Résolution graphique d'équations et d'inéquations — 1ère Bac Pro
Dernière mise à jour : 20 août 2026, 14:30
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) dont les valeurs sont données par le tableau suivant :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1 | 4 | 5 | 4 | 1 | −4 | −11 |
| \(g(x)\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Les points de ce tableau ont été placés et reliés dans le repère ci-dessous.
a) Lire dans le tableau : \(f(2) = ...\)
b) Lire dans le tableau : \(g(4) = ...\)
c) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = 4\) ?
d) Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(g(x) = 0\) ?
a) \(f(2) = \mathbf{5}\)
b) \(g(4) = \mathbf{3}\)
c) \(f(x) = 4\) pour \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{3}\).
d) \(g(x) = 0\) pour \(x = \mathbf{1}\).
a) Comparer \(f(x)\) et \(g(x)\) pour chaque valeur de \(x\) du tableau. Compléter :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | 2 | 4 | 4 | 2 | −2 | −8 | −16 |
b) On observe que \(f(x) - g(x)\) change de signe entre \(x = 3\) (positif) et \(x = 4\) (négatif). Donc \(f(x) = g(x)\) pour une valeur de \(x\) comprise entre 3 et 4 (environ \(x \approx 3{,}6\)).
D'après le tableau précédent :
a) Pour quelles valeurs de \(x\) (parmi celles du tableau) a-t-on \(f(x) \geqslant g(x)\) ?
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) < g(x)\) ?
a) \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x = 0, 1, 2, 3\) (car \(f(x) - g(x) > 0\) pour ces valeurs).
b) \(f(x) < g(x)\) pour \(x = 4, 5, 6\) (car \(f(x) - g(x) < 0\)).
D'après le tableau de valeurs de \(f\) :
a) Résoudre \(f(x) = 1\).
b) Résoudre \(f(x) = 5\).
c) L'équation \(f(x) = 6\) a-t-elle une solution dans le tableau ? Justifier.
a) \(f(x) = 1\) pour \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{4}\).
b) \(f(x) = 5\) pour \(x = \mathbf{2}\).
c) Non, \(f(x) = 6\) n'a pas de solution dans le tableau car aucune valeur de \(f(x)\) n'atteint 6. La valeur maximale est \(f(2) = 5\).
Pour préciser une solution de l'équation \(f(x) = g(x)\), on utilise la fonction \(h\) définie par \(h(x) = f(x) - g(x)\).
a) On teste \(x = 3{,}4\) et on obtient \(h(3{,}4) = 0{,}64\). Quel est le signe de \(h(3{,}4)\) ? Que peut-on en déduire sur la position des deux courbes en \(x = 3{,}4\) ?
b) On sait de plus que \(h(4) = -2\). Donner un encadrement d'une solution de \(f(x) = g(x)\). Justifier.
a) \(h(3{,}4) = 0{,}64 > 0\) : la différence est positive, donc en \(x = 3{,}4\) la courbe de \(f\) est encore au-dessus de celle de \(g\).
b) \(h(3{,}4) = 0{,}64 > 0\) et \(h(4) = -2 < 0\) : \(h\) change de signe entre 3,4 et 4, donc elle s'annule pour une valeur de \(x\) située entre ces deux nombres. On a l'encadrement \(3{,}4 < x < 4\).
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) dont les valeurs sont données par le tableau suivant :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 2 | 6 | 8 | 8 | 6 | 2 | −4 |
| \(g(x)\) | −1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
Les points de ce tableau ont été placés et reliés dans le repère ci-dessous.
a) Lire dans le tableau : \(f(3) = ...\)
b) Lire dans le tableau : \(g(5) = ...\)
c) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = 6\) ?
d) Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(g(x) = 5\) ?
a) \(f(3) = \mathbf{8}\)
b) \(g(5) = \mathbf{9}\)
c) \(f(x) = 6\) pour \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{4}\).
d) \(g(x) = 5\) pour \(x = \mathbf{3}\).
a) Comparer \(f(x)\) et \(g(x)\) pour chaque valeur de \(x\) du tableau. Compléter :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x) - g(x)\) | 3 | 5 | 5 | 3 | −1 | −7 | −15 |
b) On observe que \(f(x) - g(x)\) change de signe entre \(x = 3\) (positif) et \(x = 4\) (négatif). Donc \(f(x) = g(x)\) pour une valeur de \(x\) comprise entre 3 et 4 (environ \(x \approx 3{,}8\)).
