Résolution graphique d'équations et d'inéquations — 1ère Bac Pro
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) dont les courbes sont données par le tableau de valeurs suivant :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | 4 | 5 | 4 | 1 | −4 | −11 |
| \(g(x)\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
a) Lire dans le tableau : \(f(2) = ...\)
b) Lire dans le tableau : \(g(4) = ...\)
c) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = 4\) ?
d) Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(g(x) = 0\) ?
a) \(f(2) = \mathbf{5}\)
b) \(g(4) = \mathbf{3}\)
c) \(f(x) = 4\) pour \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{3}\).
d) \(g(x) = 0\) pour \(x = \mathbf{1}\).
a) Comparer \(f(x)\) et \(g(x)\) pour chaque valeur de \(x\) du tableau. Compléter :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | 2 | 4 | 4 | 2 | −2 | −8 | −16 |
b) On observe que \(f(x) - g(x)\) change de signe entre \(x = 3\) (positif) et \(x = 4\) (négatif). Donc \(f(x) = g(x)\) pour une valeur de \(x\) comprise entre 3 et 4 (environ \(x \approx 3{,}5\)).
D'après le tableau précédent :
a) Pour quelles valeurs de \(x\) (parmi celles du tableau) a-t-on \(f(x) \geqslant g(x)\) ?
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) < g(x)\) ?
a) \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x = 0, 1, 2, 3\) (car \(f(x) - g(x) > 0\) pour ces valeurs).
b) \(f(x) < g(x)\) pour \(x = 4, 5, 6\) (car \(f(x) - g(x) < 0\)).
D'après le tableau de valeurs de \(f\) :
a) Résoudre \(f(x) = 1\).
b) Résoudre \(f(x) = 5\).
c) L'équation \(f(x) = 6\) a-t-elle une solution dans le tableau ? Justifier.
a) \(f(x) = 1\) pour \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{4}\).
b) \(f(x) = 5\) pour \(x = \mathbf{2}\).
c) Non, \(f(x) = 6\) n'a pas de solution dans le tableau car aucune valeur de \(f(x)\) n'atteint 6. La valeur maximale est \(f(2) = 5\).
On cherche une solution de \(f(x) = g(x)\) entre \(x = 3\) et \(x = 4\). On calcule \(h(x) = f(x) - g(x)\) :
On sait que \(h(3) = 2\) et \(h(4) = -2\).
a) Pourquoi y a-t-il une solution entre 3 et 4 ?
b) On teste \(x = 3{,}5\) et on trouve \(h(3{,}5) = 0{,}25\). La solution est-elle entre 3 et 3,5 ou entre 3,5 et 4 ? Justifier.
a) Il y a une solution car \(h(3) = 2 > 0\) et \(h(4) = -2 < 0\) : \(h\) change de signe, donc il existe un \(x\) entre 3 et 4 tel que \(h(x) = 0\), c'est-à-dire \(f(x) = g(x)\).
b) \(h(3{,}5) = 0{,}25 > 0\) et \(h(4) = -2 < 0\). Le changement de signe se produit entre 3,5 et 4. La solution est dans l'intervalle \([3{,}5\,;\,4]\).
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) dont les valeurs sont données par le tableau suivant :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 2 | 6 | 8 | 8 | 6 | 2 | −4 |
| \(g(x)\) | −2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
a) Lire dans le tableau : \(f(3) = ...\)
b) Lire dans le tableau : \(g(5) = ...\)
c) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = 6\) ?
d) Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(g(x) = 4\) ?
a) \(f(3) = \mathbf{8}\)
b) \(g(5) = \mathbf{8}\)
c) \(f(x) = 6\) pour \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{4}\).
d) \(g(x) = 4\) pour \(x = \mathbf{3}\).
a) Comparer \(f(x)\) et \(g(x)\) pour chaque valeur de \(x\) du tableau. Compléter :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | 4 | 6 | 6 | 4 | 0 | −6 | −14 |
b) \(f(x) = g(x)\) pour \(x = \mathbf{4}\) (car \(f(4) - g(4) = 0\)).
