – Théorème des valeurs intermédiaires
On pose \(h(x) = f(x) - g(x)\). On sait que \(h\) est continue, \(h(0) = 3 > 0\) et \(h(4) = -1 < 0\). On peut conclure :
Optimisation – Seuil de rentabilité exact
Le bénéfice d'un artisan est \(B(x) = R(x) - C(x) = -0{,}5x^2 + 6x - 4\). Graphiquement, \(B(x) = 0\) pour \(x \approx 0{,}8\) et \(x \approx 9{,}2\). Le bénéfice est positif (\(B(x) > 0\)) pour :
Résolution – Équation avec paramètre
On considère \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = k\). Pour \(k = 0\), l'équation \(f(x) = g(x)\) admet :
Problème – Interprétation d'une inéquation
Pour un projet d'agencement, le budget alloué est \(B = 5\,000\) € et le coût estimé est \(C(x) = 200x + 1\,500\), où \(x\) est le nombre de meubles. L'inéquation \(C(x) \leq 5\,000\) donne la contrainte :
Raisonnement – Intersection de deux inéquations
On sait que \(f(x) \geq 0\) pour \(x \in [-1\,;\,4]\) et \(g(x) \geq 0\) pour \(x \in [0\,;\,6]\). Les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) \geq 0\) ET \(g(x) \geq 0\) simultanément sont :
Problème type BTS – Analyse graphique complète
Une entreprise de pose de cuisines modélise son chiffre d'affaires mensuel par \(R(x) = 1\,200x\) et ses charges par \(C(x) = 2x^2 + 400x + 3\,600\) (en €, \(x\) = nb de cuisines posées). L'équation \(R(x) = C(x)\) donne \(x \approx 4{,}5\) et \(x \approx 395{,}5\). L'entreprise est rentable pour :
Théorème des valeurs intermédiaires – Application
Une fonction continue \(h\) vérifie \(h(0) = -2\), \(h(1) = 1\), \(h(2) = -0{,}5\), \(h(3) = 2\). Sur quels intervalles peut-on garantir l'existence d'une solution de \(h(x) = 0\) ?