D'après le tableau précédent :
a) Pour quelles valeurs de \(x\) (parmi celles du tableau) a-t-on \(f(x) \geqslant g(x)\) ?
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) < g(x)\) ?
a) \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x = 0, 1, 2, 3\) (car \(f(x) - g(x) > 0\) pour ces valeurs).
b) \(f(x) < g(x)\) pour \(x = 4, 5, 6\) (car \(f(x) - g(x) < 0\)).
D'après le tableau de valeurs de \(f\) :
a) Résoudre \(f(x) = 2\).
b) Résoudre \(f(x) = 8\).
c) L'équation \(f(x) = 9\) a-t-elle une solution dans le tableau ? Justifier.
a) \(f(x) = 2\) pour \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{5}\).
b) \(f(x) = 8\) pour \(x = \mathbf{2}\) et \(x = \mathbf{3}\).
c) Non, \(f(x) = 9\) n'a pas de solution dans le tableau car aucune valeur de \(f(x)\) n'atteint 9. La plus grande valeur du tableau est \(f(2) = f(3) = 8\).
Pour préciser une solution de l'équation \(f(x) = g(x)\), on utilise la fonction \(h\) définie par \(h(x) = f(x) - g(x)\).
a) On teste \(x = 3{,}5\) et on obtient \(h(3{,}5) = 1{,}25\). Quel est le signe de \(h(3{,}5)\) ? Que peut-on en déduire sur la position des deux courbes en \(x = 3{,}5\) ?
b) On sait de plus que \(h(4) = -1\). Donner un encadrement d'une solution de \(f(x) = g(x)\). Justifier.
a) \(h(3{,}5) = 1{,}25 > 0\) : la différence est positive, donc en \(x = 3{,}5\) la courbe de \(f\) est encore au-dessus de celle de \(g\).
b) \(h(3{,}5) = 1{,}25 > 0\) et \(h(4) = -1 < 0\) : \(h\) change de signe entre 3,5 et 4, donc elle s'annule pour une valeur de \(x\) située entre ces deux nombres. On a l'encadrement \(3{,}5 < x < 4\).
Barème : 20 points
Un technicien chauffagiste compare deux systèmes de chauffage. Le coût annuel cumulé (en €) après \(x\) années est modélisé par :
a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\). Interpréter.
b) Calculer \(f(10)\) et \(g(10)\).
a) \(f(0) = \mathbf{5\,000}\) € et \(g(0) = \mathbf{2\,000}\) €. Le système A coûte plus cher à l'installation (5 000 € contre 2 000 €).
b) \(f(10) = 200 \times 10 + 5\,000 = \mathbf{7\,000}\) € et \(g(10) = 600 \times 10 + 2\,000 = \mathbf{8\,000}\) €.
a) Résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\) (par calcul).
b) Interpréter cette solution dans le contexte professionnel.
c) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \leqslant g(x)\) ? Interpréter.
a) \(200x + 5\,000 = 600x + 2\,000\)
\(5\,000 - 2\,000 = 600x - 200x\)
\(3\,000 = 400x\)
\(x = \dfrac{3\,000}{400} = \mathbf{7{,}5}\) années.
b) Les deux systèmes coûtent le même prix après 7,5 ans (7 ans et 6 mois).
c) \(f(x) \leqslant g(x)\) quand \(200x + 5\,000 \leqslant 600x + 2\,000\), soit \(x \geqslant 7{,}5\).
À 7,5 ans les deux systèmes coûtent exactement le même prix (6 500 € chacun) ; le système A (pompe à chaleur) devient strictement moins cher au-delà de 7,5 ans.
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 4x + 3\).
a) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\), \(f(5)\), puis reporter les résultats dans le tableau.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) |
b) Résoudre \(f(x) = 0\) à l'aide du tableau de valeurs.
a)
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 | 8 |
b) \(f(x) = 0\) pour \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{3}\).
D'après le tableau de valeurs de la question 3 :
a) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\) (pour quelles valeurs de \(x\) la fonction est-elle négative ou nulle ?).
b) Résoudre \(f(x) = 3\).
a) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{1}\,;\,\mathbf{3}]\) (entre les deux racines, la courbe est sous l'axe des abscisses).
b) \(f(x) = 3\) pour \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{4}\).