D'après le tableau précédent :
a) Pour quelles valeurs de \(x\) (parmi celles du tableau) a-t-on \(f(x) \geqslant g(x)\) ?
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) < g(x)\) ?
a) \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x = 0, 1, 2, 3, 4\) (car \(f(x) - g(x) \geqslant 0\) pour ces valeurs).
b) \(f(x) < g(x)\) pour \(x = 5, 6\) (car \(f(x) - g(x) < 0\)).
D'après le tableau de valeurs de \(f\) :
a) Résoudre \(f(x) = 2\).
b) Résoudre \(f(x) = 8\).
c) L'équation \(f(x) = 9\) a-t-elle une solution dans le tableau ? Justifier.
a) \(f(x) = 2\) pour \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{5}\).
b) \(f(x) = 8\) pour \(x = \mathbf{2}\) et \(x = \mathbf{3}\).
c) Non, \(f(x) = 9\) n'a pas de solution dans le tableau car aucune valeur de \(f(x)\) n'atteint 9. La valeur maximale est \(f(2) = f(3) = 8\).
On cherche une solution de \(f(x) = g(x)\) entre \(x = 4\) et \(x = 5\). Mais on sait déjà que \(f(4) = g(4) = 6\). On cherche maintenant s'il existe un autre point entre \(x = 3\) et \(x = 4\) où les courbes se croisent.
On sait que \(h(3) = f(3) - g(3) = 4\) et \(h(4) = f(4) - g(4) = 0\).
a) Les courbes se croisent-elles entre 3 et 4 ? Justifier.
b) On teste \(x = 3{,}5\) et on trouve \(h(3{,}5) = 1{,}5\). La différence reste-t-elle positive ? Que peut-on en déduire ?
a) On a \(h(3) = 4 > 0\) et \(h(4) = 0\). La différence \(h\) ne change pas de signe (elle reste positive ou nulle), elle s'annule en \(x = 4\). Les courbes ne se croisent pas strictement entre 3 et 4 : elles se rejoignent en \(x = 4\).
b) \(h(3{,}5) = 1{,}5 > 0\) : la différence reste positive. La courbe de \(f\) est encore au-dessus de celle de \(g\) en \(x = 3{,}5\). On en déduit que \(f(x) > g(x)\) sur tout l'intervalle \(]3\,;\,4[\).
Barème : 20 points
Un technicien chauffagiste compare deux systèmes de chauffage. Le coût annuel cumulé (en €) après \(x\) années est modélisé par :
a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\). Interpréter.
b) Calculer \(f(10)\) et \(g(10)\).
a) \(f(0) = \mathbf{5\,000}\) € et \(g(0) = \mathbf{2\,000}\) €. Le système A coûte plus cher à l'installation (5 000 € contre 2 000 €).
b) \(f(10) = 200 \times 10 + 5\,000 = \mathbf{7\,000}\) € et \(g(10) = 600 \times 10 + 2\,000 = \mathbf{8\,000}\) €.
a) Résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\) (par calcul).
b) Interpréter cette solution dans le contexte professionnel.
c) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \leqslant g(x)\) ? Interpréter.
a) \(200x + 5\,000 = 600x + 2\,000\)
\(5\,000 - 2\,000 = 600x - 200x\)
\(3\,000 = 400x\)
\(x = \dfrac{3\,000}{400} = \mathbf{7{,}5}\) années.
b) Les deux systèmes coûtent le même prix après 7,5 ans (7 ans et 6 mois).
c) \(f(x) \leqslant g(x)\) quand \(200x + 5\,000 \leqslant 600x + 2\,000\), soit \(x \geqslant 7{,}5\).
Le système A (pompe à chaleur) est plus économique à partir de 7,5 ans.
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
a) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\).
b) Résoudre \(f(x) = 0\) à l'aide du tableau de valeurs.
a)
b) \(f(x) = 0\) pour \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{3}\).
D'après le tableau de valeurs de la question 3 :
a) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\) (pour quelles valeurs de \(x\) la fonction est-elle négative ou nulle ?).
b) Résoudre \(f(x) = 3\).
a) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{1}\,;\,\mathbf{3}]\) (entre les deux racines, la courbe est sous l'axe des abscisses).
b) \(f(x) = 3\) pour \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{4}\).