Vrai ou faux ? Justifier.
a) « L'équation \(f(x) = k\) a toujours exactement deux solutions. »
b) « Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection des courbes. »
c) « \(f(x) \geqslant g(x)\) quand la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\). »
a) FAUX. L'équation \(f(x) = k\) peut avoir 0, 1 ou plusieurs solutions selon la position de la droite \(y = k\) par rapport à la courbe.
b) VRAI. C'est la définition même de la résolution graphique.
c) VRAI. \(f(x) \geqslant g(x)\) signifie que la courbe de \(f\) est au-dessus ou confondue avec celle de \(g\).
Un menuisier agenceur compare deux fournisseurs de panneaux de bois. Le coût total (en €) pour \(x\) panneaux est modélisé par :
a) Calculer \(f(0)\) et \(g(0)\). Interpréter.
b) Calculer \(f(20)\) et \(g(20)\).
a) \(f(0) = \mathbf{120}\) € et \(g(0) = \mathbf{40}\) €. Le fournisseur A a des frais fixes plus élevés (120 € contre 40 €).
b) \(f(20) = 15 \times 20 + 120 = \mathbf{420}\) € et \(g(20) = 25 \times 20 + 40 = \mathbf{540}\) €.
a) Résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\) (par calcul).
b) Interpréter cette solution dans le contexte professionnel.
c) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) \leqslant g(x)\) ? Interpréter.
a) \(15x + 120 = 25x + 40\)
\(120 - 40 = 25x - 15x\)
\(80 = 10x\)
\(x = \dfrac{80}{10} = \mathbf{8}\) panneaux.
b) Les deux fournisseurs coûtent le même prix pour une commande de 8 panneaux.
c) \(f(x) \leqslant g(x)\) quand \(15x + 120 \leqslant 25x + 40\), soit \(x \geqslant 8\).
Pour 8 panneaux les deux fournisseurs coûtent exactement le même prix (240 € chacun) ; le fournisseur A devient strictement moins cher à partir de 9 panneaux (\(f(9) = 255\) € contre \(g(9) = 265\) €).
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^2 - 6x + 8\).
a) Calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\), \(f(4)\), \(f(5)\), puis reporter les résultats dans le tableau.
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) |
b) Résoudre \(f(x) = 0\) à l'aide du tableau de valeurs.
a)
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 8 | 3 | 0 | −1 | 0 | 3 |
b) \(f(x) = 0\) pour \(x = \mathbf{2}\) et \(x = \mathbf{4}\).
D'après le tableau de valeurs de la question 3 :
a) Résoudre \(f(x) \leqslant 0\) (pour quelles valeurs de \(x\) la fonction est-elle négative ou nulle ?).
b) Résoudre \(f(x) = 3\).
a) \(f(x) \leqslant 0\) pour \(x \in [\mathbf{2}\,;\,\mathbf{4}]\) (entre les deux racines, la courbe est sous l'axe des abscisses).
b) \(f(x) = 3\) pour \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{5}\).
Vrai ou faux ? Justifier.
a) « Si \(f(a) = g(a)\), alors le point d'abscisse \(a\) est un point d'intersection des courbes de \(f\) et \(g\). »
b) « \(f(x) < g(x)\) signifie que la courbe de \(g\) est au-dessous de celle de \(f\). »
c) « L'équation \(f(x) = k\) peut n'avoir aucune solution. »
a) VRAI. Par définition, si les deux fonctions ont la même valeur en \(a\), le point \((a\,;\,f(a))\) appartient aux deux courbes.
b) FAUX. C'est l'inverse : \(f(x) < g(x)\) signifie que la courbe de \(f\) est au-dessous de celle de \(g\).
c) VRAI. Si la droite \(y = k\) ne coupe pas la courbe de \(f\), l'équation n'a aucune solution.
Barème : 20 points
Un menuisier agenceur fabrique des étagères sur mesure. Le coût de production de \(x\) étagères est modélisé par \(C(x) = 0{,}4x^2 + 8\) (€) et le revenu par \(R(x) = 6x\) (€).
a) Compléter le tableau :
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(R(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(R(x) > C(x)\) (bénéfice) ?
c) Interpréter dans le contexte professionnel.
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | 8 | 9,6 | 14,4 | 22,4 | 33,6 | 48 | 65,6 | 86,4 |
| \(R(x)\) | 0 | 12 | 24 | 36 | 48 | 60 | 72 | 84 |
b) \(R(x) > C(x)\) pour \(x = 2, 4, 6, 8, 10, 12\). On observe que \(R(x) \leqslant C(x)\) pour \(x = 0\) et \(x = 14\).
Le bénéfice est réalisé approximativement pour \(x \in ]1{,}5\,;\,13{,}5[\).
c) Le menuisier fait des bénéfices en fabriquant entre 2 et 13 étagères environ. Au-delà, les coûts de production augmentent plus vite que les revenus.
On cherche une solution de l'équation \(x^2 = 2x + 1\) par l'algorithme de balayage.
On pose \(h(x) = x^2 - 2x - 1\).
a) Calculer \(h(2)\) et \(h(3)\). En déduire qu'il existe une solution dans \([2\,;\,3]\).
b) Effectuer un balayage avec un pas de 0,1 pour encadrer la solution au dixième près.
c) Donner une valeur approchée de la solution à 0,1 près.
a) \(h(2) = 4 - 4 - 1 = -1 < 0\) et \(h(3) = 9 - 6 - 1 = 2 > 0\).
Changement de signe : il existe une solution dans \([2\,;\,3]\).
b) Balayage :
| \(x\) | 2,0 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | −1 | −0,79 | −0,56 | −0,31 | −0,04 | +0,25 |
\(h(2{,}4) < 0\) et \(h(2{,}5) > 0\) : la solution est dans \([\mathbf{2{,}4}\,;\,\mathbf{2{,}5}]\).
c) On retient la borne pour laquelle \(|h|\) est la plus petite, c'est-à-dire celle où la courbe passe le plus près de zéro : \(|h(2{,}4)| = 0{,}04\) et \(|h(2{,}5)| = 0{,}25\), donc \(x \approx \mathbf{2{,}4}\) à 0,1 près.
On donne les fonctions \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\) et \(g(x) = x - 1\) sur l'intervalle \([0\,;\,6]\).
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −5 | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
| \(g(x)\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
a) Résoudre \(f(x) = g(x)\) à l'aide du tableau.
b) Résoudre \(f(x) \geqslant g(x)\) en déterminant l'intervalle de valeurs de \(x\).
c) Le point \((2\,;\,3)\) appartient-il aux deux courbes ? Justifier.
a) D'après le tableau : \(f(1) = 0 = g(1)\) et \(f(4) = 3 = g(4)\).
Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont \(x = \mathbf{1}\) et \(x = \mathbf{4}\).
b) Entre les points d'intersection, \(f(x) \geqslant g(x)\). Pour \(x = 2\) : \(f(2) = 3 > g(2) = 1\). Pour \(x = 5\) : \(f(5) = 0 < g(5) = 4\).
Donc \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x \in [\mathbf{1}\,;\,\mathbf{4}]\).
c) \(f(2) = 3\) : le point \((2\,;\,3)\) appartient à la courbe de \(f\). Mais \(g(2) = 1 \neq 3\) : il n'appartient pas à la courbe de \(g\). Ce n'est donc pas un point commun aux deux courbes.
Un installateur de pompes à chaleur modélise la température \(T(t)\) (en °C) d'un local au cours de la journée par une fonction dont on donne les valeurs :
| \(t\) (heures) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(T(t)\) (°C) | 16 | 18 | 20 | 22 | 23 | 21 | 19 | 17 |
Le seuil de confort thermique est fixé à 20 °C.
a) Résoudre \(T(t) = 20\) (quand la température atteint exactement 20 °C).
b) Résoudre \(T(t) \geqslant 20\) (pendant combien de temps le confort thermique est-il assuré ?).
c) Quelle est la température maximale atteinte et à quelle heure ?
a) \(T(t) = 20\) pour \(t = \mathbf{10}\) h et environ entre 16 h et 18 h. D'après le tableau, \(T(16) = 21 > 20\) et \(T(18) = 19 < 20\), donc \(T(t) = 20\) entre 16 h et 18 h (environ 17 h).
b) \(T(t) \geqslant 20\) pour \(t \in [\mathbf{10}\,;\,\approx\mathbf{17}]\), soit environ 7 heures de confort thermique.
c) La température maximale est \(\mathbf{23}\) °C, atteinte à \(t = \mathbf{14}\) h (14 heures).
Un installateur thermique étudie l'épaisseur d'isolant \(x\) (en cm) à poser dans un logement. Les deux dépenses sont ramenées à la même unité, l'euro par an :
a) Compléter le tableau :
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(I(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
b) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(C(x) > I(x)\) (le chauffage coûte plus que l'isolation) ?
c) Interpréter dans le contexte professionnel.
| \(x\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | 90 | 73 | 58 | 45 | 34 | 25 | 18 | 13 |
| \(I(x)\) | 0 | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 |
b) \(C(x) > I(x)\) pour \(x = 0, 2, 4, 6, 8\). On observe que \(C(x) < I(x)\) pour \(x = 10, 12, 14\).