Vrai ou faux ? Justifier.
a) « L'équation \(f(x) = k\) a toujours exactement deux solutions. »
b) « Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection des courbes. »
c) « \(f(x) \geqslant g(x)\) quand la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\). »
a) FAUX. L'équation \(f(x) = k\) peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions selon la position de la droite \(y = k\) par rapport à la courbe.
b) VRAI. C'est la définition même de la résolution graphique.
c) VRAI. \(f(x) \geqslant g(x)\) signifie que la courbe de \(f\) est au-dessus ou confondue avec celle de \(g\).
Un menuisier agenceur compare deux fournisseurs de panneaux de bois. Le coût total (en €) pour \(x\) panneaux est modélisé par :
a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\). Interpréter.
b) Calculer \(f(20)\) et \(g(20)\).
a) \(f(0) = \mathbf{120}\) € et \(g(0) = \mathbf{40}\) €. Le fournisseur A a des frais fixes plus élevés (120 € contre 40 €).
b) \(f(20) = 15 \times 20 + 120 = \mathbf{420}\) € et \(g(20) = 25 \times 20 + 40 = \mathbf{540}\) €.
a) Résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\) (par calcul).
b) Interpréter cette solution dans le contexte professionnel.
c) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \leqslant g(x)\) ? Interpréter.
a) \(15x + 120 = 25x + 40\)
\(120 - 40 = 25x - 15x\)
\(80 = 10x\)
\(x = \dfrac{80}{10} = \mathbf{8}\) panneaux.
b) Les deux fournisseurs coûtent le même prix pour une commande de 8 panneaux.
c) \(f(x) \leqslant g(x)\) quand \(15x + 120 \leqslant 25x + 40\), soit \(x \geqslant 8\).
Le fournisseur A est plus économique à partir de 8 panneaux.
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 6x + 8\).
a) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\), \(f(5)\).
b) Résoudre \(f(x) = 0\) à l'aide du tableau de valeurs.
a)
b) \(f(x) = 0\) pour \(x = \mathbf{2}\) et \(x = \mathbf{4}\).
D'après le tableau de valeurs de la question 3 :
a) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\) (pour quelles valeurs de \(x\) la fonction est-elle négative ou nulle ?).
b) Résoudre \(f(x) = 8\).
a) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{2}\,;\,\mathbf{4}]\) (entre les deux racines, la courbe est sous l'axe des abscisses).
b) \(f(x) = 8\) pour \(x = \mathbf{0}\). Dans le tableau, seul \(x = 0\) donne \(f(x) = 8\). Par symétrie de la parabole (sommet en \(x = 3\)), \(f(6) = 8\) aussi.
Vrai ou faux ? Justifier.
a) « Si \(f(a) = g(a)\), alors le point d'abscisse \(a\) est un point d'intersection des courbes de \(f\) et \(g\). »
b) « \(f(x) < g(x)\) signifie que la courbe de \(g\) est au-dessous de celle de \(f\). »
c) « L'équation \(f(x) = k\) peut n'avoir aucune solution. »
a) VRAI. Par définition, si les deux fonctions ont la même valeur en \(a\), le point \((a\,;\,f(a))\) appartient aux deux courbes.
b) FAUX. C'est l'inverse : \(f(x) < g(x)\) signifie que la courbe de \(f\) est au-dessous de celle de \(g\).
c) VRAI. Si la droite \(y = k\) ne coupe pas la courbe de \(f\), l'équation n'a aucune solution.
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur fabrique des étagères sur mesure. Le coût de production de \(x\) étagères est modélisé par \(C(x) = 0{,}4x^2 + 8\) (€) et le revenu par \(R(x) = 6x\) (€).
a) Compléter le tableau :
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(R(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(R(x) > C(x)\) (bénéfice) ?
c) Interpréter dans le contexte professionnel.
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | 8 | 9,6 | 14,4 | 22,4 | 33,6 | 48 | 65,6 | 86,4 |
| \(R(x)\) | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 |
b) \(R(x) > C(x)\) pour \(x = 2, 4, 6, 8, 10, 12\). On observe que \(R(x) \leqslant C(x)\) pour \(x = 0\) et \(x = 14\).
Le bénéfice est réalisé approximativement pour \(x \in ]1{,}5\,;\,13{,}5[\).
c) Le menuisier fait des bénéfices en fabriquant entre 2 et 13 étagères environ. Au-delà, les coûts de production augmentent plus vite que les revenus.
On cherche une solution de l'équation \(x^2 = 2x + 1\) par l'algorithme de balayage.
On pose \(h(x) = x^2 - 2x - 1\).
a) Calculer \(h(2)\) et \(h(3)\). En déduire qu'il existe une solution dans \([2\,;\,3]\).
b) Effectuer un balayage avec un pas de 0,1 pour encadrer la solution au dixième près.
c) Donner une valeur approchée de la solution à 0,1 près.
a) \(h(2) = 4 - 4 - 1 = -1 < 0\) et \(h(3) = 9 - 6 - 1 = 2 > 0\).
Changement de signe : il existe une solution dans \([2\,;\,3]\).
b) Balayage :
| \(x\) | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | −1 | −0,79 | −0,56 | −0,31 | −0,04 | +0,25 |
\(h(2{,}4) < 0\) et \(h(2{,}5) > 0\) : la solution est dans \([\mathbf{2{,}4}\,;\,\mathbf{2{,}5}]\).
c) La solution est environ \(x \approx \mathbf{2{,}4}\) à 0,1 près.
On donne les fonctions \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) et \(g(x) = x - 1\) sur l'intervalle \([0\,;\,6]\).
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −5 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
| \(g(x)\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
a) Résoudre \(f(x) = g(x)\) à l'aide du tableau.
b) Résoudre \(f(x) \geqslant g(x)\) en déterminant l'intervalle de valeurs de \(x\).
c) Le point \((4\,;\,3)\) appartient-il aux deux courbes ? Justifier.
a) D'après le tableau : \(f(1) = 0 = g(1)\) et \(f(4) = 3 = g(4)\).
Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{4}\).
b) Entre les points d'intersection, \(f(x) \geqslant g(x)\). Pour \(x = 2\) : \(f(2) = 3 > g(2) = 1\). Pour \(x = 5\) : \(f(5) = 0 < g(5) = 4\).
Donc \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x \in [\mathbf{1}\,;\,\mathbf{4}]\).
c) \(f(4) = 3\) et \(g(4) = 3\). Le point \((4\,;\,3)\) appartient bien aux deux courbes : c'est un point d'intersection.
Un installateur de pompes à chaleur modélise la température \(T(t)\) (en °C) d'un local au cours de la journée par une fonction dont on donne les valeurs :
| \(t\) (heures) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(T(t)\) (°C) | 16 | 18 | 20 | 22 | 23 | 21 | 19 | 17 |
Le seuil de confort thermique est fixé à 20 °C.
a) Résoudre \(T(t) = 20\) (quand la température atteint exactement 20 °C).
b) Résoudre \(T(t) \geqslant 20\) (pendant combien de temps le confort thermique est-il assuré ?).
c) Quelle est la température maximale atteinte et à quelle heure ?
a) \(T(t) = 20\) pour \(t = \mathbf{10}\) h et environ entre 16 h et 18 h. D'après le tableau, \(T(16) = 21 > 20\) et \(T(18) = 19 < 20\), donc \(T(t) = 20\) entre 16 h et 18 h (environ 17 h).
b) \(T(t) \geqslant 20\) pour \(t \in [\mathbf{10}\,;\,\approx\mathbf{17}]\), soit environ 7 heures de confort thermique.
c) La température maximale est \(\mathbf{23}\) °C, atteinte à \(t = \mathbf{14}\) h (14 heures).
Un installateur thermique compare deux solutions d'isolation. Le coût de chauffage annuel (en €) en fonction de l'épaisseur d'isolant \(x\) (en cm) est modélisé par \(C(x) = 0{,}5x^2 - 12x + 90\) (€) et le coût d'installation par \(I(x) = 4x\) (€).
a) Compléter le tableau :
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(I(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(C(x) > I(x)\) (le chauffage coûte plus que l'isolation) ?
c) Interpréter dans le contexte professionnel.