Le coût de chauffage dépasse le coût de l'isolation approximativement pour \(x \in [0\,;\,8]\) cm : le changement se produit entre 8 cm et 10 cm.
c) Plus l'isolant est épais, plus la facture de chauffage baisse (\(C\) décroît de 90 à 13 €/an) et plus l'isolation coûte cher (\(I\) croît de 0 à 56 €/an). Jusqu'à environ 8 cm, le chauffage reste le poste le plus lourd : épaissir l'isolant est intéressant. Au-delà, c'est l'isolation qui devient le poste le plus lourd.
On cherche une solution de l'équation \(x^2 = 3x + 2\) par l'algorithme de balayage.
On pose \(h(x) = x^2 - 3x - 2\).
a) Calculer \(h(3)\) et \(h(4)\). En déduire qu'il existe une solution dans \([3\,;\,4]\).
b) Effectuer un balayage avec un pas de 0,1 pour encadrer la solution au dixième près.
c) Donner une valeur approchée de la solution à 0,1 près.
a) \(h(3) = 9 - 9 - 2 = -2 < 0\) et \(h(4) = 16 - 12 - 2 = 2 > 0\).
Changement de signe : il existe une solution dans \([3\,;\,4]\).
b) Balayage :
| \(x\) | 3,0 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | −2 | −1,69 | −1,36 | −1,01 | −0,64 | −0,25 | +0,16 |
\(h(3{,}5) < 0\) et \(h(3{,}6) > 0\) : la solution est dans \([\mathbf{3{,}5}\,;\,\mathbf{3{,}6}]\).
c) On retient la borne pour laquelle \(|h|\) est la plus petite, c'est-à-dire celle où la courbe passe le plus près de zéro : \(|h(3{,}6)| = 0{,}16\) et \(|h(3{,}5)| = 0{,}25\), donc \(x \approx \mathbf{3{,}6}\) à 0,1 près.
On donne les fonctions \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x\) sur l'intervalle \([0\,;\,5]\).
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 0 | 3 | 4 | 3 | 0 | −5 |
| \(g(x)\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
a) Résoudre \(f(x) = g(x)\) à l'aide du tableau.
b) Résoudre \(f(x) \geqslant g(x)\) en déterminant l'intervalle de valeurs de \(x\).
c) Le point \((2\,;\,4)\) appartient-il aux deux courbes ? Justifier.
a) D'après le tableau : \(f(0) = 0 = g(0)\) et \(f(3) = 3 = g(3)\).
Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont \(x = \mathbf{0}\) et \(x = \mathbf{3}\).
b) Entre les points d'intersection, \(f(x) \geqslant g(x)\). Pour \(x = 1\) : \(f(1) = 3 > g(1) = 1\). Pour \(x = 4\) : \(f(4) = 0 < g(4) = 4\).
Donc \(f(x) \geqslant g(x)\) pour \(x \in [\mathbf{0}\,;\,\mathbf{3}]\).
c) \(f(2) = 4\) : le point \((2\,;\,4)\) appartient à la courbe de \(f\). Mais \(g(2) = 2 \neq 4\) : il n'appartient pas à la courbe de \(g\). Ce n'est donc pas un point commun aux deux courbes.
Un technicien de maintenance énergétique modélise la consommation électrique \(P(t)\) (en kW) d'un bâtiment au cours de la journée :
| \(t\) (heures) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(P(t)\) (kW) | 12 | 25 | 35 | 40 | 38 | 30 | 20 | 10 |
Le seuil de surcharge est fixé à 30 kW.
a) Résoudre \(P(t) = 30\) (quand la consommation atteint exactement 30 kW).
b) Résoudre \(P(t) \geqslant 30\) (pendant combien de temps la consommation dépasse-t-elle le seuil ?).
c) Quelle est la consommation maximale et à quelle heure ?
a) \(P(t) = 30\) pour \(t = \mathbf{16}\) h. Entre 8 h et 10 h, \(P(8) = 25 < 30\) et \(P(10) = 35 > 30\), donc \(P(t) = 30\) aussi entre 8 h et 10 h (environ 9 h).
b) \(P(t) \geqslant 30\) pour \(t \in [\approx\mathbf{9}\,;\,\mathbf{16}]\), soit environ 7 heures de surcharge.
c) La consommation maximale est \(\mathbf{40}\) kW, atteinte à \(t = \mathbf{12}\) h (midi).