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | 90 | 68 | 50 | 36 | 26 | 20 | 18 | 20 |
| \(I(x)\) | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 |
b) \(C(x) > I(x)\) pour \(x = 0, 2, 4, 6\). On observe que \(C(x) \leqslant I(x)\) pour \(x = 8, 10, 12, 14\).
Le coût de chauffage dépasse le coût d'isolation approximativement pour \(x \in [0\,;\,7]\) cm.
c) À partir d'environ 7 cm d'isolant, le coût d'installation dépasse le coût de chauffage annuel. L'isolation est rentable pour des épaisseurs modérées.
On cherche une solution de l'équation \(x^2 = 3x + 2\) par l'algorithme de balayage.
On pose \(h(x) = x^2 - 3x - 2\).
a) Calculer \(h(3)\) et \(h(4)\). En déduire qu'il existe une solution dans \([3\,;\,4]\).
b) Effectuer un balayage avec un pas de 0,1 pour encadrer la solution au dixième près.
c) Donner une valeur approchée de la solution à 0,1 près.
a) \(h(3) = 9 - 9 - 2 = -2 < 0\) et \(h(4) = 16 - 12 - 2 = 2 > 0\).
Changement de signe : il existe une solution dans \([3\,;\,4]\).
b) Balayage :
| \(x\) | 3,0 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | −2 | −1,69 | −1,36 | −1,01 | −0,64 | −0,25 | +0,16 |
\(h(3{,}5) < 0\) et \(h(3{,}6) > 0\) : la solution est dans \([\mathbf{3{,}5}\,;\,\mathbf{3{,}6}]\).
c) La solution est environ \(x \approx \mathbf{3{,}6}\) à 0,1 près.
On donne les fonctions \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x\) sur l'intervalle \([0\,;\,5]\).
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
| \(g(x)\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
a) Résoudre \(f(x) = g(x)\) à l'aide du tableau.
b) Résoudre \(f(x) \geqslant g(x)\) en déterminant l'intervalle de valeurs de \(x\).
c) Le point \((3\,;\,3)\) appartient-il aux deux courbes ? Justifier.
a) D'après le tableau : \(f(0) = 0 = g(0)\) et \(f(3) = 3 = g(3)\).
Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{3}\).
b) Entre les points d'intersection, \(f(x) \geqslant g(x)\). Pour \(x = 1\) : \(f(1) = 3 > g(1) = 1\). Pour \(x = 4\) : \(f(4) = 0 < g(4) = 4\).
Donc \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x \in [\mathbf{0}\,;\,\mathbf{3}]\).
c) \(f(3) = 3\) et \(g(3) = 3\). Le point \((3\,;\,3)\) appartient bien aux deux courbes : c'est un point d'intersection.
Un technicien de maintenance énergétique modélise la consommation électrique \(P(t)\) (en kW) d'un bâtiment au cours de la journée :
| \(t\) (heures) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(t)\) (kW) | 12 | 25 | 35 | 40 | 38 | 30 | 20 | 10 |
Le seuil de surcharge est fixé à 30 kW.
a) Résoudre \(P(t) = 30\) (quand la consommation atteint exactement 30 kW).
b) Résoudre \(P(t) \geqslant 30\) (pendant combien de temps la consommation dépasse-t-elle le seuil ?).
c) Quelle est la consommation maximale et à quelle heure ?
a) \(P(t) = 30\) pour \(t = \mathbf{16}\) h. Entre 8 h et 10 h, \(P(8) = 25 < 30\) et \(P(10) = 35 > 30\), donc \(P(t) = 30\) aussi entre 8 h et 10 h (environ 9 h).
b) \(P(t) \geqslant 30\) pour \(t \in [\approx\mathbf{9}\,;\,\mathbf{16}]\), soit environ 7 heures de surcharge.
c) La consommation maximale est \(\mathbf{40}\) kW, atteinte à \(t = \mathbf{12}\) h (midi).